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Transcrição de vídeo

RKA - O que eu quero fazer neste vídeo é revisitar tudo o que nós sabemos sobre o número π (pi) e tentar entender se este número π é o melhor número para a gente prestar atenção ou não. Na verdade, eu vou ver também aqui um pouco sobre a definição de como é medir os ângulos em radianos; e, aí, fazer uma comparação do π com um outro número que a gente vai ver depois. Olha só! Nós sabemos que este número π é definido... (e eu vou escrever o "definido" com estes três tracinhos aqui)... ele é definido como a razão entre a circunferência e o diâmetro da circunferência. E isto aqui é a mesma coisa que a circunferência sobre duas vezes o raio. Sim ou não? O diâmetro é duas vezes o raio. E, desta definição aqui, a gente deduz todas as outras fórmulas que a gente usa em geometria básica. Por exemplo, se eu souber o raio de uma circunferência, eu tenho como determinar a sua circunferência. É ou não é? Basta que eu multiplique ambos os lados aqui por "2r", e, aí, eu vou ter o quê? Eu vou ter: 2 vezes o raio vezes o π vai ser igual à circunferência. Ou, de uma maneira mais familiar, como a gente conhece melhor: a circunferência é igual a... (rearranjando estes números aqui)... a "2πr". Sim ou não? Esta fórmula aqui é bastante conhecida de todo mundo; e, daqui, eu tiro a relação entre a circunferência e o raio. Se eu souber o raio de uma circunferência, eu consigo determinar o seu comprimento. E daqui, também, vem a maneira como nós medimos os ângulos em radianos. É isso aí! Então, só para a gente fazer uma breve revisão... vou tentar desenhar aqui um círculo da melhor maneira possível... pronto! Eu acho que vai funcionar aqui com este círculo... No caso, aqui, uma circunferência. Desenhei esta circunferência aqui para a gente ver o que é um ângulo em radianos. Aqui eu tenho, digamos, a parte positiva do eixo do "x", certo? E eu vou fazer agora um determinado ângulo. Um ângulo meio que óbvio aqui; este ângulo aqui. Está certo? Está aqui o ângulo. Eu vou chamar este ângulo aqui no caso de "θ" (teta). E, quando eu quero determinar um ângulo em radianos, o que eu quero saber, na verdade, é qual é o ângulo que está subtendido por este arco aqui. Ou seja, quando eu determino o comprimento deste arco aqui em termos do raio da circunferência, este ângulo aqui, automaticamente, vai estar em radianos. Beleza? Então, a pergunta a ser feita aqui é: quantos raios cabem neste arco aqui, que subtende este ângulo aqui, que vai estar em radianos? Então, digamos que eu tenha aqui um raio "r"; e, aí, qual vai ser o comprimento deste arco aqui em função deste valor do "r" aqui? O que nós sabemos da geometria básica é que a circunferência inteira, toda ela, tem um comprimento de 2π vezes o "r". Olha aqui. Portanto, se a circunferência inteira tem 2πr, quanto vai valer apenas este arco aqui? Ora, se a circunferência inteira é "2πr," e eu estou definindo este ângulo aqui como sendo 1/4 da circunferência, então, este arco vai ter a medida de "2πr" dividido por 4. Ou seja, este arco todo aqui vai ter uma medida de "2πr", que é a circunferência inteira, dividido por 4, já que eu estou pegando apenas 1/4 da circunferência. Sim ou não? E isto daqui, se você simplificar, é a mesma coisa que π/2 que multiplica o "r". Ou, já que o "r" é o valor do raio, eu posso dizer que aquele arco ali é π/2 raio. Sim ou não? Ou ainda, eu posso dizer que este arco vai subtender um ângulo de π/2 radiano, certo? Portanto, relembrando o que nós acabamos de falar aqui: se este arco mede π/2 raio, então, ele subtende um ângulo θ que vai ser igual a π/2 radiano. Olha aí! Apenas para dar mais um exemplo aqui, para poder argumentar melhor: imagine que eu estou dando agora uma volta completa na circunferência aqui, esta volta completa. Eu retorno para este mesmo ponto aqui no eixo positivo do "x". Ora, qual vai ser este arco aqui? Vai ser toda a circunferência, ou seja, 2π vezes "r". Ou seja, o comprimento da circunferência toda vai ser de "2πr", o que é a mesma coisa que dizer 2π vezes a quantidade de raios. É ou não é? E isso quer dizer também que este arco de "2πr" (ou 2π raio), ele subtende um ângulo, que é este aqui em azul também, que mede 2π radiano. Está certo? E a partir destas definições todas aqui, a gente deduz todas as fórmulas, todas as funções trigonométricas, e chega até também a definir aquela fórmula de Euler, que é conhecida também como "identidade de Euler", que talvez seja a equação mais bonita, mais bela de toda a matemática. Portanto, vamos fazer uma revisão de tudo isso que a gente está falando aqui. Primeiramente, o que eu vou fazer aqui vai ser desenhar o círculo unitário (o círculo trigonométrico). Vou fazer aqui. Então, aqui está o nosso círculo trigonométrico. Beleza? Este círculo trigonométrico aqui, como você sabe, o raio dele vale 1. Então, digamos que este raio aqui tenha a medida de 1. E, aí, todas as funções trigonométricas, digamos, para um ângulo qualquer aqui que eu vou chamar de θ, a gente tem que: neste ponto aqui a gente vai ter o quê? Um par ordenado em que o eixo do "x" é correspondente ao cosseno do ângulo θ (ou seja, o quanto, no eixo do "x", este valor aqui deste ponto do ângulo representa quando ele vai percorrendo esta circunferência; então, aqui vai ser o “cos θ”); e, então, o “sen θ” vai ser o valor do "y" deste ponto. Então, o "x" é “cos θ”; o "y" é “sen θ”. Portanto, só para deixar claro: o “cos θ” é o valor do "x", que vai ser este valor aqui; e o “sen θ” vai ser este valor aqui no "y". É ou não é? E, agora, o que eu vou fazer aqui é fazer o gráfico da função "sen θ". Poderia também fazer o gráfico do cosseno, mas eu vou fazer apenas o gráfico aqui do seno, só para ter como um exemplo aqui. Então, digamos que aqui eu tenha o gráfico do "sen θ". Vamos definir, agora, alguns valores aqui para a nossa função... antes disso, eu só vou desenhar aqui os eixos do "y" e do "x" (só para relembrar, bonitinho)... "y"... e aqui está o "x", né?... "x" e "y"... e, portanto, quando este ângulo θ for zero, o ponto vai estar aqui, e o seno deste ângulo zero vai ser igual a zero. Então, vai começar aqui, certo? E, aqui, é claro, só para deixar claro para vocês, o "y" vai ser igual ao "sen θ"; e aqui vai ser o eixo dos valores do ângulo θ. Sim ou não? Agora, vamos ver mais um valor aqui para o “sen θ”. Ora, vou dar um valor qualquer para o ângulo θ. Digamos, π/2 (aqui). Quando θ for π/2, como este círculo trigonométrico aqui tem raio 1, o seno, que é o valor no "y", vai ser igual a 1. Sim ou não? Portanto, aqui, quando o θ for π/2, o “sen θ” vai ser igual a 1. O pontinho vai estar aqui. Agora, é o seguinte: eu vou ver o valor do “sen θ” para quando este θ aqui (o ângulo, no caso) for igual a 180 graus. Vai estar aqui, né? 180 graus é a mesma coisa que π. Então, eu vou marcar aqui o π. Quando θ for igual a π, quanto vai ser o “sen θ”? Ora, vai ser igual a zero. E, aí, repare que o ponto vai ficar bem aqui sobre o eixo do θ. Agora, vamos ver mais um ângulo; digamos, este ângulo aqui (vai ter esta abertura aqui). Você pode ver este ângulo como 270 graus ou como 3π/2. Então, aqui, vai estar o ângulo 3π/2; e, quando este ângulo é 3π/2, quanto vale o “sen θ”? Olhe aqui! Vale -1. E, aí, o ponto vai estar onde? Ora, aqui vai estar o -1 (aproximadamente aqui), e o pontinho vai estar aqui. E, aí, finalmente, quando você percorrer 2π radianos, você retorna para este ponto aqui. Sim ou não? E, aí, o “sen θ”, para quando θ for 2π, vai ser igual a zero. Então, o pontinho vai ficar aqui novamente sobre este eixo do θ quando θ for igual a 2π. E, aí, se você conectar estes pontinhos aqui, você vai ver exatamente o gráfico do “sen θ”. Olhe aí. Vai ser mais ou menos assim para este período que nós determinamos aqui, certo? Eu estou fazendo tudo isto daqui (você já sabe, na verdade, isto, dos outros aqui vídeos da Khan Academy), mas eu estou revisitando apenas porque, depois, eu vou olhar novamente sobre tudo isto com um outro número que é diferente de π. Então, preste atenção, está bom? Mas, aí, você pode argumentar comigo o seguinte: ora, o π tem um certo poder místico nele, ele é um número poderoso, porque, por exemplo, ele faz parte da fórmula mais bonita da matemática, da equação mais bela de todas, que é chamada "identidade de Euler". Esta identidade é derivada da seguinte fórmula: "e" elevado a "iθ" é igual ao “cos θ” mais “i(sen θ)”. E a gente viu nas playlists de cálculo como esta equação aqui é bela, pois ela engloba todas as constantes importantes na matemática: o "e", o "i", o π, o 1 e o zero. Esta fórmula aqui, do jeito que ela está, por si só, já é uma fórmula incrível. É uma daquelas fórmulas "mind-blowing", que explodem a sua mente. E ela fica ainda mais louca, ainda mais legal, quando você coloca, no lugar do θ, o π. Daí, eu posso reescrever isto daqui como sendo: "e" elevado a “iπ” igual a quanto? Vamos ver. Ora, quanto vai ser aqui o “cos π”? O “cos π” é igual a -1. Sim ou não? E o “sen θ”, que vai ser o “sen π”? Vai ser zero. E zero vezes “i” dá zero; e a gente tem este resultado aqui: “e” elevado a “iπ” vai ser igual a -1. E, aí, você me pergunta: onde é que está o zero nesta fórmula aí? Ora, basta a gente somar em ambos os lados 1 que a gente vai ter o seguinte: "e" elevado a “iπ” mais 1 é igual a zero. Olhe aí! Esta é a famosa identidade de Euler, que todo mundo acha linda, maravilhosa. Inclusive eu, acho bonito, porém, eu acho um pouco forçado você ter que somar 1 dos dois lados aqui para que a gente tenha este resultado. Esta fórmula aqui, como eu falei antes, é considerada linda e bem profunda na matemática porque ela engloba todas as constantes mais importantes da matemática: o número "e", o "i", o π, o 1 e o 0. Só que, para o meu gosto estético, eu não acho legal ter que somar 1 dos dois lados para obter isto daqui. Ou seja, para mim, seria muito mais legal se tivesse "e" elevado a "i vezes π"... (esta coisa bizarra aqui: o "e" elevado a “iπ”)... se isto fosse igual à unidade, a 1; e não igual a -1. E o que eu vou fazer aqui, o que eu vou argumentar neste caso, é a substituição deste número π por um outro número, diferente de π. E, neste caso, claro, não é uma coisa que eu estou inventando, tá? Existe uma corrente de matemáticos que acham este número melhor que o π para representar algumas coisas, que é um movimento em prol do número τ (tau), em vez do π. A primeira destas pessoas aqui é o Robert Palais, que fala: "π está errado" no título do livro dele. Este aqui é o título (que está em inglês): "π está errado". O que ele diz é que, na verdade, o π não está errado, é claro; ele concorda que o π é a razão entre a circunferência e o diâmetro, e que o π é “3,14159 etc.”, é um número irracional, mas o que o Robert está dizendo aqui é que nós estamos prestando atenção num número errado. É isso aí! Outra pessoa que fala sobre o número τ é o Michale Hartl, que escreveu "O Tau Manifesto". E todas estas duas publicações aqui estão disponíveis on-line; você pode acessar estes dois links aqui (só que estão em inglês, mas está disponível para quem quiser ler). E o que eles fizeram, neste manifesto e em todas estas publicações aí, foi definir um novo número que eles chamaram de τ. E eles definiram τ da seguinte maneira, eles pensaram assim: ora, não seria mais fácil definir um novo número, que a gente chamando de τ, como sendo a razão entre a circunferência e o raio, em vez da circunferência e o diâmetro? E você percebe, na verdade, que o τ vai ser o dobro do π. Você percebe que o π aqui vai ser o seguinte: "C/(2r)" vai ser a mesma coisa que 1/2 que multiplica "C/r". Sim ou não? "C/r" é o τ. Então, o π é a metade do valor do τ, ou seja, o τ é o dobro do π. Então, chegamos à conclusão aqui de que este número τ é o dobro do valor do π. E, como você provavelmente não sabe, não tem o π decorado para várias casas decimais, mas a gente vai escrever aqui, mais ou menos, quanto seria o valor do τ. Este valor aqui, de 2 vezes o π, ele seria "6,283185" e segue assim, indefinidamente. É um número irracional. Toda esta parte decimal aqui nunca se repete. É exatamente o dobro do π, né? Então, se o π é irracional, este número aqui também é. Ele segue indefinidamente, sem uma dízima periódica, e é assim que é definido este número τ. Aí, você pode perguntar assim: ora, mas o π já está sendo usado há milênios. Sim ou não? Ainda mais mexer com um número que a gente levou aqui tanto tempo para explicar, para mostrar o quão profundo ele é! Mas, ora, o argumento que eles estão usando aqui, na verdade, que é também um argumento bem convincente, é que, na verdade, as coisas ficam mais elegantes, mais fáceis, se nós usarmos o τ no lugar do π. Ou seja, as coisas ficam mais interessantes quando nós prestamos atenção no dobro do π do que, na verdade, na sua metade (no valor do π naturalmente); ou seja, quando nós prestamos atenção neste número aqui, no τ. Pois bem, vamos pensar no seguinte agora aqui, neste primeiro círculo trigonométrico que nós fizemos aqui: imagine se este ângulo aqui, em vez de representarmos através do π, se nós o representássemos através do τ. Antes disso, vamos prestar atenção nesta fórmula aqui, na fórmula da circunferência igual a “2πr”. Ora, como a gente sabe, o τ é o dobro do π. Então, a gente poderia reescrever esta fórmula como sendo: circunferência é igual a τ que multiplica o raio. Olha aí! Ficou mais fácil a fórmula. Como a gente sabe, o τ é 2 vezes o π, portanto, a fórmula ficaria assim; e, aí, ficaria mais simples de escrever esta fórmula. Só que, se a gente for escrever, por exemplo, a fórmula da área do círculo (que antes era π² vezes r), aí, ficaria um pouco mais bagunçado. Mas você pode argumentar, né? É tudo uma questão de argumento. Só que o fato é que o τ torna a medida dos ângulos em radianos muito mais simples. Por quê? Olha só: este ângulo aqui, que nós colocamos aqui, o ângulo θ, que está nesta cor lilás aqui, ele vale, em função de π, π/2 radiano. Agora, se eu colocar no τ, este ângulo vai ser τ/4. E você percebe o seguinte: que este ângulo é 1/4 de volta em torno da circunferência; então, é muito mais intuitivo usar o τ. Então, ele seria τ/4 radiano. Olha aí! Certo? E o que seria uma volta completa ao redor da circunferência? Onde antes era 2π radianos, agora seria τ radianos, ou seja, 1τ. Muito mais intuitivo, sim ou não? Ou seja, onde antes com o π você deveria fazer algumas contas mentais (mesmo que simples), com o τ é muito mais fácil, já que 1/4 de volta é (1/4)τ, 1 volta é 1τ, e assim por diante. Ou seja, se eu desse também aqui uma meia volta por exemplo (um ângulo de 180 graus), onde antes eu teria π radianos, agora eu vou ter τ/2. Sim ou não? Aqui seria τ/2 radianos. Ou seja, meia volta ao redor do círculo: (1/2)τ. 3/4 de volta ao redor deste nosso círculo aqui, desta circunferência, vai ser (3/4)τ. Olha aí! É ou não é mais intuitivo? Uma volta completa seria 1τ. E, se alguém te perguntasse assim: ora, um ângulo de 10τ seriam quantas voltas ao redor desta circunferência? 10 voltas. Muito mais fácil, né? E aqui no gráfico também ficaria mais simples: em vez de π/2, eu sei que 1/4 de volta ao redor desta nossa circunferência seria τ/4 (olha aí!). No lugar do π, que seria meia volta ao redor da circunferência, eu teria τ/2. No lugar de 3π/2, que é a mesma coisa que 3/4 de volta na circunferência, eu teria o quê? Eu teria 3τ/4. E, no lugar do 2π aqui, eu colocaria o quê? τ, que é uma volta. Sim ou não? Muito mais fácil! Mas, aí, os defensores do π também podem relembrar desta fórmula aqui que nós deduzimos aqui embaixo, que é a fórmula mais linda da matemática de todos os tempos, e, aí, falar: ora, o π faz parte desta fórmula. Vamos ver como esta fórmula ficaria se nós colocássemos o τ no lugar do π. Vamos ver aqui como isto ficaria. Se eu colocasse, então, "e" elevado a “iτ”, eu teria que isto aqui é igual ao “cos τ” mais o "i(sen τ)". E, aí, como você já lembra aqui da nossa explicação, τ é uma volta ao redor daquele círculo, daquela circunferência, portanto, eu vou ter que "e" elevado a "iτ" vai ser igual a “cos τ”... quanto é o “cos τ”? É igual a 1... e o "i"... mais "i(sen τ)”. O “sen τ” vai ser quanto? Vai ser zero. Portanto, isto daqui daria zero; logo, nós temos esta correspondência aqui: "e" elevado a “iτ” é igual a 1. E eu deixo para você decidir qual delas tem um significado mais profundo. E nós nos vemos no próximo vídeo!