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Cálculo da medida de um lado, usando a lei dos senos

Transcrição de vídeo

RKA - Então, nós temos aqui um triângulo, e nós temos dois ângulos e um lado deste triângulo. O que eu quero saber aqui é se a gente consegue descobrir todas as outras informações deste triângulo (ou seja, o valor deste lado, deste lado e deste ângulo) apenas com estas informações dadas aqui. Ou seja, será que com dois ângulos e um lado eu consigo descobrir estas informações? Vamos lá. Eu vou resolver isto daqui usando uma coisa chamada "lei dos senos". Num próximo vídeo, eu vou provar a lei dos senos; por enquanto, vamos só usá-la. A lei dos senos é uma coisa bem direta. Ela me diz o seguinte: que a razão entre o seno de um ângulo e o seu lado oposto (o lado oposto a esse ângulo) é sempre um valor constante, independente do ângulo que está sendo considerado. No caso aqui do triângulo, certo? Ou seja, para este triângulo aqui, como este ângulo é 30 graus e este aqui é 45, vamos determinar a medida deste ângulo aqui. Ora, os três ângulos juntos têm que somar 180 graus. Então, aqui, vai ser 180 graus menos 45 graus menos 30 graus. Sim ou não? Então, vai ser isto aqui. Quanto vai dar isto? Ora, isto vai ser “180 - 75”. Sim ou não? Logo, aquele ângulo ali vai ser de 105 graus. Este ângulo aqui mede 105 graus. Vamos aplicar, agora, então, a lei dos senos. Antes disso, eu vou só denominar, dar nome para estes lados aqui. Este lado, eu vou dizer que é o lado "a". E vamos dizer que este outro lado aqui tenha a medida "b". Então, a lei dos senos me diz o seguinte: que a razão entre o seno de um ângulo e o seu lado oposto será constante. Logo, o seno de 30 graus sobre 2, que é o lado oposto ao ângulo de 30 graus, vai ser igual a quanto? Ora, isto vai ser igual ao seno de 105 graus sobre "a". Já que os valores são constantes, então, esta igualdade aqui é correta. Beleza? Vai ser isto aqui. E isto aqui também é igual a quanto? Ao seno de 45 graus sobre "b", o lado oposto ao ângulo de 45 graus. Daí, se eu quiser descobrir o valor do "a", basta que eu resolva esta equação aqui, certo? E, para descobrir o valor do "b", basta que eu iguale seno de 30 sobre 2 a seno de 45 sobre "b". Então, vamos resolver cada uma dessas equações aí. Então, é o seguinte: quanto vai ser o seno de 30 graus? Eu já verifiquei que a calculadora está no modo de graus, então, vou calcular aqui o seno de 30. "Enter"... está lá: "0,5". Ou seja, no lugar do seno de 30, eu posso colocar 1/2. Então, eu vou ter 1/2 sobre 2. Logo, isto aqui vai ser igual a 1/4. É ou não é? E 1/4 vai ser igual ao seno de 105 graus sobre o valor do "a". E eu também posso dizer, já que isto aqui tudo é uma igualdade só, que 1/4 é igual ao seno de 45... então, seno de 45 graus sobre "b". Não é isso? Pois, aqui, você lembra lá do círculo unitário que o seno de 45 graus é fácil de deduzir; ele é a raiz de 2 sobre 2. É ou não é? Vamos resolver, agora, então, primeiro esta equação aqui. Eu vou resolver fazendo o recíproco destes dois membros da igualdade; ou seja, o recíproco de 1/4 é 4, e o recíproco de seno de 105 graus sobre "a" é "a" sobre seno de 105 graus. Daí, para descobrir o valor do "a", eu posso multiplicar ambos os lados por seno de 105. Então, eu vou ter 4 vezes o seno de 105 igual ao valor do "a". Portanto, usando a calculadora aqui para saber quanto dá aquela conta. 4 vezes o seno de 105 deu "3,86". Eu vou aproximar aqui nos centésimos, tá? Então, eu posso dizer que o "a" vai ser aproximadamente "3,86". Escrevendo aqui: o "a" é aproximadamente "3,86", que é o valor desta medida deste lado aqui. E, para calcular agora o valor do "b", eu vou fazer a mesma coisa: fazer o recíproco em ambos os lados. Então, eu vou ter 4 igual a "b"... o recíproco disto aqui vai ser "b" sobre raiz de 2 sobre 2. Então, multiplicando ambos os lados por raiz de 2 sobre 2, eu vou ter o quê? Eu vou ter que 4 vezes a raiz de 2 sobre 2 vai ser igual a "b". Ou seja, o "b" vai ser aproximadamente igual a quanto? Eu poderia até colocar aqui, como resposta, "2 raiz de 2", só que eu vou calcular o valor numérico aqui, o valor decimal. Vamos ver quanto vai dar isso aproximadamente. Isto vai ser... simplificando 4 com 2... vai ser 2 vezes a raiz quadrada de 2. Isto vai ser "2,83" aproximadamente. Então, "2,83". Só para deixar claro o que eu fiz: o que eu fiz aqui foi simplificar este 4 com este 2, que deu 2 raiz de 2. Sim ou não? E, aí, calculando isso na calculadora: "2,83", que é o valor deste lado aqui, certo? Aproximadamente, beleza? Então, a chave aqui para a lei dos senos é que, se você tem dois ângulos e um lado, você consegue deduzir todas as outras informações. Da mesma forma, se você tiver dois lados e um ângulo, como você pode analisar aqui na fórmula, você também consegue descobrir todas as informações. Tranquilo? Então, até o próximo vídeo!