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Trigonometria
Curso: Trigonometria > Unidade 1
Lição 5: Seno e cosseno de ângulos complementares- Introdução à identidade trigonométrica Pitagórica
- Seno e cosseno de ângulos complementares
- Como usar ângulos complementares
- Relacione as razões de triângulos retângulos
- Problema de trigonometria: ângulos complementares
- Desafio de trigonometria: valores trigonométricos e razões dos lados
- Razões trigonométricas de triângulos especiais
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Problema de trigonometria: ângulos complementares
Neste vídeo, resolvemos um problema sobre uma pirâmide submersa usando o fato de que o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu ângulo complementar. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- Tem um jeito bem rápido de resolver esse tipo de problema. Os triângulos são semelhantes, eu divido a hipotenusa do menor(108) pela hipotenusa do triângulo maior(180), o resultado é a razão de 0.6, ou seja, todos os comprimentos dos lados desse triângulo menor representam 0.6(60%) do total do ângulo maior, resultado é de 0.6*139=83.4(7 votos)
- eu resolvi o problema de uma outra maneira, subtrai 72 de 180, cheguei aos 108, fiz uma escala 180/139 = 1,29496 e apos 108/1,29496 = 83,4m ;D(4 votos)
- àspoderia optar-se por fazer semelhança de triângulos? 3:35(3 votos)
- Sim, eu fiz assim. Porém nessa aula eles quis demonstrar essa aplicação.(1 voto)
- Dá pra usar regra de três no problema que resolve bem mais rápido, sem contar que é mais simples :)(2 votos)
- Sim dá, eu também fiz assim. Mas nessa aula eles quis demonstrar essa aplicação.(1 voto)
- Legal como podem haver diferentes formas de resolver o problema :)(1 voto)
- Dá para usar função trigonométrica inversa para resolver a questão?(1 voto)
- Sim, fiz usando função trigonométrica inversa e deu o mesmo resultado!(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA - O rio Nilo transbordou e encobriu
todo o seu entorno, exceto por uma ponta da
Grande Pirâmide de Gizé, no Egito. Uma expedição foi enviada para descobrir
o quanto o nível do rio subiu. As pessoas mediram a borda da pirâmide que estava sobre a água e encontraram a medida de 72 metros. Isso aqui. Elas sabiam que a medida
da borda inteira é de 180 metros. Aqui, olha! Elas também sabiam que a altura total da pirâmide
é de 139 metros. Está aqui a altura total. Qual é o nível da água que está acima do solo? Arredonde sua resposta, se necessário,
para duas casas decimais. Então, aqui é o solo, é o nível do solo, e o que eles querem que a gente saiba
é essa medida aqui. Vamos chamá-la de "h" e, agora,
tentar descobrir essa medida "h". Pois bem, o que sabemos o que não sabemos? Ele nos dá a medida desse ângulo, que é θ (teta),
e como esse ângulo aqui é de 90 graus, já que isso aqui é uma altura, esse outro ângulo aqui do triângulo vai ser o complemento desse teta, ou seja, 90° menos θ. Com essa informação, a gente já descobre que
esse ângulo aqui também é θ. Se isso pareceu estranho para você, tudo bem! Eu vou desenhar aqui para fazer um pouquinho mais claro para que você entenda. Vamos lá! Aqui eu tenho um triângulo retângulo e esse ângulo é o ângulo de 90 graus menos o θ. Eu quero descobrir a medida desse outro ângulo,
vamos chamar de "x". Eu sei que se eu somar todos
os ângulos dá 180°. Então, "x" mais 90° menos θ, que é esse ângulo,
mais esse ângulo de 90°, vai ser igual a 180°. E agora, se eu subtrair 180° em ambos os lados da equação, eu vou simplificar isso aqui e isso aqui, certo? Daí, eu vou chegar à conclusão que
"x" menos θ vai ser igual a zero. Logo, somando o θ em ambos os lados, eu vou ter que o "x" vai ser igual a θ. Está aí a dedução. Chegamos à conclusão que o "x" é igual a θ.
Beleza? E agora, o que mais a gente sabe?
A gente sabe que essa medida é de 72 metros. Então, como tudo isso aqui é 180, está dizendo aqui, logo, só essa parte que está sob a água, sob a água, debaixo da água, vai ser 108,
para somar 180. Bom, em que isso aqui vai nos ajudar?
A gente tem que descobrir a medida do "h". Então, aqui eu tenho um novo triângulo retângulo,
sim ou não? Para você poder observar melhor, vou até pintar para ficar mais fácil a visualização. Esse aqui é o nosso triângulo retângulo
considerado, certo? Se eu tenho esse triângulo retângulo,
e eu quero descobrir o valor do "h", eu posso usar uma função trigonométrica
baseada nesse ângulo θ. Então, relativo a esse ângulo θ, o lado "h",
que é o que eu quero saber, é um lado adjacente. E esse lado aqui que vale 108 é a hipotenusa do triângulo retângulo. Sim ou não? E agora, qual é a fusão trigonométrica que vai relacionar o cateto adjacente com a hipotenusa? Podemos usar aqui o "soh cah toa". Certo? Como a gente observa, o seno
é o oposto sobre a hipotenusa, seria esse aqui, esse lado, sobre a hipotenusa. O cosseno é o adjacente sobre a hipotenusa. Então, adjacente sobre a hipotenusa. Vamos usar o cosseno. Cosseno de θ vai ser igual à altura, que é o adjacente, sobre a hipotenusa 108. Só que isso aqui não ajuda muita a gente,
pois a gente não sabe a medida do ângulo θ. Porém, repare que aqui tem θ novamente. E, portanto, talvez, se eu conseguir calcular o cosseno desse θ, eu consiga uma relação que me dê o "h". Vamos ver. O cosseno de θ, que vai ser o mesmo ângulo, e, nesse caso, nós estamos trabalhando
com esse triângulo retângulo aqui, todo ele, grandão aqui. Com base nesse triângulo retângulo grande,
qual vai ser o cosseno de θ? Novamente, é o adjacente, que é 139,
sobre a hipotenusa, 180. Olha aqui o adjacente.
Esse aqui é o lado adjacente. E a hipotenusa está aqui, 180,
que é o mesmo desse lado aqui, não é? Então, vai ser: adjacente, 139, sobre a hipotenusa, 180. Portanto, esse θ, como é exatamente igual a esse θ, de acordo com o que nós demonstramos aqui do lado, e aí, como nós calculamos que
o cosseno de θ é "h" sobre 108, e, ao mesmo tempo, o cosseno de θ é 139 sobre 180, nós podemos, então, igualar esses dois resultados,
já que eles representam o cosseno de θ. Então, eu vou ter que "h" sobre 108
é igual a 139 sobre 180. Beleza? Agora, para achar o valor do "h", basta que eu multiplique ambos os lados por 108, aí eu vou ter que o "h" vai ser igual a 139 vezes 108. Certo? Tudo isso dividido por 180. Para calcular o valor do "h," agora,
eu vou usar a calculadora. Vamos lá! 139 vezes 108 dividido por 180.
Quanto dá? 83,4. Portanto, eu posso escrever que
isso aqui vai ser igual a 83,4 metros, e daí eu cheguei à conclusão que a altura da água
sobre o solo vai ser igual a 83,4 metros, e finalizamos o problema. Até o próximo vídeo!