Bônus: equações do algoritmo de De Casteljau

Na primeira etapa do algoritmo de Casteljau, definimos um ponto ao longo de uma reta em função de $t$‍. Por exemplo, se tivermos uma reta entre dois pontos, $A$‍ e $B$‍, então podemos definir um ponto, $P(t)$‍, nessa reta.

A equação para o ponto é:

Conforme $t$‍ vai de $0$‍ a $1$‍, $P(t)$‍ traça a reta de $A$‍ e $B$‍. A equação é linear, então a reta pode ser considerada uma curva de grau $1$‍.

Quando criamos uma curva de grau $2$‍ (uma parábola), usamos três pontos, $A$‍, $B$‍ e $C$‍

Agora, obtemos essa equação para um ponto na curva:

Agora, vamos ver se podemos identificar quaisquer padrões nessas equações que vão nos permitir encontrar uma equação geral que usa $n+1$‍ pontos, $A_0,A_1,\text{…},A_{n-1},A_n$‍, para definir uma curva de grau $n$‍.

Agora, a parte mais difícil: olhe para o restante dos termos em cada uma das equações acima. Observe que cada termo tem:

Por exemplo, para uma curva de grau $2$‍, o termo $A_1$‍ é $2(1-t)t$‍, então o termo constante é $2$‍, o expoente em $(1-t)$‍ é $1$‍, e o expoente em $t$‍ é $1$‍.

No coeficiente do termo $A_i$‍ em uma equação para uma curva de grau $n$‍:

Você consegue encontrar uma fórmula para o termo constante de $A_i$‍? Feito isso, você consegue combinar todas essas partes em uma equação para $P(t)$‍ para uma curva de grau $n$‍?