Crescimento logístico versus crescimento exponencial

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos fazer uma comparação entre o crescimento logístico com o crescimento exponencial. Para isso, vamos agora pensar um pouco mais sobre como podemos trabalhar com o modelo de crescimento populacional. E ao fazermos isso, vamos nos tornar um pouco mais familiarizados com os tipos de fórmulas que você pode ver em uma folha de fórmulas de uma avaliação de Biologia. Em um vídeo anterior, eu apresentei a ideia da taxa de crescimento per capita de uma população e usamos a letra "r" para representar isso. Como exemplo, vamos dizer que a taxa de crescimento per capita para uma população é igual a 0,2. Isso significa que em média para cada um indivíduo desta população, um ano depois vai ter crescido 20%. Ou seja, 0,2. Então, para cada um indivíduo, teremos 1,2 desta população um ano depois. Em muitas populações temos uma reprodução sexual, onde pelo menos dois indivíduos, um homem e uma mulher são necessários. Mas existem certos tipos de população que apenas podem se reproduzir por conta própria. Eles podem apenas brotar ou eles podem se dividir. Principalmente se estamos falando sobre organismos unicelulares. A partir destas ideias nós podemos ter uma noção de como encontrar a nossa taxa máxima de crescimento populacional per capita. Você pode ver isso como sua taxa de crescimento per capita, se a população não é limitada de alguma forma. Se houver recursos suficientes, água, comida, terra, território, tudo o que esta população precisa para crescer está ali disponível. Isto aqui está falando sobre a taxa de crescimento per capita para uma população como se fosse algo e irrestrito. Mas precisamos colocar um máximo aqui. A partir disso, podemos configurar uma equação de crescimento exponencial. E já vimos isso em outros vídeos, em que isto é a nossa taxa de variação da nossa população em relação ao tempo. Sabendo que "N" é a nossa população, temos que dN/dt é a nossa taxa de variação populacional em relação ao tempo. Ou, neste caso, a taxa de crescimento populacional. Se estamos lidando com uma população que não está sendo limitada pelo seu ecossistema de nenhuma forma. O que na verdade não é uma realidade, já que em algum momento isso vai parar de crescer. Mas considerando este caso ideal, temos que a taxa de crescimento da população vai ser igual à taxa de crescimento populacional per capita máxima, vezes a própria população. E podemos ver isso definindo uma tabela aqui para ver como estes valores se relacionam uns com os outros. Sendo assim, vamos pensar sobre como será a taxa de variação da população ou a taxa de crescimento populacional em certas populações. Então, vamos pensar aqui sobre o que vai acontecer quando a nossa população for igual a 100, quando for igual a 500 e quando a nossa população for igual a 900. Então, dadas estas populações, qual é a taxa de crescimento populacional de cada uma delas? Pause este vídeo e tente resolver isso. Bem, quando a nossa população é igual a 100, temos que a taxa de crescimento populacional vai ser apenas 0,2 vezes 100. Então, vamos escrever isso aqui. Teremos que dN/dt vai ser igual a 0,2, que é a taxa de crescimento populacional per capita máxima vezes a nossa população que é 100. 0,2 vezes 100 é igual a 20. Então, quando a população for igual a 100, teremos uma taxa de crescimento de 20 por ano. E quando a nossa população é igual a 500? Qual é a taxa de crescimento populacional? Pause este vídeo e tente fazer isso novamente. Bem, mais uma vez, nós apenas pegamos a nossa taxa de crescimento per capita máxima e multiplicamos com a nossa população. Ou seja, teremos aqui 0,2 vezes 500. Sendo assim, a taxa de crescimento populacional agora é igual a 100. Se a gente estivesse falando de coelhos, e se o nosso tempo aqui estiver em anos, isso vai ser 100 coelhos por ano ou 100 pessoas por ano, caso fossem pessoas. Agora, vamos pensar sobre isso quando a nossa população é igual a 900. Qual é a nossa taxa de crescimento populacional? Pause o vídeo faça isso. Agora, vamos ter aqui 0,2 vezes 900. Ou seja, teremos 180 indivíduos por ano. Agora, como eu falei, isto está falando sobre uma situação um tanto irreal, onde uma população pode apenas crescer, crescer e crescer e nunca ser limitada de alguma forma. Nós sabemos que a terra é limitada, a comida é limitada, a água é limitada. Então, existe uma ideia de uma capacidade de carga natural de uma dada população em um determinado ambiente. E para descrever isso, vamos utilizar a letra "k". Então, vamos dizer que para os organismos que estamos estudando aqui, vamos dizer que eles sejam coelhos e que eles sejam coelhos que estão em uma ilha relativamente pequena. Vamos dizer, então, que a capacidade de carga natural para essa ilha é igual a 1.000. A ilha realmente não pode suportar mais de 1.000 coelhos. Bem, será que existe alguma forma de mudar essa equação de crescimento exponencial para refletir essa ideia? O que os matemáticos e biólogos fizeram foi modificar isso aqui, multiplicando isso por um fator para obter algo que é conhecido como crescimento logístico. Isto aqui é um crescimento exponencial e o que vamos falar agora é um crescimento logístico. Bem, a gente pode começar aqui com a ideia do crescimento exponencial. Sendo assim, podemos dizer que é a taxa de crescimento populacional é igual à taxa de crescimento populacional per capita máxima vezes a população. Bem, isto é exatamente o que a gente tinha feito aqui antes. Mas aí a gente multiplica isto por um fator, para que este fator desacelere o crescimento à medida que nos aproximamos da capacidade de carga. Este fator é igual à capacidade de carga menos a população. Tudo isso aqui dividido pela capacidade de carga. Vamos ver agora se isso realmente faz sentido, pelo menos de forma intuitiva. Então, vamos montar uma outra tabela aqui. Eu vou fazer isso com os mesmos valores. Então, vamos dizer que temos "N", que é a nossa população. Qual é o valor do crescimento populacional quando nossa população é igual a 100, quando é igual a 500 e quando é igual a 900? E eu aconselho que você pause este vídeo e tente descobrir o valor de dN/dt para estas populações. Bem, em 100, teremos 0,2 vezes 100, vezes, abrindo parênteses, a gente coloca a capacidade de carga que é 1.000 menos 100, que é a nossa população, sobre 1.000. Aí, fechamos os parênteses. Aqui dentro dos parênteses temos 900 / 1.000 que é igual a 0,9. Então, temos aqui 0,2 vezes 100 que é 20. E isto vezes 0,9 que é igual a 18. Temos um valor um pouco mais baixo do que a gente encontrou antes. Isto está sendo desacelerado, mas não muito ainda. Agora, vamos ver o que acontece quando chegarmos a N = 500. Pause este vídeo e descubra o valor de dN/dt que é a nossa taxa de crescimento populacional com este valor de população. Então, neste caso, temos 0,2 vezes 500. E aí, dentro dos parênteses temos 1.000 - 500 / 1.000. Isso vai ser igual a 100, que é o que a gente tinha antes, vezes o resultado que vamos encontrar aqui dentro dos parênteses. Aqui dentro dos parênteses, teremos 500/1.000, que é 0,5. Então, a taxa de crescimento será a metade do valor encontrado antes. Porque, mais uma vez, não temos uma quantidade infinita de recursos aqui. Então, isto aqui vai ser 100 vezes 0,5 que é igual a 50. Agora, olhando para este cenário aqui, para quando a nossa população é igual a 900, qual é o valor de dN/dt? Pause o vídeo novamente e tente fazer isso. Bem, aqui teremos 0,2 vezes 900, que é 180 vezes este fator, que vai ser 1.000 - 900/1.000. Este fator agora vai ser 100/1.000 que é 0,1. Esta parte aqui é 180. 180 vezes 0,1 é igual a 18. Repare que agora o nosso crescimento populacional desacelerou. Por que isto está acontecendo? Aqui a taxa populacional, a taxa de crescimento está aumentando, aumentando e aumentando, porque quanto mais coelhos ou qualquer tipo de indivíduo que a gente tenha, há mais para se reproduzir. Assim, eles vão continuar crescendo e crescendo exponencialmente. Mas aqui nós temos valores cada vez mais perto da capacidade de carga de qualquer ambiente em que estejam. Repare que em 900 o valor está muito perto. Então, teremos alguns coelhos que estarão passando fome e talvez, eles não estejam com tanta disposição para se reproduzir ou talvez eles estejam mortos. Ou eles estão morrendo de fome, que é um pensamento muito desagradável para se ter. Ou talvez também eles não sejam capazes de pegar a água e estão morrendo de desidratação. Enfim, a gente não sabe o que está acontecendo. Um detalhe interesse sobre tudo isso é que também podemos pensar sobre esses crescimentos de forma visual. Se a gente fosse fazer um gráfico bem rápido aqui, a gente poderia colocar aqui no eixo horizontal o tempo e aqui no eixo vertical a população. O nosso crescimento exponencial teria esta aparência. Ou seja, o crescimento exponencial da população seria desta forma. Quanto maior for a população, mais rápido ela cresce. Isso continua crescendo desta forma. E, em teoria, não tem um limite para isso. Mas, é claro, isso não é realista. Agora, com o crescimento logístico teríamos um início muito parecido com o crescimento exponencial, só que um pouco mais lento. Aí, à medida que a população aumenta, o crescimento vai ficando cada vez mais lento. Além disso, este crescimento é limitado pela capacidade de carga natural do meio ambiente para essa população. Então, "K" estaria bem aqui. Este crescimento vai tender a este valor de "K". Assim, o que aconteceria se a gente pegasse o limite disso aqui? Ou seja, o que aconteceria com a população quando "N" chegar a 1.000? Bem, o fator seria igual a zero. Isso significa que a população neste ponto não cresceria mais. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!