Cálculo da datação K-Ar

RKA - No último vídeo nós demos uma visão geral da datação potássio argônio. Nesse vídeo eu quero então, usar um exemplo concreto. Ele vai ficar um pouco mais matemático. Provavelmente, envolvendo um pouco de álgebra, ou um pouco de decaimento exponencial. Mas para realmente mostrar como você pode descobrir a idade de alguma rocha vulcânica usando essa técnica, é preciso utilizar um pouco de matemática. Nós sabemos que tudo que está passando por decaimento radioativo, está experimentando o decaimento potencial. E nós sabemos que é uma maneira generalizada para descrever isso. Nós vamos mais a fundo, e vamos provar isso em outros vídeos da Khan Academy. Mas, nós sabemos que a quantidade em função do tempo, por isso nos vamos dizer aqui, que "N" é a quantidade de uma amostra radioativa em função do tempo. Sabemos então, que é igual ao valor inicial que nós temos. Que nós vamos chamar de "N0". Então, é "N0 × e⁻ᵏᵗ ". Onde essa constante cai, particular à meia vida do elemento. E o "T" é o tempo. Fazendo isso então, por exemplo do potássio 40, nós sabemos que o tempo é 1,25 bilhões de anos, para que a quantidade que nos resta seja metade do nosso valor inicial. E digamos que começamos com "N0", qualquer que seja esse "N0". Pode ser um grama, um quilograma, cinco gramas, tanto faz. Qualquer que seja a quantidade que começarmos, fazemos isso vezes "e⁻ᵏ×¹²⁵" milhões de anos. E essa é a meia vida do potássio 40, 1,25 bilhões de anos. Sabemos que depois de todo esse tempo, a metade da amostra será deixada. Assim, temos aqui, 1/5 de "N0". Independente de com quanto começamos, vamos ter apenas a metade após 1,25 bilhão de anos. Nós vamos dividir então, ambos os lados por "N0", e, em seguida, para resolver o "K", nós podemos tomar o logaritmo natural de ambos os lados. Então, nós temos o log natural de meio. Não temos mais o "N0" aqui. Que é igual ao log natural dessa outra coisa aqui. Então, o log natural é que o que eu tenho para obter "e⁻ᵏ×¹²⁵" bilhões de anos. Assim, o log natural disso, é apenas "-K × 1,25" bilhões de anos. Ou eu poderia escrever isto como "1,25 × 10⁹×ᵏ". E isso é a mesma coisa que 1,25 bilhões de anos. Nós temos o nosso sinal negativo, então nós temos aqui o nosso "K". E então, para resolver o "K", nós podemos dividir ambos os lados por menos 1,25 bilhões. Que aí, nós vamos conseguir resolver o "K". E eu vou virar as partes aqui. "K = - ln 1/2 ÷ 1,25 × 10⁹. E o que podemos fazer é pegar esse negativo e levar para a potência. Ou você pode ver isso como multiplicar o numerador e o denominador por -1, de modo que esse -1 apareça na potência. E nós podemos fazer isso para 1,25 × 10⁹. Vou escrever isso aqui com uma cor diferente. O log natural negativo, então aqui, se eu tenho "a × ln b", nós sabemos pelas propriedades dos logaritmos, que isso é a mesma coisa que o "ln bᵃ". Então, o log natural negativo de 1/2 é a mesma coisa que "ln 1/2⁻¹". E então, isso é a mesma coisa. Qualquer coisa levado à uma potência negativa é apenas o inverso da multiplicação. Portanto, este é apenas o "ln 2". Então, "- ln 1/2 = ln 2". Então fomos capazes de descobrir o nosso "K", que é essencialmente o "ln 2" sobre a meia vida da substância. Na verdade, poderíamos então generalizar isso aqui, se estivéssemos falando de qualquer outra substância radioativa. E agora vamos pensar em uma situação, agora que a gente já cobriu o "k". Vamos pensar em uma situação onde encontramos uma amostra. Então vamos dizer que é uma amostra de potássio, e que nós encontramos 1 miligrama. Geralmente, essas amostras não são medidas diretamente, e a gente realmente se preocupa com as quantidades relativas. Mas digamos que você fosse capaz de descobrir que a quantidade de potássio aqui é 1 miligrama. E digamos que o argônio, na verdade, aqui eu preciso dizer que é o argônio 40 que foi encontrado. O argônio 40 encontrado, vamos dizer que a quantidade do argônio é 0,01 miligrama. Então, como podemos usar essa informação que nós acabamos de descobrir aqui, que é derivada da meia vida, para descobrir quantos anos tem uma amostra bem aqui? Como vamos descobrir quantos anos tem essa mostra logo ali? E então, nós sabemos que foi deixado 1 miligrama. Isso vai ser igual a uma quantidade inicial vezes "e⁻ᵏᵗ". E nós sabemos o que é o "K". Então o "K", é essa coisa bem aqui. Então nós precisamos descobrir qual é o nosso valor inicial, e para descobrir o nosso valor inicial, nós apenas temos que lembrar, que para cada argônio 40 que vemos, que ele vem se deteriorando de quando você tem o potássio 40, quando ele decai. Quando o potássio 40 decai, 11% decai em argônio 40, e o resto, os outros 89% decai em cálcio 40. Nós vimos isso no último vídeo. Assim, qualquer argônio 40 é 11% do produto de desintegração do potássio. Então, vamos pensar sobre o número total de potássio 40 que decaiu, desde que isto estava preso em uma lava. E aprendemos que tudo que estava lá antes, qualquer argônio 40, que estava lá antes, teria sido capaz de sair da lava líquida antes de congelar ou endurecer. Então, para descobrir de quanto potássio 40 isso aqui é derivado, nós vamos apenas dividi-lo por 11%. Então, talvez eu poderia dizer que o "K" inicial, o potássio 40 inicial, vai ser igual a quantidade de potássio 40 que temos hoje, 1 miligrama, mais a quantidade de potássio 40 que precisamos para obter essa quantidade de argônio 40. Nós temos essa quantidade de argônio 40 então, 0,1 miligramas. E que o número de miligramas aqui, é realmente apenas 11% do valor original de potássio 40, de onde ele veio. O resto se transformou em cálcio 40. Então, nós dividimos por 11% ou 0,1. E este não é um número exato, mas nós temos aqui uma ideia geral. E assim, a nossa amostra inicial, que é essa coisa bem aqui, e eu poderia chamar isso de "N0". Isso aqui vai ser igual a... Então, nós temos 1 miligrama, que é o que nós encontramos, + 0,01 miligramas sobre 0,11. Então tudo isso vezes "e⁻ᵏᵗ". Então, o que nós vemos aqui, quando nós queremos resolver o "T", é que a quantidade absoluta realmente não importa. Assumindo que nós já sabemos o "K". O que realmente importa é a relação, porque se nós estamos resolvendo o "T", você quer dividir ambos os lados da equação por uma quantidade bem aqui. Então você começa com esse lado, e divide os dois lados. Você tem 1 miligrama sobre essa quantidade, que vai ser 1. E eu vou assumir, na verdade, que essas unidades aqui são todas miligramas. Então, nós temos 1 sobre essa quantidade, que é "1 + 0,01 / 0,11". E isto é igual a "e⁻ᵏᵗ". Então, se você quiser resolver "T", você tem que ter o log natural de ambos os lados, o que é igual a isto bem aqui. Nós vamos ter então, um log natural de ambos os lados, de modo a obter o "ln -1 / 1 + 0,01 / 0,11", ou 11%, que é igual a " - K × T". E então, para resolver "T", você divide ambos os lados por " - K". E você pode ver, isso é um pouco complicado matematicamente, mas estamos chegando na resposta. Portanto, nós obtivemos o ln 1 / 1 + 0,01/0,11 sobre " - K". Bem, o que é " - K"? Vamos apenas dividir ambos os lados desta equação, por " - K". " - K" é o negativo disso aqui. O negativo de " -ln 2 / 1,25 × 10⁹". E agora, podemos pegar a nossa calculadora para resolver quanto é esse tempo aqui. E isso vai ser em anos porque é como nós descobrimos essa constante. E agora, rufem os tambores. Então temos 156 milhões de anos ou 156,9 milhões de anos, se você quiser ser mais exata. Portanto, essa é uma amostra de aproximadamente 157 milhões de anos de idade. Assim, todo ponto disso, e eu sei que a matemática foi um pouco envolvida, mas é algo que você realmente vê em uma aula de pré-cálculo, ou em uma aula de álgebra 2, quando você está estudando o crescimento exponencial e decaimento. Mas o ponto que eu queria chegar com isso, é para mostrar que não tem nenhum vudu louco aqui. E você sabe, nós demos essa explicação de alto nível, e em seguida você diz: nossa, deve haver um pouco de matemática super complicada nisso. Mas a matemática é realmente algo que você veria na escola. Se você viu uma amostra que tinha essa relação de argônio 40 com potássio 40, você realmente será capaz de fazer essa matemática do ensino médio. Você seria capaz de fazer isso para descobrir que essa é uma amostra de rocha vulcânica de 157 milhões de anos.