Introdução à identidade trigonométrica Pitagórica

RKA - Então, o que a gente tem desenhado aqui é um triângulo retângulo, onde o comprimento da base é "a", o comprimento da altura é "b", o comprimento da hipotenusa é "c", e a gente sabe que, quando tem um triângulo deste tipo, a gente relaciona "a", "b" e "c" usando teorema de Pitágoras, né? Então, pelo teorema de Pitágoras, eu sei que “a² + b²” é igual ao comprimento da hipotenusa ao quadrado (né?), é igual a "c²". O que eu quero fazer neste vídeo, então, é relacionar as funções trigonométricas com o teorema de Pitágoras. Para isso, a gente vai escolher um ângulo deste triângulo aqui. Eu vou escolher este ângulo aqui. Então, eu vou escolher este ângulo, vou chamar o ângulo de Θ e eu quero saber: quem é o seno de Θ? Quem é o cosseno de Θ? Como eu vou poder relacionar isso com o teorema de Pitágoras? Antes de a gente começar, vamos relembrar a definição do “soh, cah, toa” que a gente vai usar. Então, o "soh" diz que o seno é o lado oposto sobre a hipotenusa, o "cah" diz que o cosseno é o lado adjacente sobre a hipotenusa, e o "toa" diz que a tangente é o lado oposto sobre o lado adjacente. Bom, vamos primeiro, então, olhar para o “sen Θ”. Quem é o “sen Θ”? O “sen Θ” é o lado oposto ao ângulo Θ, ou seja este lado aqui de comprimento "b", sobre a hipotenusa. E a hipotenusa... o comprimido da hipotenusa é "c". Agora, vamos ver o “cos Θ”. O “cos Θ” é o lado adjacente, ou seja, o lado que está junto com o ângulo que não é a hipotenusa (então, o lado junto com o ângulo é este comprimento aqui, "a") também sobre hipotenusa; o comprimento da hipotenusa é "c". Agora, eu me pergunto: como eu poderia relacionar estas duas coisas? Bom, o que eu vou pensar é que, se “sen Θ” é igual a "b/c", "sen²Θ" é igual a “b²/c²”; assim como "cos²Θ" vai ser igual a “a²/c²”. E, talvez, eu consiga chegar mais perto de relacionar isso com o teorema de Pitágoras aqui. Então, vamos tentar. "sen²Θ" vai ser igual a "b²/c²" e "cos²Θ" vai ser igual a "a²/c²". E esta soma (seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado), quanto será que vai dar? Bom, então, "sen²Θ + cos²Θ". O que a gente sabe é que "sen²Θ" eu posso dizer que é "b²/c²"... mais... "cos²Θ" a gente pode dizer que vai ser "a²/c²" (está ali em cima, né?). Bom, e o que a gente tem aqui? A gente tem uma soma de duas frações que têm denominador comum. Então, no denominador, vai ficar "c²"; e o numerador é "b² + a²". E, agora, o que vai ser “b² + a²”? Olha só! Está aqui. Pelo teorema de Pitágoras, “a² + b²” ou “b² + a²” é igual a “c²”. Então, este numerador, aqui, a gente vai dizer que é igual a “c²”. E a expressão toda ficou “c²/c²”; isso tudo é igual a 1. Então, usando a definição do “soh, cah, toa”... em um próximo vídeo, a gente até vai usar a definição do círculo unitário, mas, agora, só mesmo usando a definição do “soh, cah, toa” das nossas funções trigonométricas, a gente descobriu, provavelmente, a mais importante das identidades trigonométricas, que "sen²Θ + cos²Θ = 1" (isso é igual a 1). Aí, você vai falar: ok, mas qual é a grande vantagem nisso? O que tem de extraordinário nesta identidade? Bom, a grande importância é que, se você me der o seno, eu equaciono e resolvo o cosseno, e vice-versa. Se eu tiver o cosseno de um ângulo, eu coloco na equação e acho o seno. Então, isso é uma coisa muito poderosa, muito útil, que podemos usar na solução de problemas com funções trigonométricas e também é parte da motivação para as definições de funções trigonométricas no círculo unitário. É isso, pessoal! Até o próximo vídeo!