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Trigonometria

Curso: Trigonometria > Unidade 1

Lição 1: Razões em triângulos retângulos
Matemática
Trigonometria
Triângulos retângulos e trigonometria
Razões em triângulos retângulos
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Razões entre lados de triângulos retângulos como uma função dos ângulos

Google Sala de Aula
 Por semelhança, razões entre lados de triângulos retângulos são propriedades dos ângulos do triângulo.
Quando estudamos congruência, afirmamos que saber duas medidas de ângulos e o comprimento do lado entre eles (congruência ângulo-lado-ângulo) era suficiente para ter certeza de que todos os pares de lados e ângulos correspondentes eram congruentes.
Dois triângulos retângulos com reflexão vertical um do outro. Os dois catetos maiores são congruentes. Os dois ângulos entre os catetos maiores e as hipotenusas são congruentes. Há um símbolo de congruente entre os dois triângulos.
Como é que isso pode ser? Mesmo com o teorema de Pitágoras, precisamos de dois comprimentos de lado para encontrar o terceiro. Neste artigo, vamos dar os primeiros passos para entender como as medidas dos ângulos e os comprimentos dos lados nos dão as informações uns dos outros no caso especial dos triângulos retângulos.
Essa é uma ótima oportunidade para trabalhar junto com um ou dois amigos. O objetivo deste artigo é encontrar e discutir padrões, não gastar tempo fazendo um monte de cálculos. Tente dividir o trabalho para que sobre mais tempo para discutir sobre o conteúdo!

Vamos procurar padrões

Primeiro, vamos coletar alguns dados sobre um conjunto de triângulos.
Como os quatro triângulos estão relacionados?
Quatro triângulos retângulos compartilham o mesmo ponto A e o mesmo ângulo A. Todos os triângulos têm hipotenusas que fazem parte do mesmo segmento de reta, A H. Todos eles também têm as bases no mesmo segmento de reta, A I. O menor triângulo, o triângulo A B C, tem uma base de oito unidades, uma altura de seis unidades, e uma hipotenusa de dez unidades. O segundo menor triângulo, o triângulo A D E, tem uma altura de nove unidades. O segundo maior triângulo, o triângulo A F G, tem uma altura de doze unidades. O maior triângulo, o triângulo A H I, tem uma altura de quinze unidades.
Os triângulos são
de acordo com o critério
.

Tabela de medição
Veja os triângulos novamente.
Quatro triângulos retângulos que compartilham o mesmo ponto A e o mesmo ângulo A. As hipotenusas de todos os triângulos estão no mesmo segmento de reta, A H. As bases de todos eles também estão no mesmo segmento de reta, A I. O triângulo menor, o triângulo A B C, tem base de oito unidades, altura de seis unidades e hipotenusa de dez unidades. O segundo triângulo menor, o triângulo A D E, tem altura de nove unidades. O segundo triângulo maior, o triângulo A F G, tem altura de doze unidades. O maior triângulo, o triângulo A H I, tem altura de quinze unidades.
Complete a tabela de medições referente a ∠A.
△ABC△ADE△AFG△AHI
Comprimento do cateto oposto691215
Comprimento do cateto adjacente8
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
16
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
Comprimento da hipotenusa1015
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
25
Ângulo A37°37°37°37°
Ângulo reto90°90°90°90°
Ângulo desconhecido
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
°
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
°
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
°
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
°

Agora estamos prontos para começar a analisar os dados para encontrar padrões.
Tabela de razões
Complete a tabela de razões.
Arredonde para a casa centesimal mais próxima.
△ABC△ADE△AFG△AHI
cateto adjacentehipotenusa
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
cateto opostohipotenusa
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
cateto opostocateto adjacente
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

O que você percebeu?

Demonstração de que o padrão funciona para outra medida de ângulo

Prova
Complete a prova de que ACBC=FDED.
O triângulo retângulo A B C. O ângulo A mede noventa graus e o ângulo B é o ângulo de referência.
O triângulo retângulo D E F. O ângulo F mede noventa graus e o ângulo E é o ângulo de referência.
AfirmaçãoMotivo
1∠A≅∠FTodos os ângulos retos são congruentes.
2∠B≅∠EDado no exercício
3△ABC∼△
Semelhança
4ACFD=BCEDOs comprimentos dos lados correspondentes de triângulos semelhantes formam razões iguais.
5ACBC=FDEDMultiplique os dois lados por
.

Conclusão da demonstração
O que provamos?
Escolha 1 resposta:
Para que triângulos provamos isso?
Escolha 1 resposta:

O que concluímos?

Se dois triângulos retângulos têm uma medida de ângulo agudo em comum, eles são semelhantes pelo critério ângulo-ângulo. As razões entre os comprimentos de lados correspondentes dentro dos triângulos serão iguais. Portanto, a razão entre os comprimentos de lado de um triângulo retângulo dependem apenas da medida de um ângulo agudo.

Por que isso será útil?

Antes, podíamos usar o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento de qualquer lado de um triângulo retângulo se soubéssemos os outros dois comprimentos. Agora, temos uma forma de relacionar as medidas dos ângulos aos comprimentos de lado do triângulo retângulo. Isso nos permite encontrar os dois comprimentos de lado desconhecidos quando soubermos o comprimento de apenas um lado e uma medida de ângulo agudo. Podemos descobrir até a medida do ângulo agudo em um triângulo retângulo a partir do comprimento de quaisquer dois lados.
Extensão 1.1
Dada a medida de um ângulo agudo em um triângulo retângulo, podemos dizer quais são as razões entre os comprimentos dos lados do triângulo em relação a esse ângulo agudo.
Estas são as razões aproximadas para as medidas de ângulo 25°, 35° e 45°.
Ângulo25°35°45°
cateto adjacentehipotenusa0,910,820,71
cateto opostohipotenusa0,420,570,71
cateto opostocateto adjacente0,470,71
Use a tabela para obter um valor aproximado de m∠J no triângulo abaixo.
O triângulo retângulo J K L. O ângulo K mede noventa graus e o ângulo J é o ângulo de referência. O lado J K tem sete vírgula quatro unidades de comprimento. O lado J L tem nove unidades de comprimento.
Escolha 1 resposta:

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