1. Média ponderada de três pontos

RKA4JL - Até agora você viu como usar subdivisões para criar as superfícies que definem as formas dos nossos personagens. Nesta lição, nós vamos nos aprofundar na matemática por trás das médias ponderadas e, como antes, vamos iniciar nosso exercício do jeito mais simples, que é observando as curvas 2D antes de trabalhar com as superfícies 3D. E nós vamos começar a ver que subdivisão pode ser muito flexível, ou seja, seremos capazes de obter vários resultados apenas variando os pesos. Para continuar o nosso estudo sobre médias ponderadas, vamos relembrar que em nosso ambiente de modelagem nós observamos uma média ponderada entre dois pontos. Então, vamos começar esta aula como uma pequena revisão. A gente escreveu que a média ponderada entre dois pontos, A e B, como M igual a (1 menos t) vezes A, mais (t vezes B). O parâmetro "t" controla o peso e, portanto, a posição onde M estará ao longo de A e B. Lembre-se também que os pesos na frente de A e B têm que ser um valor até o número 1, para representar uma média de forma adequada. Podemos reescrever ainda a expressão para M de uma forma mais fácil para adicionar mais pontos, ou seja, M é igual a "a" vezes A, mais "b" vezes B, tudo isso dividido por "a" mais "b". Observe que temos de dividir tudo isso por "a" mais "b" para que a expressão seja uma média adequada. A geometria simétrica dessa fórmula diz que a razão entre os comprimentos AM e MB é igual à razão entre "b" e "a". Agora, vamos generalizar para o caso de uma média entre três pontos, ou seja, M é igual a "a" vezes A, mais "b" vezes B, mais "c" vezes C, tudo isso dividido por "a" mais "b" mais "c". A geometria ainda diz que as áreas dos subtriângulos estão na razão de "a" para "b" para "c". Aqui, todos os pesos são iguais a 1, de modo que M é o ponto médio e todas as áreas são iguais. Suponha agora que quiséssemos que o peso do B fosse duas vezes maior que o peso de A e C. A álgebra será, então, M igual a 1 vezes A, mais 2 vezes B, mais 1 vezes C, e tudo isso dividido por 4. De acordo com a geometria, a área do triângulo oposto a B será duas vezes maior que a área dos outros dois triângulos. Aumentar o peso de B faz o ponto M ficar mais perto de B. Aumentar para três, faz ele ficar ainda mais perto. Definindo, agora, o peso de A para a zero, ele não será levado em consideração. Dessa forma, o ponto M estará no meio da linha entre B e C. Eu adoro essa conexão entre a álgebra e geometria. Isso é tão elegante e realmente útil também. Às vezes o problema é melhor resolvido olhando para a geometria e às vezes é olhando para a álgebra. Por isso que é tão importante ser fluente em ambas. No próximo exercício você vai testar o seu conhecimento sobre esses conceitos. Eu adoraria falar tudo isso em espanhol... (Alonso Martinez falando em espanhol)