Pontos de interseção de y=sen(x) e y=cos(x)

RKA12MC - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer um exemplo de interseção da função seno com a função cosseno. E, para isso, temos o seguinte aqui: em quantos pontos os gráficos de “y” igual a seno de θ (teta) e “y” igual a cosseno de θ se intersectam de zero até 2π (dois pi)? Ou seja, o ângulo está entre zero e 2π. E, nesse caso, inclui o zero e também o 2π. E eu fiz uma tabela aqui que tem alguns valores de θ, e vamos calcular o seno e o cosseno. E vamos utilizar isso e também o círculo unitário para tentar representar graficamente as funções. E, claro, com isso, vamos descobrir em quantos pontos essas funções se intersectam, tá? Vamos lá então! Para ficar claro, aqui neste círculo unitário, este aqui é o eixo “x” e este aqui é o eixo “y”. E, como esse “y” depende de um ângulo, ele está em função de θ. Aqui é o eixo θ, ou seja, o eixo horizontal não é o “x”, mas sim o θ. E, neste gráfico, vamos representar essas duas funções. E, inicialmente, vamos pensar no que acontece quando θ é igual a zero. Quando θ é igual a zero, nós temos esse ponto aqui no círculo unitário. E qual é a coordenada dele? É o ponto (1,0). Sabendo disso, qual é o cosseno desse ângulo ou seja, o cosseno quando θ é igual a zero? O cosseno de θ vai ser a abcissa, que nesse caso é 1, e o seno de θ, olhando aqui, vai ser zero. Agora, quando θ é igual a π/2, que é esse ponto aqui, que forma esse ângulo, qual é a coordenada dele? É o ponto zero em “x” e 1 em “y”. Com isso, o cosseno de π/2 é igual a zero. E quanto que vale o seno? Sim, vai ser a coordenada do “y”, que é igual a 1. É essa coordenada aqui. E quando o θ vale π? Nós temos esse ângulo aqui e estamos nesse ponto no círculo unitário. E qual é a coordenada dele? Vai ser -1 no “x” e zero no “y”. Sabendo disso, o cosseno de π vai ser igual a -1, e o seno de π vai ser igual à coordenada “y”, que é igual a zero. E, continuando, aqui nós temos 3π/2, em que percorremos todo esse caminho aqui. E qual é a coordenada desse ponto? Vai ser zero no “x” e -1 no “y”. O cosseno de θ é essa coordenada “x” aqui. E, como θ é igual a 3π/2, nesse caso, o cosseno de 3π/2 é igual a zero, e o seno de 3π/2 é igual a -1, e isso equivale a um ângulo de 2π. Ou seja, uma volta completa e voltamos a este ponto aqui. E, com isso, o cosseno e o seno de 2π é igual ao cosseno e o seno de zero grau, ou seja, o cosseno de 2π é igual a 1, e o seno é igual a zero. E, a partir desta tabela, vamos construir os gráficos das funções e ver onde elas se cruzam? Primeiro, vamos pensar no cosseno de θ. Deixe-me marcar aqui: este aqui é o 1 e este aqui é o -1. Note que, quando θ é igual a zero, o cosseno é igual a 1. Então, temos esse ponto bem aqui. E, quando θ é igual a π/2, o cosseno vai ser igual a zero, ou seja, esse ponto aqui, quando θ é igual π, o cosseno é igual a -1, que está bem aqui. Quando θ é igual a 3π/2, o cosseno é igual a zero (este ponto aqui). E, por fim, quando θ é igual a 2π, o cosseno é igual a 1, que é este ponto aqui novamente. E, se construirmos o gráfico da função cosseno, vai ser algo mais ou menos assim, uma curva mais ou menos assim, que passa pelos pontos que marcamos. Este vai ser o gráfico da função “y” igual a cosseno de θ. Agora construindo o gráfico da função seno, quando θ é igual a zero, o seno também vai dar zero, correto? Então, marcamos esse ponto aqui. Quando θ é igual a π/2, o seno é igual a 1; e, quando θ é igual a π, o seno vai ser igual a zero. E, quando o θ é igual a 3π/2, o seno é igual a -1; e colocamos aqui. E, por fim, quando θ é igual a 2π, o seno vai ser igual a zero, e marcamos nessa parte do gráfico, sobre o eixo θ. E, com isso, o gráfico da função seno vai ser mais ou menos assim. De novo, passando por todos os pontos que marcamos, desse jeito. E, aí, podemos responder à nossa pergunta: em quantos pontos os gráficos da função “y” igual a seno de θ e “y” igual a cosseno de θ se intersectam nesse intervalo aqui ou seja, de zero até 2π, incluindo os extremos? Se olharmos para o gráfico, conseguimos ver dois pontos de interseção: este aqui e esse. Isso entre zero e 2π. Se continuarmos o gráfico, claro que vamos ter mais pontos de interseção, né? Mas, entre zero e 2π, nós temos somente esses dois pontos de interseção. E, agora, vamos tentar descobrir qual é o seno e o cosseno desses pontos? Esse primeiro aqui parece que está no meio do intervalo de zero até π/2, e esse aqui, pelo gráfico, parece que está no meio do intervalo entre π e 3π/2. Vamos considerar que de fato estão no meio, e podemos utilizar o círculo trigonométrico para isso. Então, esse aqui parece que é o π/4. E, se colocarmos ele no círculo trigonométrico, vai ser esse ângulo aqui, que é a mesma coisa que 45 graus. Deixe-me colocar aqui na tabela também π/4, e vamos tentar descobrir qual é esse ponto, ou seja, quais são as coordenadas dele. Para isso, eu posso fechar um triângulo retângulo aqui, e podemos até ampliar esse triângulo. Deixe-me colocá-lo aqui um pouco maior. Aqui, nós temos o nosso ângulo reto, esse ângulo aqui sabemos que é 45 graus, e aí eu te pergunto: qual é o comprimento da hipotenusa? Como essa medida é o raio do círculo unitário, então a hipotenusa é igual a 1. E quanto vale esse ângulo? Também vale 45 graus porque a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus, e 90 mais 45 vai dar 135, e vai faltar 45 graus para chegar a 180. E, como os ângulos da base desse triângulo são iguais, necessariamente esses lados têm que ser iguais. E podemos utilizar o teorema de Pitágoras para descobrir a medida deles, isso porque sabemos que eles são iguais. Tá, vamos fazer isso então. Podemos chamar esse lado de “a”, e, consequentemente, esse aqui também vai ser igual a “a”. E, se aplicarmos o teorema de Pitágoras, vamos ter que a² mais a² vai ser igual a 1², que é igual a 1; e a² mais a² é igual a 2a², e isso é igual 1. E, se dividirmos ambos os membros dessa igualdade por 2, vamos ficar com a² igual a 1/2. E, se extrairmos a raiz quadrada em ambos os membros da igualdade, vamos ficar com “a” igual à raiz quadrada de 1/2, que é a mesma coisa que a raiz quadrada de 1, que é 1, no numerador e a raiz quadrada de 2 no denominador. E podemos racionalizar isso multiplicando tanto o numerador quanto o denominador pela raiz de 2, que vai ser igual a 1 vezes a raiz quadrada de 2, que dá raiz quadrada de 2, sobre raiz quadrada de 2 vezes raiz quadrada de 2, que é igual à raiz quadrada de 4, que é igual a 2. Portanto, esse lado é igual à raiz quadrada de 2 sobre 2, e esse aqui também. Ou seja, este comprimento aqui é igual à raiz quadrada de 2 sobre 2, e esse aqui também. Sabendo disso, qual é a coordenada desse ponto? Vai ser a raiz quadrada de 2 sobre 2, que é esse comprimento aqui na direção positiva do “x”, e a raiz quadrada de 2 sobre 2 na direção positiva de “y”, ou seja, na direção vertical. Então, o cosseno de π/4 vai ser igual à raiz quadrada de 2 sobre 2, e o seno também (igual à raiz quadrada de 2 sobre 2). Ou seja, eles são iguais nesse ponto aqui, ou seja, igual à raiz quadrada de 2 sobre 2. E quanto a esse ponto que parece que está entre π e 3π/2? Aqui no círculo unitário, o π está aqui, e o 3π/2, aqui, e, visualmente, parece que esse ângulo aqui é o π mais π/4. E podemos resolver isso multiplicando aqui por 4, e dividindo ao mesmo tempo por 4, que não vai alterar o resultado e vai facilitar a nossa adição; ou seja, se somarmos isso, vamos ficar com 5π/4, e podemos colocar aqui também. E, agora, eu te pergunto: qual é o seno e o cosseno desse ângulo? Existem diversas maneiras de pensar nisso. Você pode pensar da seguinte maneira: se esse ângulo aqui é 45 graus, esse aqui, que é o oposto pelo vértice, também vai ser 45 graus, correto? Fechando o triângulo aqui, e a hipotenusa dele é igual a 1, sabemos que esse aqui é um ângulo reto, esse aqui é 45 graus, e, consequentemente, esse aqui também vai ser, e aí nós temos um triângulo bem semelhante ao outro. Na verdade, eles são congruentes, né? Os ângulos são 45 e 90 graus, e por isso a hipotenusa vai ser 1; e, com isso, esse lado aqui vai ser igual à raiz quadrada de 2 sobre 2, e esse aqui também. É a mesma coisa que fizemos aqui, tá? Mas, sabendo disso, qual é essa coordenada? Vai ser a coordenada “x”, que, nesse caso, está indo na direção negativa do eixo “x”, portanto vai ser menos a raiz quadrada de 2 sobre 2. Ou seja, essa coordenada aqui é menos a raiz quadrada de 2 sobre 2. E quanto ao valor de “y”? Também está na direção negativa, não é? Está para baixo. E, por isso, também vai ser igual a menos a raiz quadrada de 2 sobre 2. Com isso, o cosseno de 5π/4 vai ser igual a menos a raiz quadrada de 2 sobre 2, e o seno também. Ou seja, nesse ponto, temos o mesmo valor para o cosseno e para o seno. Ambos são iguais a menos a raiz quadrada de 2 sobre 2. E eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!