Reação de segunda ordem (com cálculo)

RKA4G - Vamos dizer que nós temos uma reação de segunda ordem, onde "A" se transforma em produtos, a concentração de "A" no tempo zero é de A₀ e a concentração de "A" depois de um tempo "t" é igual a Aₜ. Se nós estamos expressando a velocidade da nossa reação, sabemos que podemos fazer isso de diferentes maneiras. Nós podemos dizer que a velocidade vai ser igual, por exemplo... Então, eu tenho, aqui, a minha velocidade e ela pode ser igual a menos a variação na concentração de "A" e isso seria sobre a minha variação de tempo. Então, sobre o meu Δₜ. Nós já fizemos isso em vídeos anteriores. Nós também podemos dizer que a velocidade é igual a... Vamos pensar na nossa lei de velocidade. A gente tem que a velocidade vai ser igual à constante K, que vai multiplicar a concentração, aqui no caso, de A. Então, do meu reagente A. E como a gente viu que essa é uma reação de segunda ordem, o nosso expoente vai ser igual a 2. Nós podemos dizer que essas velocidades são iguais. Então, se eu igualar isso, vamos fazer isso. A gente tem -Δ concentração de A e a gente tem, aqui, a variação de tempo, Δₜ. Isso vai ser igual a K, que vai multiplicar a concentração do meu reagente, elevado ao quadrado. Agora, nós precisamos pensar no cálculo: em vez de expressar isso como uma velocidade média, como a gente fez aqui, a concentração de A conforme o tempo, nós podemos pensar na velocidade instantânea. Então, a velocidade de mudança da concentração conforme o passar do tempo. Nós podemos escrever isso de uma outra maneira. Então, a gente pode pegar um pouquinho de espaço e fazer isso, então. Aqui, eu tenho "menos", aqui, eu vou ter "d" e a minha concentração de A e isso, aqui, vai ser dividido por "dt" e aqui do lado, a gente vai ter a nossa constante K multiplicando a nossa concentração do reagente, ao quadrado. Essa é a nossa equação diferencial. Nós podemos resolver essa equação diferencial em uma função: a primeira coisa que nós precisamos fazer para resolver essa equação é separar as nossas variáveis. A gente precisa colocar tudo o que é "A" para um lado e tudo o que é "t" para o outro lado. Então, nós vamos dividir os dois lados que a gente tem por uma raiz. Vou pegar um pouquinho mais de espaço aqui e nós vamos ter "-d" e vamos ter a nossa concentração de A. Isso aqui vai ser dividido. Então, se a gente vai colocar tudo o que é A para um lado, vamos colocar esse A, aqui, esse A, aqui. Então, tenho a minha concentração de A² e aqui, do outro lado, eu vou ter a minha constante K que vai multiplicar "dt". Agora, nós estamos prontos para integrar. Nós vamos reescrever o que temos na esquerda. Vou pegar mais espaço e vamos reescrever o que a gente tem. Eu vou fazer a minha concentração de A⁻². Aqui, eu vou colocar... Tenho que colocar o meu símbolo de integral. Vou fazer, aqui, o símbolo de integral. Aqui fora, eu vou ter um "menos" e só vou colocar aqui "d", da minha concentração de A só para ficar mais fácil de entender essa integral. Isso vai ser igual a... Aqui, eu tenho outro símbolo de integral e aqui fora eu vou ter "Kdt" . Nós vamos integrar o lado esquerdo. Então, aqui desse lado direito, a gente pode deixar K de fora da nossa integral. Agora, nós vamos voltar lá em cima, para ver o que a gente está integrando. Vamos voltar aqui em cima para ver o que a gente está integrando. Para o tempo, nós temos o tempo igual a A₀, que é o tempo inicial, e a gente tem tempo igual a Aₜ, a minha concentração depois de um tempo "t". Então, vamos voltar aqui embaixo. Aqui eu vou ter A₀, que é meu tempo inicial, e aqui, em cima, eu vou ter Aₜ. Então, aqui eu tenho A, no tempo "t" e aqui, do outro lado, a gente vai de zero até "t". Aqui nós estamos integrando a nossa concentração inicial até a concentração no tempo "t". Certo? Então, do lado esquerdo, o que nós vamos ter? Qual vai ser a integral? Isso é como "x" na -2 de "x". Então, isso nos dará uma concentração... Vamos fazer: eu tenho a concentração de A e eu tenho A⁻¹, aqui. Só que eu tenho que dividir isso por -1. Então, aqui eu tenho dividido por -1. E lembre-se que a gente tem que colocar os parênteses aqui e que, aqui, a gente tem um sinal negativo, que é esse sinal aqui. Obviamente, você tem que fazer alguns cálculos para chegar a esse ponto. Então, isso eu posso dizer que é a mesma coisa que 1 sobre a minha concentração de A. Perceba que nós temos dois sinais negativos e que, agora, a gente tem um positivo. Perceba que aqui, a gente tem dois sinais negativos, então, a gente formou um sinal positivo. E aqui a gente tem a concentração de A⁻¹. A concentração de A⁻¹ é igual a 1 sobre a concentração de A. Nós estamos calculando isso da nossa concentração inicial até a concentração no tempo "t". Então, eu vou pegar um pouquinho mais de espaço. A gente está calculando isso da concentração de A no tempo zero. Então, aqui a gente tem A₀, inicial, até a concentração de A no tempo "t", e isso vai ser igual a Kt. K vezes meu tempo, que eu estou fazendo do tempo zero até o meu tempo "t". Agora, nós temos que usar o nosso teorema fundamental do cálculo. Vamos colocar o que nós temos, aqui: vou ter 1 sobre a minha concentração de A no tempo "t" (Aₜ), e eu vou ter menos 1 sobre a concentração de A no tempo zero (A₀). Isso aqui vai ser igual a Kt, K vezes "t". Nós encontramos a nossa lei integrada para uma relação de segunda ordem. Então, nossa lei integrada para uma reação de segunda ordem. Você pode ouvir o nome "equação integrada". Isso é muito útil porque nós podemos rearranjar essa equação. Por exemplo, vamos ver aqui. Vou pegar mais um pouquinho de espaço. Então, se eu escrever isso aqui, eu tenho 1 sobre a minha concentração de Aₜ e isso aqui vai ser igual a K, que vai multiplicar "t", e eu tenho "mais". Se eu tenho uma subtração, eu passo para o outro lado somando. 1 sobre a minha concentração de A₀. Isso me parece muito familiar. Ela se parece muito com a equação de uma linha reta. Então, se eu pegar um pouquinho mais de espaço, eu vou escrever a minha equação de uma linha reta, que é igual a "y"... Então, meu "y" vai ser igual a "ax + b". ax + b. Por exemplo, se você fizer um gráfico, no eixo "x" você terá o seu tempo. Então, se eu mudar de cor aqui, no eixo "x" você terá o seu tempo. E no eixo "y", você terá sua concentração. Então, aqui no eixo "y", a gente vai ter a nossa concentração. A inclinação da reta, que é igual a "a", vai ser a nossa constante. Vai ser a nossa constante K. E por último, a gente vai encontrar onde "y" intercepta, que é o nosso valor de "b", que vai ser 1 sobre a nossa concentração inicial de A. Vamos fazer um rascunho desse gráfico aqui. Então, vou pegar um pouquinho de espaço aqui. Vamos fazer um rascunho. Eu tenho meu eixo "y" e, aqui, eu tenho meu eixo "x". Se o nosso gráfico é de uma reação de segunda ordem, nós devemos ter uma linha reta. Então, a gente tem uma linha reta por aqui. A inclinação da nossa linha reta vai ser... Vou escrever, aqui, que a minha inclinação vai ser igual a K. Aqui embaixo, a gente vai ter... Só vamos marcar que a gente vai ter o tempo e aqui a gente vai ter a nossa concentração. Então, vai ser 1 sobre a nossa concentração de A e aqui, a gente vai ter o nosso ponto "b", ou seja, a gente vai ter 1 sobre A no tempo zero.