Cosseno, seno e tangente de π/6 e π/3

RKA20JL - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos aprender o seno, o cosseno e a tangente de dois ângulos fundamentais, que são π/3 e π/6. E claro, se você quiser, você também pode fazer a conversão de radianos para graus. Basta, por exemplo, você saber que π = 180, aí, você vai ter 180/3, que vai dar 60, e aqui, no π/6, temos 180/6, que é a mesma coisa que 30°, e claro, vou calcular isso usando a definição dessas funções trigonométricas em um círculo unitário. Mas, antes disso, deixa eu relembrar, com um triângulo que tem 30°, 60° e 90°, ou seja, através de um triângulo, vou conseguir descobrir essas funções trigonométricas. Este aqui vai ser o ângulo reto, o ângulo de 90°, e vamos dizer que este aqui seja π/3, que é o de 60°, e este aqui, o π/6, que é 30° e, claro, supondo que isso aqui seja o raio de um círculo unitário, a nossa hipotenusa vai ser igual a 1. E, para nos ajudar, quais são os outros lados? O que eu vou fazer aqui é refletir este triângulo sobre esse lado e, aí, vou ficar com algo mais ou menos assim. E claro, por causa dessa reflexão, temos algumas informações importantes, como, por exemplo, que este lado aqui é igual a este e esta aqui vai ser a hipotenusa do triângulo que eu refletir (então, vai ser igual a 1), e esse ângulo é π/6 e, consequentemente, este outro é π/3. E note que, se juntarmos os dois triângulos, temos esse triângulo maior aqui. E o que sabemos dele? Sabemos que ele é um triângulo equilátero. Note que todos os ângulos internos são iguais a π/3; π/3 aqui, π/3 aqui e, se você somar π/6 com π/6, vai ser a mesma coisa que π/3. Ou seja, um triângulo com os três ângulos internos iguais a 60°. Além disso, em um triângulo equilátero, todos os lados são iguais. Ou seja, todos os comprimentos, neste caso, são iguais a 1. E como esses dois lados menores são iguais, isso significa que eles dividem o segmento em duas metades iguais. Ou seja, essa metade é igual a ½ e esta aqui, também. E saber isso é útil para descobrir este comprimento aqui. Isso porque temos dois triângulos retângulos aqui e podemos utilizar qualquer um, mas podemos utilizar o de baixo e aplicar o teorema de Pitágoras e, aí, vamos ter que (½)² + b² = hipotenusa². Então, 1². E resolvendo isso, vamos ficar com ¼ + b² = 1 e subtraindo ambos os membros desta igualdade por ¼, vamos ficar com b² = ¾. E extraindo a raiz quadrada em ambos os membros desta igualdade, vamos ficar com b = √3/2. Pronto, descobrimos este lado aqui do triângulo, que é b = √3/2. E, como eu disse, isso vai ser útil para calcular essas funções trigonométricas aqui. Tá, eu vou colocar dois círculos trigonométricos aqui, onde vou calcular as funções trigonométricas de cada um desses ângulos. Primeiro, vamos colocar o ângulo π/3 no círculo e vamos ver que é mais ou menos aqui (lembrando que é uma abertura de 60°), então, esse aqui é π/3. O seno e o cosseno podem ser calculados pelas coordenadas x e y do ponto, que é a interseção entre o raio e o círculo trigonométrico. Então, esse ponto é o cosseno de π/3 e o seno de π/3. Tá, se você não entendeu isso, deixa eu fechar um triângulo retângulo aqui, com os ângulos 30°, 60° e 90°. Esse aqui vai ser um ângulo reto e esse aqui vai ser 30°, ou π/6. E é aí que entra o triângulo que desenhamos. Vai ser algo parecido com isso aqui: a coordenada x vai ser o cosseno do ângulo adjacente, ou seja, esse comprimento aqui. E, como sabemos desse triângulo, quando a hipotenusa é 1, o lado oposto a π/6 = ½, ou seja, esse comprimento é igual a ½. Portanto, cos π/3 = ½. Ou seja, é a coordenada x do ponto de interseção entre esse raio e o círculo unitário. Então, cos π/3 = ½. Esta coordenada aqui. Tá, e sen π/3, onde vai estar? É a coordenada y, que tem o mesmo comprimento que esse lado aqui do triângulo, e que é igual a b, que é √3/2. Ou seja, sen π/3 (ou 60°) = √3/2. E claro que é importante você decorar essas relações trigonométricas, mas também é importante saber de onde elas vêm, caso você se esqueça, né? E claro, se você quiser memorizar, essas duas aqui são as principais, porque é muito mais fácil descobrir a tangente. Lembrando que, para descobrir a tangente, dividimos o seno pelo cosseno. Deixe-me colocar isso aqui. Bem, a tangente de π/3 vai ser igual ao seno, que é √3/2, e dividimos isso pelo cosseno, que é ½, e para fazer uma divisão de fração, repetimos a fração de cima e multiplicamos invertendo a segunda e quando fazemos isso, encontramos √3. Para finalizar, vamos utilizar a mesma lógica para encontrar sen, cos e tg 30°. Claro, sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. A primeira coisa que você tem que fazer é construir esse ângulo de 30°, mais ou menos assim, e que podemos colocar em radianos, ou seja, π/6, e, de novo, construímos um triângulo retângulo formando esse ângulo reto, e a hipotenusa dele é igual a 1. E como esse ângulo é igual a π/6, e este aqui é igual a 90° e baseado nesse triângulo, sabemos que esse ângulo é π/3. Ou seja, é esse mesmo triângulo em azul aqui. Por causa disso, já conhecemos esse lado, que é ½, e esse aqui é igual a b, que é √3/2. Isso é bastante útil para encontrar as coordenadas desse ponto aqui. Ou seja, a coordenada x desse ponto, que é a interseção entre a hipotenusa e o círculo unitário, e que é igual a √3/2. E a coordenada y = ½. E esses são os valores do cosseno e do seno de π/6. Ou seja, cos π/6 = √3/2 e sen π/6 = ½. Tá, e qual vai ser a tangente de π/6? Vai ser a medida do seno, que é ½, dividida pelo cosseno, que é √3/2. De novo, repetimos a fração de cima e multiplicamos pelo inverso da de baixo. E podemos cancelar esse 2 com esse aqui, ficando com tg π/6 = 1/√3. E você ainda pode racionalizar isso multiplicando tanto numerador quanto denominador pela √3, E aí vai ficar com √3/3. Espero que esta aula tenha ajudado, e até a próxima, pessoal!