Seno e cosseno de ângulos complementares

Queremos demonstrar que o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar.

Vamos começar com um triângulo retângulo. Observe como os ângulos agudos são complementares, ou seja, somam 90${}^{\circ }$‍.

Agora, aqui está a parte legal. Veja como o seno de um ângulo agudo

descreve $\text{exatamente a mesma razão}$‍ que o cosseno do outro ângulo agudo?

Incrível! Ambas as funções, $\mathrm{sen}(\theta )$‍ e $\cos ({90}^{\circ }-\theta )$‍, resultam exatamente na mesma razão entre os lados de um triângulo retângulo.

E pronto! Mostramos que $\mathrm{sen}(\theta )=\cos ({90}^{\circ }-\theta )$‍.

Em outras palavras, o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar.

Tecnicamente, somente mostramos isso para ângulos entre 0${}^{\circ }$‍ e 90${}^{\circ }$‍. Para fazer nossa demonstração valor para todos os ângulos, precisaríamos ir além da trigonometria do triângulo retângulo até o mundo da trigonometria do círculo trigonométrico, mas este é um assunto para uma outra hora.

Você deve ter notado que as palavras seno e cosseno soam semelhantes. Isso porque elas são cofunções! A maneira como as cofunções funcionam é exatamente como você viu acima. Em geral, se $f$‍ e $g$‍ são cofunções, então

e

$g(\theta )=f({90}^{\circ }-\theta )$‍.

Aqui está uma lista completa das cofunções trigonométricas básicas:

Legal! Quem quer que tenha dado nome às funções trigonométricas deve ter tido um profundo entendimento das relações entre elas.