Crescimento exponencial e logístico em populações

RKA12MC - Bom, vamos dizer que nós começamos com uma população de mil coelhos e que nós sabemos que essa população está crescendo 10% ao mês. O que eu quero fazer aqui é explorar como essa população vai crescer se ela está, então, aumentando 10% a cada mês. Bom, vamos criar uma tabela aqui, uma pequena tabela. E, aí, nessa coluna da esquerda, nós vamos colocar o número de meses que se passaram, e, na coluna da direita, vamos colocar a população. Bom, portanto, nós sabemos pela informação que nos foi dada que no mês zero nós começamos, então, com mil coelhos. E, agora, vamos pensar sobre o que vai acontecer depois de um mês. Bom, essa população vai crescer 10%, então, nós podemos olhar essa população no começo do mês ir crescendo 10%. Isso é, então, a mesma coisa que multiplicar por "1,1". Você tem, então, a sua população original e você a aumenta por 10%. "1% + 10%" é "1,1", então, nós podemos multiplicar por "1,1". E essa é a matemática que nós vamos fazer na nossa cabeça. Bom, vamos escrever isso aqui como: 1.000 vezes 1,1. Agora, vamos pensar sobre o que vai acontecer se nós formos para o segundo mês. O que nós vamos ter, então, é uma população inicial neste começo de mês vezes "1,1" de novo, e isso é "(1,1)²". E eu acho, então, que você pode ver um padrão começando a surgir aqui. Depois de outro mês, a população, então, vai ser: 1.000 vezes (1,1)³. Nós vamos apenas multiplicar por “1,1” de novo. Então, se você estiver "n" meses no futuro... bem, você pode ver o que vai acontecer aqui... nós teremos aqui “1.000 vezes (1,1)” "n" vezes ou, 1.000 vezes (1,1)ⁿ. E, então, a gente pode criar aqui uma expressão. Vamos dizer, então, que essa população é "P". E a população como uma função de "n". Isso aqui, então, vai ser a nossa população inicial vezes “(1,1)ⁿ”. E, aí, você pode pensar: "Ok, isso faz sentido. Esses números não parecem meio loucos." Mas, apenas para testar, vamos pensar o que poderia acontecer em 10 anos. Então, 10 anos são 120 meses. E a população ao final de 120 meses vai ser, então, 1.000 vezes (1,1)¹²⁰. E, então, nós vamos ter aqui... bom, deixa eu abrir a calculadora para fazer isso porque eu não consigo calcular “(1,1)¹²⁰” de cabeça. Então, “(1,1)¹²⁰” é igual a isso aqui. Então, isso vezes a nossa população original, ou seja, vezes 1.000... bom, vai ser então igual a mais ou menos 93 milhões de coelhos. Deixa eu escrever isso aqui embaixo. Nós começamos, então, com 1.000 e vamos ter aproximadamente 93 milhões de coelhos! 93 milhões de coelhos! E, assim, a gente cresce sobre um fator de 93 milhões coelhos em 10 anos. E, assim, em outros 10 anos, nós vamos crescer mais 93 milhões de vezes isto. Então, rapidamente, você pode perceber que um crescimento de 10% ao mês é muito rápido. E isso deve parecer extremamente rápido, mas, na verdade, isso não é estranho para uma população de coelhos que não vai ser limitada por espaço, por predador ou por comida. E, se nós plotarmos algo como isso... Se a gente quiser plotar a população de coelhos em relação ao tempo, a gente vai ter, então, um gráfico que se parece com o que eu vou desenhar aqui agora. Então, esse eixo é o tempo. Vamos dizer um tempo em meses. E nesse eixo nós temos a população. Esse tipo de função, ou esse tipo de... equação, vai ser então uma função exponencial. E a nossa população em função de tempo vai se parecer com isso aqui: ela parece uma forma de um taco de hóquei (em formato de "J") bem aqui. E, se esses coelhos então se reproduzirem por tempo suficiente, eles vão tomar o planeta. Se eles tiverem comida suficiente, se eles tiverem espaço suficiente para fazer isso. Mas, se você perceber, eu venho dizendo que é "se eles tiverem comida suficiente, se eles tiverem espaço suficiente", mas a realidade é que no mundo não há comida ou espaço infinitos. E também não é o caso de não existirem predadores ou competição por recursos. Bom, há atualmente também uma capacidade de carga máxima para uma certa parte do ambiente para um certo tipo de espécies. Então, o que é mais provável de acontecer (que nós vamos escrever bem aqui) é um crescimento exponencial. E por que isso é chamado de crescimento exponencial? Bem, você notou, então, que o número da nossa população está crescendo pela entrada do tempo que vem sendo colocado no expoente da nossa função. Então, isso vai ser um crescimento exponencial. Mas é óbvio que a gente não pode ter um número infinito de coelhos, e eles não podem apenas ir crescendo para sempre. Nós vamos ter, então, alguma capacidade de carga máxima natural que o ambiente pode realmente sustentar. Bom, então, o crescimento atual que a gente pode ver aqui, quando essa população vai estar abaixo da capacidade de carga, é razoável modelar isso como um crescimento exponencial. Mas, quando ela se aproxima cada vez mais da capacidade de carga, está indo em direção a ela, mas não atravessa, isso aqui é apenas um modelo. Há também outras situações em que talvez ela vá até essa capacidade de carga, ou atravesse, ou, então, fique oscilando ao redor... mas essas são, então, diferentes maneiras de se pensar sobre isso. Mas a ideia geral é você não esperar por algo que apenas cresça sem restrições para sempre. E, agora, essa outra curva (essa outra curva azul aqui), que as pessoas muitas vezes usam para modelar a população (especialmente quando elas estão pensando sobre uma população que vai se aproximando da capacidade de carga do ambiente), essa curva aqui, então, que tem uma forma de "S", isso é chamado então de crescimento logístico. E é uma função logística que vai descrever isso, mas você não tem como saber muito sobre isso se você estiver no âmbito de uma biologia introdutória. Então, há um crescimento logístico e isso é descrito por uma função logística. E, se você estiver curioso sobre isso, nós temos vídeos aqui na Khan Academy sobre o crescimento logístico e também sobre o crescimento exponencial e vamos ter um monte de detalhes nesses vídeos. Bom, mas a ideia geral aqui é que, quando as populações não são limitadas pelo seu ambiente, por comida, por recursos ou espaço, elas tendem, então, a crescer exponencialmente. Mas, então, uma vez que elas cheguem perto de onde o crescimento exponencial já não vai mais modelar essa população (uma vez que elas começam realmente a saturar seus ambientes, que elas começam a chegar perto do teto), então, em geral, essa função logística (ou crescimento logístico) é um modelo muito melhor para o que vai realmente acontecer.