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4. Qual é o grau dessas curvas?

Bônus! Neste vídeo vamos conectar o grau dessas curvas ao número de pontos de controle dessa construção.

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Transcrição de vídeo

RKA7MP - Agora que vimos como as curvas de Bézier se comportam geometricamente, vamos olhar para a álgebra, iniciando com uma linha poligonal de 3 pontos. Como antes, construímos um ponto "Q" usando interpolação linear, isto é, o ponto médio do segmento AB. Algebricamente, o ponto "Q" pode ser descrito como 1 menos "t" vezes "A", mais "t" vezes "B". Em seguida, construímos um ponto "R" no segmento BC, o que significa que podemos escrever "R" como: "R" igual a 1 menos "t" vezes "B", mais "t" vezes "C". Finalmente, conectamos "Q" e "R" e fazemos a última interpolação linear para obter "P", nosso ponto na curva. "P" é igual a 1 menos "t" vezes "Q", mais "t" vezes "R". Desta última equação, "P" é de grau 1 em "t". Mas as duas primeiras equações também dependem de "t". Então, vamos substituir as duas primeiras equações na terceira, para obter esta expressão. Efetuando as multiplicações e fazendo os agrupamentos, reescrevo "P" como: "P" é igual a 1 menos t² vezes "A", mais 2t vezes 1 menos "t", vezes "B", mais t² vezes "C". Todos os termos ao quadrado nos mostram que "P" é um polinômio de grau 2. Interessante, uma linha poligonal de 3 pontos leva um polinômio de grau 2, o que faz sentido porque nós fizemos dois estágios de interpolação linear. No primeiro estágio, computamos "Q" e "R" e, no segundo estágio, computamos "P". Agora, o que acontece com o grau se iniciarmos com uma linha poligonal de 4 pontos, você imagina? No primeiro estágio, eu computo 3 pontos usando interpolação linear. No segundo estágio, eu computo 2 pontos e, no terceiro estágio, eu computo 1 ponto. Já que eu tenho 3 estágios, a curva resultante terá grau 3, o que significa que uma linha poligonal de 4 pontos resulta em uma curva de grau 3. Você pode generalizar o algoritmo de Casteljau para iniciar com 5, 6 ou qualquer número de pontos. A regra é: Se iniciamos com "n" pontos, você consegue um polinômio de grau "n" menos 1. Bem arrumado! Parabéns por completar esta lição! Se você se sente particularmente forte, tente fazer o desafio bônus a seguir.