Meia-vida de uma reação de segunda ordem

RKA4MP - Nós já conversamos sobre a definição de meia-vida e lembre-se que a meia-vida é simbolizada por um "t" e um meio, t½. Então, a meia-vida é o tempo que leva para a concentração do reagente cair até metade da concentração inicial. Nós também conversamos sobre a lei integrada de velocidade para uma reação de segunda ordem, e aqui, nós temos a fórmula dela. A gente tem 1 sobre a concentração de A no tempo "t" menos 1 sobre a concentração inicial de A, e isso vai ser igual a kt, que é a constante vezes o tempo. Lembre-se que, se nós estivermos falando de meia-vida, esse "t" seria igual a t½. Então, nós vamos colocar t½ no lugar de "t" na nossa fórmula. Agora, qual é a concentração de A? Bom, usando a definição para meia-vida, a concentração de A deve ser metade da concentração inicial. Então, a concentração de A é igual, vamos fazer aqui, igual à concentração inicial dividido por 2. Nós vamos colocar isso na nossa fórmula. Então, a gente vai ter aqui... eu tenho 1 sobre a concentração inicial dividido por 2, isso aqui menos 1 sobre a concentração inicial. E, aqui, eu vou ter kt½. Aqui, do meu lado esquerdo, isso seria igual a 2, que estaria dividido pela concentração inicial de A, e eu teria menos 1 sobre a concentração inicial de A, e isso aqui seria igual a kt½ Então, quanto é 2 dividido pela minha concentração inicial menos 1 dividido pela concentração inicial? Bom, a gente vai ter aqui, então, só 1 sobre a concentração inicial de A. E agora, eu só tenho que copiar o meu lado direito: aqui, eu tenho k e eu tenho t½. Vamos pegar um pouquinho mais de espaço, aqui. Agora, eu só preciso encontrar a minha meia-vida, ou seja, eu tenho que isolar t½. Se eu fizer isso, eu tenho que t½ vai ser igual a 1 sobre "k", que é a minha constante, que multiplica a concentração inicial do meu reagente. Essa vai ser a nossa equação da meia-vida para uma reação de segunda ordem. Note que isso é muito diferente de uma meia-vida para uma reação de primeira ordem. Para uma reação de primeira ordem, nós vimos que a meia-vida era constante, mas, aqui, a meia-vida não é constante porque ela depende da concentração inicial de A. Vamos olhar, agora, um gráfico da concentração versus o tempo para uma reação de segunda ordem. Assim, nós entenderemos esse conceito um pouco mais facilmente. Então, vamos ver, aqui. Eu tenho o meu gráfico. Quando o tempo foi igual a zero, eu vou ter esse ponto aqui, e esse ponto seria a minha concentração inicial de A. Vamos inventar uma reação. Vamos dizer que nós começamos com 8 partículas. Então, eu tenho aqui 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Certo? Se nós esperarmos a concentração cair pela metade da concentração inicial, vamos ter 4 partículas, então a gente vai ter 4 partículas. Vamos dizer que elas estão aqui. E quanto tempo levou para que eu saísse de 8 para 4 partículas? Nós podemos descobrir isso olhando o nosso gráfico: esse ponto representa minha concentração inicial; metade da minha concentração inicial seria mais ou menos por aqui. Então, nós temos aqui e vamos marcar o nosso gráfico. Eu tenho, mais ou menos, por aqui. Aqui, nós teríamos a nossa concentração inicial dividido por 2. E o tempo que levou para isso acontecer, o tempo que levou para isso acontecer foi 1 segundo. Vou marcar, aqui, que eu tenho 1 segundo. Então, quanto tempo leva para eu sair de 4 para 2 moléculas? Bom, se isso aqui, agora, é a nossa concentração inicial, então a gente tem que ter metade dessa concentração, ou seja, a gente tem que ter 2 partículas. A gente teria, mais ou menos, por aqui. Então, se a gente marcasse aqui, a gente teria, a gente teria a nossa outra concentração. Vamos marcar aqui, no gráfico. Então, se isto é metade disso, aqui nós temos a concentração inicial de A dividido por 4 E a nossa meia-vida, aqui, ela seria, vamos marcar aqui, a nossa meia-vida seria de 2 segundos. Perceba que estou saindo de 1 para 3, então a minha meia-vida é de 2 segundos. Nós podemos entender isso quando colocamos os valores na equação. Se nós dissermos que a nossa primeira meia-vida, então... Vamos fazer aqui, em cima. Vamos subir um pouquinho. Se a gente disser que essa nossa primeira meia-vida é de 1 segundo. Vamos marcar, aqui, 1 segundo. E agora, vamos colocar os valores da nossa segunda meia-vida. Então, a gente tem a segunda... Vamos marcar, aqui, segunda meia-vida. E agora, nós vamos colocar os valores. Então, a gente tem aqui 1, e eu tenho "k", que vai multiplicar a minha concentração inicial de A dividido por 2. Lembre-se que, agora, essa vai ser a nossa concentração inicial. Então, a nossa segunda meia-vida, vamos marcar aqui, eu tenho minha meia-vida, que vai ser igual a 2 que vai dividir "k" vezes a concentração de A. Perceba que, aqui, nós temos o dobro do que a gente tem aqui em cima. Então, essa vai ser a primeira meia-vida, que é de 1 segundo, e, aqui embaixo, nós temos a nossa segunda meia-vida, e podemos ver que isso é o dobro dessa equação aqui, de cima. Essa daqui vai ser a nossa primeira meia-vida, que é de 1 segundo. Isso faz sentido, tanto o gráfico quanto as equações de meia-vida. Então, a nossa segunda meia-vida é 2 vezes maior do que a primeira, e cada meia-vida será 2 vezes maior do que a anterior. Então, se nós esperarmos mais uma meia-vida aqui, nós encontraremos a terceira meia-vida, que vai de 2 moléculas para 1. Então, vamos fazer aqui. Eu tenho 1 molécula. Qual é a nossa concentração inicial? A nossa concentração inicial, aqui, vai ser a concentração inicial dividido por 4. Então, vamos marcar aqui. E qual vai ser a metade dessa concentração inicial? A gente tem esse pontinho no nosso gráfico. Nós encontramos que o tempo é de 7 segundos. Então, qual é a terceira meia-vida? Se a gente olhar aqui, vamos marcar aqui, nós temos que a terceira meia-vida vai ser de 4 segundos. Então, 4 segundos. Obviamente, ela vai ser o dobro da meia-vida anterior. Vamos ver se nós conseguimos descobrir mais algumas coisas. O que isso quer dizer? Isso significa que, nos estágios iniciais da sua reação, você tem uma concentração maior que a de seu reagente, certo? E a maior concentração significa que aquelas moléculas podem colidir melhor. Sendo assim, a reação acontece mais rapidamente. Então, se nós aumentarmos a concentração, nós aumentamos a velocidade da reação, certo? Portanto, quanto mais rápido o reagente é consumido, mais curta é a meia-vida. Então, o tempo para a concentração do reagente cair pela metade da concentração inicial é menor.