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Transcrição de vídeo

RKA - Eu imagino que você já esteja acostumado com a ideia de medir ângulos em graus. A gente usa os graus na nossa linguagem do dia a dia. Nós fizemos também alguns exemplos nesta playlist. Por exemplo, se eu fizer um ângulo assim, eu posso dizer que esse ângulo aqui tem 30 graus. Ou então, se nós tivermos um ângulo assim, eu posso dizer que esse ângulo aqui tem 90 graus. E este símbolo, um quadradinho com um pontinho no meio, é o símbolo do ângulo de 90 graus. Se quisermos representar um ângulo de 180 graus, ele é normalmente uma linha reta. É isso aqui. Este seria o ângulo de 180 graus. Deixe eu marcar aqui o vértice dos ângulos. E se você quiser fazer um ângulo de 360 graus, você dá uma volta completa. Se você assiste a competições de skate, por exemplo, eles fazem uma rotação de 360 graus. Então, normalmente, nessas competições, eles falam bastante desses ângulos de 360 graus. São as rotações, não é? E uma coisa que talvez você não tenha percebido e que não seja assim tão óbvia de perceber, é que essa noção de graus é uma construção totalmente humana e não é a única maneira que você tem de medir ângulos. Se você pensar mais um pouquinho sobre isso, pode se perguntar: por que a gente chama uma rotação completa de 360 graus? Existem algumas teorias a respeito disso e eu encorajo você a pensar um pouquinho sobre elas. Por que 360 graus aparecem na nossa cultura como uma rotação completa? Bem, existem algumas teorias a respeito disso. Uma delas é sobre os calendários antigos, inclusive até no nosso próprio calendário, ele está perto disso. Mas os calendários antigos estão baseados no ano tendo 360 dias, ou seja, alguns astrônomos perceberam, observando o céu, que as coisas por lá se moviam 1/360 avos por dia. Uma outra teoria seria que os antigos babilônios gostavam bastante dos triângulos equiláteros e os babilônios também usavam um sistema de numeração de base 60. Portanto, eles tinham 60 símbolos. Nós temos apenas 10 símbolos, do 0 até o 9. A nossa base de numeração é à base 10, a deles lá na Babilônia era base 60. Aqui, no nosso caso, nós gostamos de dividir as coisas em 10 e, na Babilônia, eles gostavam de dividir em 60. Então, imagine, por exemplo, que você tenha um círculo e queira dividir esse círculo em 6 triângulos equiláteros. Cada um desses triângulos equiláteros você divide em sessões de 60. Porque você tem um sistema numérico de base 60. E, aí, você termina chegando nos 360 graus. E o que eu quero falar neste vídeo é de uma maneira alternativa de se medir ângulos. E essa maneira alternativa, apesar de não parecer muito intuitiva no início, é matematicamente mais pura do que essa maneira de medir os ângulos em graus, já que ela não é baseada nessa cultura da base 60, muito menos nos padrões astronômicos. Então, digamos que em alguma civilização extraterrestre, um "alien" provavelmente não vai medir os ângulos como agente mede aqui em graus. Principalmente porque o nosso sistema é baseado neste sistema de observação astronômica e não vai fazer sentido nenhum para esse E.T. Mas é bem possível que eles usem aquilo que nós vamos definir aqui como radiano. Então, há uma pureza matemática no radiano. Portanto, vamos cortar a conversa fiada e vamos definir o que é um radiano. Vou primeiro desenhar aqui uma circunferência. Não ficou tão ruim assim. E agora vou desenhar aqui o centro dessa circunferência. Agora, eu vou fazer aqui o raio dessa circunferência. Você já deve ter percebido que a palavra raio é bem similar à palavra radiano e isso não é uma coincidência. Digamos que essa circunferência aqui tem um raio de comprimento "r". Agora, vamos construir um ângulo. Eu vou chamar esse ângulo de Θ (teta). Vai ser esse ângulo bem aqui, o ângulo Θ. Vamos supor que esse ângulo tem exatamente a medida que nós queiramos. E essa medida é tal que, se eu olhar para esse arco que subtende esse ângulo... Deixe eu terminar de desenhar esse ângulo aqui. Aqui, o ângulo e, portanto, esse arco que subtende esse ângulo... Palavra meio estranha, "subtende". Mas este arco que intercepta essas duas semirretas que formam um ângulo, eu posso dizer que esse arco aqui subtende o ângulo Θ. Vou escrever isso aqui para você ver. Então, esse arco subtende o ângulo Θ. Retornando, vamos dizer que esse ângulo Θ tenha o tamanho exato que nós precisamos para que esse arco tenha exatamente a mesma medida do raio da circunferência. Então, esse arco aqui tenha a medida "r". E se eu quiser definir uma nova maneira de medir ângulos que seja baseada no raio e que eu queria chamar de radiano, quantos radianos você definiria para a medida desse ângulo? Vamos trocar, então, a palavra raios por radiano aqui, no caso. E se a gente sabe que esse arco subtende, você pode pensar: olhe aqui, esse ângulo é subtendido por um arco que vale um raio. Então, por que a gente não chama esse ângulo Θ de um radiano? Um radiano, pois é exatamente assim que um radiano é definido. Então, se você tem uma circunferência e um ângulo que mede 1 radiano, o arco que subtende esse ângulo é exatamente a medida de 1 raio da circunferência. Isso aqui é importante quando você começa a pensar em outras circunferências. Quando você trata de ângulos, tem que fazer algumas contas para poder chegar à medida da circunferência e tudo mais. E aí, então, poderia determinar quantos raios tem subtendido nesse ângulo. Já aqui, não, o ângulo em radiano te diz, exatamente, a medida do arco. Então, pensando nisso... Deixe-me desenhar aqui uma outra circunferência. Beleza! Aqui está o centro da circunferência e aqui, o raio. E se eu quiser descobrir a medida desse ângulo aqui em radianos, quanto isso daria? Pensando nisso, em raios, e que esse ângulo aqui é uma volta completa em torno da circunferência, e em graus, isso aqui seria 360 graus. Portanto, baseado nessa definição que nós acabamos de dar, quanto seria esse ângulo em radianos? Pois bem, vamos pensar no arco que subtende esse ângulo de 360 graus. E o arco que subtende esse ângulo é exatamente toda a circunferência. O arco desse ângulo, então, fazendo aqui, ele subtende toda a circunferência, toda ela. Então, qual é a medida da circunferência em termos de radiano? Se esse raio aqui tem a medida "r", qual é a medida da circunferência em termos de "r"? Como nós sabemos, isso é igual a 2πr. Agora, pensando nesse arco, qual é a medida desse arco que subtende esse ângulo em termos do raio "r"? Ora, isso é 2π multiplicado pelo "r". Esse ângulo aqui, que eu vou chamar de "x", vai ser igual a 2π radianos. E esse ângulo é subtendido por um arco que vale 2π multiplicado pelo valor do raio. Então, imaginando que esse raio é um raio unitário, vale 1, então, a circunferência seria 2π multiplicado por 1. Ou 2π, está certo? 2π. É uma quantidade 2π de raios. Baseado nisso, vamos pensar como a gente pode transformar de graus para radianos e vice-versa. Pensando sobre isso, digamos que eu tenho aqui uma volta completa em torno da circunferência. A gente já sabe que isso é 2π radianos, então, eu vou escrever aqui 2π radianos. Isso vai ser equivalente a quantos graus? Pois bem, nós já sabemos. Uma volta completa em torno da circunferência é 360 graus. Então, 2π radianos serão iguais a 360 graus. Eu posso escrever 360 graus assim, pois escrevendo assim, fica mais claro observar, em vez de escrever as unidades de medida. Bom, eu poderia simplificar um pouquinho mais isso aqui, eu posso dividir os dois lados por 2. Então, eu vou ter que π radianos são equivalentes a quantos graus? Ora, 360 dividido por 2, 180 graus. Aqui, você pode perceber um ângulo de 180 graus. E se a gente desenhar uma circunferência ao redor desse ângulo de 180 graus, você percebe que esse ângulo é equivalente a meia volta em torno da circunferência. Então, o arco que subtende esse ângulo é a metade da circunferência. E a metade da circunferência é uma quantidade π de raios ou π radianos. Ou seja, π radianos é a mesma coisa que 180 graus. Dessa relação, a gente já pode fazer algumas conversões. Por exemplo, 1 radiano vai ser igual a quantos graus? Ora, para eu saber quanto vale 1 radiano, basta que eu divida os dois lados por π. Então, desse lado eu vou ter 1 radiano. Vou escrever agora no singular. Mas deixe eu mostrar o que foi que eu fiz para você não achar que isso é uma espécie de "vodu" que acontece do nada. O que eu estou fazendo aqui é dividir ambos os lados por π. Então, desse lado esquerdo eu vou ter 1 radiano e do lado direito da igualdade, eu vou ter 180 dividido por π graus. Então, eu posso escrever que 1 radiano, 1 radiano = 180 sobre π graus. E essa é uma maneira bem interessante para converter entre graus e radianos. E o oposto disso? Por exemplo, 1 grau são quanto radianos? Bom, eu vou fazer essa conta aqui embaixo. A gente viu aqui em cima que π radianos são a mesma coisa que 180 graus. E agora, quanto será que 1 grau vale em radianos? Ora, para fazer isso eu vou dividir ambos os lados da igualdade por 180. Então, divido por 180 e daqui a gente fica que π dividido por 180 radianos equivale a 1 grau. Isso pode ser um pouco confuso ou estranho, para mim foi assim, no início. Mas só porque a gente não está exposto a isso na nossa vida cotidiana. Nós vamos ver, nos exemplos que virão a seguir, que se a gente mantiver na nossa cabeça que 2π radianos equivalem a 360 graus ou que π radianos equivalem a 180 graus, e são as únicas duas coisas que eu mantenho na minha mente, a gente sempre consegue chegar a estas conclusões aqui de baixo. Portanto, se você me perguntar: como é que você sabe que π sobre 180 radianos é a mesma coisa que 1 grau? Basta que a gente tenha isso em mente. Eu espero que seja um pouco intuitivo para você também que 2π radianos equivalem a 360 graus. Ou que π radiano equivale a 180 graus. E nos próximos vídeos, nós vamos fazer um monte de exemplos para ver se você consegue converter de uma maneira ou de outra. Valeu? Então, até os próximos vídeos! Tchau, tchau!