Crescimento populacional per capita e crescimento exponencial

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre o crescimento populacional per capita e o crescimento exponencial. Em um vídeo anterior, começamos a pensar sobre coisas como taxa de crescimento populacional e como isso se relaciona com a taxa de natalidade e com a taxa de mortalidade dentro de uma população. E nós relacionamos isso com algumas das fórmulas aparentemente complexas que você pode ver em uma folha de fórmulas em uma avaliação de Biologia. Agora, vamos estender esta conversa para discutir algumas das outras fórmulas que você pode ver. Mas a gente vai acabar percebendo aqui que elas são ideias intuitivas expressas através de uma notação matemática um pouco mais sofisticada. Então, apenas como uma pequena revisão, vimos um exemplo onde em uma população de coelhos a taxa de natalidade é de 60 coelhos por ano e a taxa de mortalidade é de 15 coelhos por ano. Bem, então, qual é a taxa de crescimento da população? Em um determinado ano, você esperaria que 60 coelhos nascessem. Então, isso aumentaria a população. E você esperaria que 15 coelhos morressem. Então, isso tiraria da população. Assim, para este caso, teríamos um aumento líquido de 45 coelhos por ano. Aí, para colocar isto na notação apresentada na folha de fórmulas da avaliação de Biologia, podemos dizer que eles usam uma notação extravagante para a taxa de crescimento populacional. A questão utiliza "N" para representar a população. Então, utilizando a notação de cálculo para representar a taxa de crescimento populacional, a gente vai ter aqui "dN". Ou seja, a variação da população, sobre "dt", que é a variação do tempo. Este "d" representa uma variação instantânea, mas não precisamos entrar nisso tão a fundo agora. Enfim, temos aqui a taxa de crescimento populacional para a qual podemos utilizar esta notação. E isto é igual à taxa de natalidade que é de 60 coelhos por ano. E a notação utilizada na questão para representar a taxa de natalidade é apenas o "B". Aí, temos isso, menos a taxa de mortalidade, que a questão utiliza o "D" para representar esta taxa. Então, isto é algo que você veria em um formulário. Mas, em todo caso, isto é muito intuitivo. Agora, a próxima ideia que vamos pensar é algo conhecido como taxa de crescimento populacional per capita. Vamos escrever isto aqui. Taxa de crescimento populacional per capita. Mas o que significa per capita? Per capita significa que você pode visualizar isso como uma média por indivíduo. Qual é a taxa média por indivíduo? O que isso faz? Pause este vídeo e pense sobre isso. Bem, uma forma de você pensar sobre isso é que isso é igual à taxa de crescimento total da população dividida pela população. Ou seja, dividida pelo número de pessoas que existem. Então, isso vai ser a nossa taxa de crescimento populacional dividida pela nossa população. Agora, como exemplo, vamos dizer que temos uma população de 450 coelhos. Sendo assim, qual vai ser a taxa de crescimento populacional per capita? Pause este vídeo e tente descobrir isso. Bem, tendo uma população de 450 coelhos, precisamos dividir a taxa de crescimento populacional por este valor. Ou seja, pelo número de coelhos. Então, a nossa taxa de crescimento populacional per capita é igual à taxa de crescimento populacional, que é 45 coelhos por ano, dividido por 450 coelhos. 45 dividido por 450 é igual a quanto? É igual a 0,1, certo? E qual será a unidade disso? As unidades coelho e se cancelam e, com isso, sobra apenas o ano no denominador. Ou seja, nós temos que a taxa de crescimento populacional per capita é igual a 0,1 por ano. Na maioria das populações, você precisa de pelo menos um homem e uma mulher a fim de se reproduzir. Mas existem alguns organismos que podem simplesmente se dividir e se reproduzir assexuadamente. Mas, em geral, esta taxa diz em média qual vai ser o aumento por organismo individual por ano. Bem, isto daqui dá mais ou menos uma noção desta ideia. Agora, podemos conectar esta ideia com uma notação que podemos ver em um formulário que pode ser entregue em uma avaliação de Biologia. Assim, teremos isto aqui. A taxa de crescimento da população per capita geralmente é denotada pela letra "r" minúscula. Então, seria dito que isto vai ser igual à nossa taxa de crescimento populacional, que já vimos esta notação. A taxa de crescimento populacional, ou seja, dN/dt, que é a variação da população em relação ao tempo, dividida pela nossa população. Ou seja, dividida por "n". Agora, podemos manipular algebricamente isto um pouco para obter uma outra expressão. Podemos multiplicar ambos os lados aqui com o nosso "N" maiúsculo. Assim, teremos "N" vezes "r" sendo igual a dN/dt. Podemos reescrever isto aqui. Temos que dN/dt é igual à nossa taxa de crescimento populacional per capita, vezes a nossa população. Agora, isso mais uma vez faz sentido. Se você quiser saber qual foi o aumento da população em um determinado ano, basta multiplicar o crescimento médio de cada indivíduo com o número de indivíduos na população. Beleza, vamos pensar nisso que fizemos aqui agora. Vamos dizer que agora temos uma população de 1.000 coelhos. Sendo assim, N = 1.000. Eu vou dizer que todos os coelhos são do mesmo tipo e que todos têm a mesma probabilidade de reprodução. Assim, temos que "r = 0,1" por ano. Para esta população de coelhos, qual vai ser a taxa de crescimento populacional? Pause este vídeo e pense sobre isso. Bem, nesta situação, dN/dt vai ser igual à nossa taxa de crescimento populacional per capita. Então, teremos aqui 0,1 por ano, vezes a nossa população, que neste caso é 1.000 coelhos. Eu vou manter minhas unidades aqui, ok? Assim, temos que a taxa de crescimento populacional é igual a 1.000 vezes 0,1, que neste caso é igual a 100. Então, temos 100 coelhos por ano. Eu espero que você esteja compreendendo que estes tipos de fórmulas são muito simples. Agora, uma coisa interessante de se olhar também é que mesmo que isso seja uma notação de cálculo, está sendo dito apenas que a taxa de variação da população é igual a "r" vezes a nossa população. Isto aqui é, na verdade, uma equação diferencial. Sendo assim, se você pensar sobre o que está acontecendo com esta população, este tipo de população teria um crescimento exponencial. Portanto, isto geralmente é conhecido como equação de crescimento exponencial. Inclusive, eu vou escrever isto aqui. Crescimento exponencial. Nas aulas de Matemática, principalmente nas aulas de cálculo ou até mesmo em aulas de pré-cálculo, você vai estudar o crescimento exponencial. Em uma aula de Biologia, a gente apenas pensa em como manipular isso um pouco. Mas só para te dar um pouco de sentido do que acontece com o crescimento exponencial, vamos supor que você tem uma população de coelhos com esse tipo de crescimento exponencial. O que está acontecendo aqui é que esta população vai ter um valor inicial. E aí, isto vai crescer exponencialmente. E quanto maior for o "r", mais íngreme esta curva exponencial vai ser. Claro, isto descreve como as populações podem crescer se não existe nenhum tipo de restrição do meio ambiente. Se crescer indiscriminadamente desta forma, você vai perceber que em algum momento os coelhos vão consumir toda a água, todos os alimentos. E, eventualmente, vai preencher toda a superfície da Terra, da galáxia e do universo. Então, obviamente a gente sabe que isso não é uma situação realista. Qualquer ecossistema tem alguma capacidade de carga natural, existe um limite de comida e de terra. Sendo assim, em algum ponto, teremos tanto os coelhos que eles vão começar a cair das árvores. Assim, será muito mais fácil para os predadores pegá-los e diversas outras coisas também. A gente vai conversar sobre isso no próximo vídeo. Ou seja, como adaptamos a equação de crescimento exponencial para uma situação do mundo real, onde em algum ponto a população vai esbarrar nos limites da capacidade do meio ambiente. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui, meu amigo ou minha amiga. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!