If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:8:21

Amplitude e período de funções senoidais a partir da equação

Transcrição de vídeo

RKA - A pergunta aqui é a seguinte: determine a amplitude e o período de "y = (-1/2) cos 3x". E a primeira coisa que devemos nos perguntar é o que significa amplitude, pois a amplitude de uma função periódica é exatamente a metade da diferença entre o mínimo e o máximo valores que essa função pode assumir. E, então, se eu desenhar aqui uma função periódica, cujo gráfico se comporta dessa forma aqui (sobe e desce, sobe e desce dessa forma), nós percebemos que a função tem um valor máximo (que está por aqui assim) e tem um valor mínimo (que está por aqui). Daí, você tira a diferença entre esse valor máximo e esse valor mínimo e a metade desse valor, da diferença, vai ser a amplitude dessa função periódica. E uma outra maneira de pensar sobre a amplitude é descobrir o quanto gráfico diverge tanto aqui para cima quanto para baixo em relação a esse eixo central aqui que está dividindo esse gráfico bem ao meio. E, aqui, nós temos a seguinte função "y = (-1/2) cos 3x", e qual será a amplitude, então, dessa função? Uma maneira fácil de pensar sobre isso é você simplesmente observar o que está multiplicando o "cos 3x". Você poderia fazer essa mesma coisa se fosse o seno. Aqui, nesse caso, nós temos -1/2 multiplicando cosseno; logo, a amplitude da função será igual ao valor absoluto de -1/2. E quanto é o valor absoluto de -1/2? Ora, é, simplesmente, 1/2. Daí, você se pergunta: mas por que que eu peguei valor absoluto e não me importei com esse sinal de "menos"? Pois bem, esse "menos" aqui, ele simplesmente inverte o positivo com o negativo (onde antes era positivo passa a ser negativo e vice versa), mas ele não muda essa amplitude da função, ou seja, ele não muda os valores de máximo e de mínimo. Outra pergunta que você pode fazer é: por que que eu não peguei o valor absoluto disso aqui tudo? Bom, você deve lembrar que a função cosseno, assim como a função seno, elas variam entre o 1 positivo e o 1 negativo; logo, esse valor aqui está multiplicando 1 ou -1. E, então, se esse coeficiente aqui fosse, simplesmente, 1 ou -1, a amplitude seria, simplesmente, 1; mas, como nesse caso aqui eu estou multiplicando por -1/2, consequentemente, a amplitude vai ser igual a 1/2. Agora, vamos pensar sobre o período. O período de uma função periódica. A primeira coisa que eu pergunto para você é: o que significa o período de uma função, a que isso se refere? Bom, antes disso (antes de responder), eu vou colocar aqui o eixo "x" e "y" nessa função. Vamos dizer que aqui está o eixo do "y", e vamos dizer que aqui é o eixo do "x". Aqui, eu tenho o "x"; aqui, eu tenho o "y". Pois o período de uma função periódica vai ser o menor intervalo aqui no eixo do "x" que vai conter exatamente uma cópia do padrão que se repete. E, então, nesse caso aqui por exemplo, vamos ver o que que isso significa. Eu vou partir desse ponto aqui; aí, aqui, eu venho para baixo e subo novamente. Então, se repetiu aqui, né? Posso fazer isso, novamente. Eu vou para baixo e subo novamente e aqui tenho mais uma cópia do padrão. Logo, por exemplo, como esse padrão aqui se repetiu dessa forma, eu vou dizer que daqui até aqui eu tenho um período dessa função. Um outro período poderia ser considerado daqui até aqui, não é isso? Mas eu não preciso, necessariamente, escolher esse padrão; eu poderia, por exemplo, ter como ponto inicial aqui, e, aí, dizer que o meu padrão é esse aqui: começo daqui subindo, subo, subo, subo, e, daqui, desço e aqui vai se repetir o padrão. Então, o período seria daqui até aqui. E eu ainda poderia ir, por exemplo, para o sentido negativo. Começar daqui desse ponto novamente e fazer isso aqui para cá. E, aí, olhe o padrão se repetindo aqui embaixo. Então, aqui seria mais um período (daqui até aqui). Mas, não importa qual padrão eu escolha, esse intervalo aqui vai ter o mesmo tamanho sempre. Pois, tendo isso em mente, qual vai ser o período dessa função aqui? Para determinar o período, basta que eu pegue 2π e, depois, divida por esse coeficiente aqui. Então, dividido por 3. Nesse caso, nós vamos dividir sempre pelo valor absoluto; então, é o valor absoluto de 3. O valor absoluto de 3 é, simplesmente, o próprio 3. Então, a gente vai ter que o período é igual a 2π/3. Mas, aí, você se pergunta: por que que isso daqui funciona? Ora, se a gente pensar na função tradicional do "cos x" ou até do "sen x" (é a mesma coisa, eles têm períodos iguais), se você fizer o círculo unitário aqui, dessa forma (eu vou fazer aqui os eixos), se a gente começar aqui do zero, 2π radianos depois a gente vai retornar para esse mesmo ponto. Depois, mais 2π radianos e eu retorno para o mesmo ponto. Se eu for na direção negativa, -2π radianos, e eu retorno para o ponto inicial. -2π radianos, novamente. E isso não funciona só com o ângulo zero, eu posso pegar qualquer ângulo. Se eu pegar esse ângulo aqui e caminhar 2π, eu retorno para esse ponto. E, se eu fizer -2π, eu também retorno para esse ponto. Então, o período para essas duas funções aqui, o período é igual a 2π. E o porquê disso aqui fazer sentido é que, é claro, quando você multiplica um determinado ângulo "x" por 3, você faz ele atingir 2π três vezes mais rápido. Então, eu preciso compensar isso, dividindo por 3 aqui. Ficou claro? Como eu vou atingir 2π três vezes mais rápido, eu divido por 3, que, aí, fica tudo bem. Mas, aí, você se pergunta também: por que que tem que ser o valor absoluto? Ora, se fosse um número negativo, ele iria fazer você se aproximar do -2π três vezes mais rápido, mas, na verdade, é claro, -2π e 2π, quando a gente pega o comprimento, eles representam a mesma coisa. E, agora, o que eu vou fazer, na verdade, vai ser fazer o gráfico dessa função. Vamos desenhar aqui o eixo do "x" e do "y". Está aqui o eixo do "y"; e, agora, o eixo do "x" (aqui assim). Aqui está o zero. Vamos desenhar aqui agora a reta horizontal "x = 1/2". Aqui é o 1/2; então, vai ficar aqui assim. "x = 1/2" vai ser isso aqui. E vamos fazer também aqui o -1/2. Vai estar por aqui assim. E isso vai me dar o meu limite inferior da função. A função vai ter esse limite aqui embaixo: "x = -1/2". Agora, é o seguinte: o que que acontece se esse "x" aqui for zero? Eu teria "cos 0", que é igual a 1; e, então, 1 vezes -1/2 vai dar -1/2. Vai estar bem aqui, né? E, aí, marcado esse ponto, ela vai começar a subir aqui (só pode ir para essa direção porque tem esse limite; ela não pode vir aqui para baixo). Então, vamos lá, ela vai fazer isso aqui: vem aqui, e, aqui, ela retorna até chegar num ponto correspondente àquele ponto inicial aqui embaixo. E a questão vai ser: qual é o tamanho dessa distância aqui, que vai ser exatamente o período da função? Ora, nós já calculamos isso; é 2π/3. Ele vai chegar nesse ponto 3 vezes mais rápido que uma função tradicional "cos x". E, se você percorrer, novamente, mais 2π/3, ela vai, novamente, completar um ciclo aqui assim. E, nesse caso, você vai estar lá no ponto 4π/3. Portanto, essa distância aqui (daqui até aqui) vai ser mais um período. E, se eu fizer a mesma coisa aqui no sentido negativo, acontece também exatamente o que aconteceu ali no sentido positivo. Aqui, pronto, completei mais um ciclo; e esse ponto aqui vai ser o ponto 2π/3 negativo, então -2π/3, certo? E, aqui, a gente pode também observar a amplitude. Como eu disse, vai ser a diferença entre o ponto máximo e mínimo, então, "1/2 - (-1/2)"; isso vai dar igual a 1. E a metade disso vai ser a amplitude. Então, a metade de 1 vai ser igual a 1/2 ou "0,5". Ou eu posso, simplesmente, dizer que a função tem uma magnitude de 1/2. Ela se afasta 1/2 unidade do seu ponto central até o seu ponto máximo ou até o seu ponto mínimo. Está aqui; essa distância aqui também vai ser de 1/2. Beleza? Então, nos vemos no próximo vídeo!