1. Média ponderada de dois pontos

RKA6GM - Até agora, nossa discussão tem sido, em grande parte, visual e geométrica. Isso é bom, porque é assim que nossos artistas pensam, mas, na Pixar, também temos de criar programas de computador, e computadores preferem números, equações e álgebra. Então, de alguma forma, temos que unir estes dois mundos, os mundos de imagem e geometria, e o mundo da álgebra, números e equações. Na verdade, essa ponte entre os dois mundos foi uma das coisas que me atraiu para a computação gráfica. Eu acho fascinante como a álgebra e a geometria conspiram para criar arte. Então, o que vamos fazer é desenvolver uma forma que nos permita calcular pontos exatamente sobre a parábola. E a fórmula vai nos permitir criar programas de computador como este, que será capaz de desenhar uma parábola sem ter que desenhar nenhuma linha de string art. O primeiro passo na busca por essa fórmula é generalizar a ideia de média ou pontos médios à ideia de médias ponderadas. Então, vamos olhar para o nosso segmento de linha "AB" novamente, mas, em vez de querer calcular o ponto médio, suponha que eu queira calcular um ponto "M", digamos, bem aqui, de modo que "B" tem o dobro do peso de "A". Não há nada de especial nisso, é só um exemplo simples de um ponto que não é médio. Então, a álgebra diria que "M" é uma cópia de "A" mais duas cópias de "B", dividido por 3, para que esta seja uma média correta. Eu posso simplificar escrevendo 1A + 2B dividido por 3. E, para simplificar ainda mais, escrevemos 1/3 de "A", porque existe 1 implícito em frente ao "A", e há um 2/3 na frente do "B". E note que esse 1/3 mais esse 2/3 somam 1, e isso é outra maneira de dizer que essa é uma média correta. Então, essa é a álgebra. Agora, vamos dar uma olhada na geometria. Bem, a geometria diz que este comprimento aqui, "AM", vai ser na proporção de 2/3 a este comprimento aqui, "MB", que vai ser na proporção de 1/3. Agora, observe que a álgebra diz que o 2/3 está grudado no "B", mas a geometria diz que ele fica do lado do "A". Isso parece um pouco estranho à primeira vista. Mas se você pensar sobre isso, até que faz sentido. Porque se o peso maior fosse em frente ao "B", este ponto estaria muito próximo de "B". Ok! Nós podemos generalizar ainda mais, e deixem-me substituir o 2/3 aqui por uma fração arbitrária chamada "t". Assim, o "t" vai ficar com o "B" na álgebra, e, agora, para que isso seja uma média correta, eu preciso colocar algo na frente do "A", de modo que algo mais "t" é igual a 1. Bem, algo que, quando adicionado a "t", é 1, ou seja, é a fração "1 - t". Assim, a minha expressão agora é (1 - t) vezes "A" mais "t" vezes "B". E essa é a álgebra desta situação generalizada. Na geometria, estes 2/3 são substituídos pelo "t", e este 1/3 é substituído por "1 - t". Então, vamos ver isso com números em um programa interativo. Aqui eu tenho um segmento de linha, que eu posso arrastar, você pode ver as coordenadas de "A" e as coordenadas de "B". E agora, é inicializado de modo que o ponto que eu estou calculando é o ponto médio. E você pode ver as coordenadas de "A" e as coordenadas de "B". E agora, é inicializado de modo que o ponto que eu estou calculando é o ponto médio. Mas, agora, eu posso deslizar neste ponto como eu quiser, ao longo desta linha, e isso ajusta o valor de "t". Então, diferentes valores de "t" retornam diferentes posições ao longo da linha. Nos próximos exercícios, você terá alguma experiência com a ideia de médias ponderadas.