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Introdução às funções trigonométricas inversas

Saiba mais sobre arco seno, arco cosseno e arco tangente, e sobre como eles podem ser usados para encontrar a medida de ângulos desconhecidos de triângulos retângulos.
Vamos dar uma olhada em um novo tipo de problema de trigonometria. Curiosamente, esses problemas não podem ser resolvidos com seno, cosseno ou tangente.
Problema: no triângulo abaixo, quanto mede o ângulo L?
Um triângulo retângulo cujos catetos medem trinta e cinco e sessenta e cinco. O ângulo L é oposto ao cateto menor e é desconhecido.
O que já sabemos: em relação a L, já sabemos os comprimentos dos catetos oposto e adjacente, então podemos escrever:
tg(L)=cateto opostocateto adjacente=3565
Porém, isso não é suficiente para que saibamos a medida de L. Estamos sem saída!
O que precisamos: precisamos de novas ferramentas para resolver problemas como esses. Nossos velhos amigos seno, cosseno e tangente não estão à altura da tarefa. Eles transformam ângulos em razões, mas precisamos de funções que transformem razões em ângulos. Precisamos das funções trigonométricas inversas!

Funções trigonométricas inversas

Já conhecemos as operações inversas. Por exemplo, adição e subtração são operações inversas e multiplicação e divisão são, também, operações inversas. Cada operação faz o contrário da sua inversa.
Na trigonometria, a ideia é a mesma. As funções trigonométricas inversas fazem exatamente o oposto das funções trigonométricas "normais". Por exemplo:
  • O seno inverso (sen1) faz o oposto do seno.
  • O cosseno inverso (cos1) faz o oposto do cosseno.
  • A tangente inversa (tg1) faz o oposto da tangente.
Em linhas gerais, se você sabe a razão trigonométrica, mas não o ângulo, pode usar a função trigonométrica inversa correspondente para encontrar o ângulo. Isso é explicado de forma matemática nas demonstrações abaixo.
Funções trigonométricas têm ângulos como entrada e razões como saídaFunções trigonométricas inversas têm razões como entrada e ângulos como saída
sen(θ)=cateto opostohipotenusasen1(cateto opostohipotenusa)=θ
cos(θ)=cateto adjacentehipotenusacos1(cateto adjacentehipotenusa)=θ
tg(θ)=cateto opostocateto adjacentetg1(cateto opostocateto adjacente)=θ

Alerta de erro de conceito!

A expressão sen1(x) não é a mesma coisa que 1sen(x). Ou seja, o 1 não é um expoente. Em vez disso, ele simplesmente sinaliza que se trata de uma função inversa.
FunçãoGráfico
sen(x)
Um plano cartesiano. O eixo x se inicia em zero e vai até noventa, de dez em dez. Ele está identificado como graus. O eixo y se inicia em zero e é contado de dois em dois décimos. Ele está identificado como uma razão. A reta representada graficamente está identificada como seno de x, a qual é uma curva não linear. A reta de seno de x se inicia na origem e passa pelos pontos vinte e quatro e zero vírgula quatro, por quarenta e zero vírgula sessenta e sete, por cinquenta e dois e zero vírgula oito e por noventa e um. Ela está aumentando a partir da origem até chegar ao ponto de coordenada noventa e um. A taxa de variação se torna menor, ou menos inclinada, conforme os graus, ou valores de x, se tornam maiores. Todos os pontos são aproximados.
sen1(x) (também chamado de arcsen(x)) |
Um plano cartesiano. O eixo x se inicia em zero e segue sendo contado de dois em dois décimos. Ele está identificado como razão. O eixo y se inicia em zero e vai até noventa, de dez em dez. Ele está identificado como graus. A reta representada graficamente está identificada como inversa do seno de x, a qual é uma curva não linear. A reta da inversa do seno de x se inicia na origem e passa pelos pontos zero vírgula quatro e vinte e quatro, por zero vírgula sessenta e sete e quarenta, por zero vírgula oito e cinquenta e dois, e por um e noventa. Ela está aumentando a partir da origem até chegar ao ponto de coordenada um e noventa. A taxa de variação se torna maior, ou mais inclinada, conforme as razões, ou valores de x, tornam-se maiores. Todos os pontos são aproximados.
1senx (também chamado de cossec(x)) |
Um plano cartesiano. O eixo x se inicia em zero e vai até noventa, de dez em dez. Ele está identificado como graus. O eixo y se inicia em zero e segue sendo contado de dois em dois décimos. Ele está identificado como uma razão. A reta representada graficamente é um dividido pelo seno de x, a qual é uma curva não linear. A reta da cossecante de x se inicia de forma decrescente a partir do ponto na coordenada trinta e dois. Ela continua decrescente até chegar ao ponto na coordenada noventa e um. A taxa de variação se inicia inclinada no ponto de coordenada trinta e dois, mas sua inclinação se torna menor conforme o gráfico passa pelos pontos quarenta e um vírgula cinquenta e cinco, por cinquenta e um vírgula três, e por sessenta e cinco e um vírgula um. A taxa de variação se torna muito pequena à medida que o gráfico se aproxima do ponto de coordenada noventa e um. Todos os pontos são aproximados.
No entanto, existe uma notação alternativa que evita essa armadilha! Também podemos expressar a função inversa do seno como arcsen, a função inversa do cosseno como arccos, e a função inversa da tangente como arctg. Essa notação é comum em linguagens de programação de computadores, mas menos comum em matemática.

Solução do problema proposto

No problema proposto, foram dados os comprimentos dos catetos oposto e adjacente, então podemos usar a tangente inversa para encontrar o ângulo.
Um triângulo retângulo com vértices L e V em que o ângulo L é desconhecido. O lado entre os ângulos L e o de noventa graus tem sessenta e cinco unidades de comprimento. O lado entre o ângulo reto e o vértice V tem trinta e cinco unidades de comprimento.
mL=tg1( cateto oposto  cateto adjacente)Defina.mL=tg1(3565)Substitua valores.mL28,30Resolva com o auxílio de uma calculadora.

Agora, vamos tentar resolver alguns problemas.

Problema 1
Dado KIP, calcule mI.
Arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.
O triângulo retângulo K I P em que o ângulo A P I é um ângulo reto. O ângulo K I P é desconhecido. O lado K I mede dez unidades. O lado K P mede oito unidades.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 2
Dado DEF, calcule mE.
Arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.
O triângulo retângulo D E F em que o ângulo D F E é um ângulo reto. O ângulo D E F é desconhecido. O lado D F tem quatro unidades de comprimento. O lado E F tem seis unidades de comprimento.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 3
Dado LYN, calcule mY.
Arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.
O triângulo retângulo L Y N em que o ângulo Y L N é um ângulo reto. O ângulo L Y N é desconhecido. O lado Y N tem dez unidades de comprimento. O lado L Y tem três unidades de comprimento.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Desafio
Resolva todo o triângulo. Ou seja, calcule todos os lados e ângulos desconhecidos.
Arredonde suas respostas para duas casas decimais.
O triângulo retângulo O Z E em que o ângulo O E Z é um ângulo reto. O lado O Z tem nove unidades de comprimento. O lado E Z tem quatro unidades de comprimento.
OE=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
mO=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
mZ=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

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