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Bônus: equações do algoritmo de De Casteljau

Desafio: você consegue resolver as equações para curvas de grau n geradas pelo algoritmo de De Casteljau?

Equação paramétrica para uma reta

Na primeira etapa do algoritmo de Casteljau, definimos um ponto ao longo de uma reta em função de t. Por exemplo, se tivermos uma reta entre dois pontos, A e B, então podemos definir um ponto, P(t), nessa reta.
A equação para o ponto é:
P(t)=(1t)A+tB
Uma reta entre os pontos A e B
Conforme t vai de 0 a 1, P(t) traça a reta de A e B. A equação é linear, então a reta pode ser considerada uma curva de grau 1.

Curvas de grau 2

Quando criamos uma curva de grau 2 (uma parábola), usamos três pontos, A, B e C
Um arco parabólico definido pelos pontos A, B e C
Agora, obtemos essa equação para um ponto na curva:
P(t)=(1t)2A+2(1t)tB+t2C

Curvas de grau 3

Se criarmos uma curva de grau 3 usando quatro pontos, A, B, C e D, a equação para um ponto na curva é em função de A, B, C e D?
P(t)=

Curvas de grau 4

E se criarmos uma curva de grau 4 usando cinco pontos, A, B, C, D e E?
P(t)=

Curvas de grau n

Agora, vamos ver se podemos identificar quaisquer padrões nessas equações que vão nos permitir encontrar uma equação geral que usa n+1 pontos, A0,A1,,An1,An, para definir uma curva de grau n.
Observe o primeiro termo em cada uma das equações acima e veja se você consegue identificar um padrão.
Qual seria o coeficiente de A0 em uma curva de grau n?

Observe o último termo em cada uma das equações acima e veja se você consegue identificar um padrão.
Qual seria o coeficiente de An em uma curva de grau n?

Agora, a parte mais difícil: olhe para o restante dos termos em cada uma das equações acima. Observe que cada termo tem:
  1. uma constante
  2. (1t) elevado a uma potência
  3. t elevado a uma potência
Por exemplo, para uma curva de grau 2, o termo A1 é 2(1t)t, então o termo constante é 2, o expoente em (1t) é 1, e o expoente em t é 1.
No coeficiente do termo Ai em uma equação para uma curva de grau n:
Qual é o expoente sobre (1t)?

Qual é o expoente sobre t?

Super desafio extra

Você consegue encontrar uma fórmula para o termo constante de Ai? Feito isso, você consegue combinar todas essas partes em uma equação para P(t) para uma curva de grau n?

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