Reação de ordem zero (com cálculo)

RKA4 JL - Aqui, nós temos uma reação de ordem zero, onde A se transforma em produtos. E aqui ao lado, quando o tempo é igual a zero, temos a concentração inicial, e quando o tempo é igual a "t", eu tenho a minha concentração em um tempo "t". Nós podemos expressar a velocidade da reação. E uma maneira de fazer isso é dizer que a velocidade da reação... então, vamos colocar, aqui, que a velocidade da reação vai ser igual a menos Δ da minha concentração do meu reagente, então ΔA, dividido por um Δt, por uma variação de tempo. E outra maneira de escrever isso é fazer a lei de velocidade. Então, nós temos que V é igual a uma constante K que multiplica a concentração do meu reagente, e como essa é uma reação de ordem zero, a gente vai elevar a minha concentração a um expoente zero. Lembre-se que qualquer número elevado a potência zero vai ser igual a 1. Então, aqui eu posso escrever 1. Então, a velocidade da minha reação vai ser igual a minha constante de velocidade. Portanto, a velocidade da reação é independente da concentração de A. Nós podemos dizer que essas duas fórmulas são iguais: então, nós teremos -Δ da concentração de A sobre o meu Δt, sendo igual a K. Agora, nós precisamos pensar no cálculo. Ao invés de escrever a mudança na concentração de A sobre o meu Δt, nós vamos escrever a velocidade da mudança da concentração de A em um determinado tempo. Então, nós vamos fazer -dA então, aqui é "dA", vamos colocar aqui, pois é da concentração, sobre "dt", um determinado tempo; e nós temos isso igual a nossa constante de velocidade. Agora, nós estamos prontos para pensar na equação diferencial. Nós vamos multiplicar os dois lados por -dt. Então, vamos pegar um pouquinho mais de espaço, aqui. Então, aqui eu vou ter dA isso aqui vai ser igual a -Kdt, porque multipliquei por -dt. Agora, nós estamos prontos para integrar. Primeiro, a gente vai integrar o nosso lado esquerdo, e aqui, do lado direito, como K é uma constante, nós podemos deixar de fora da integral. Então, nós vamos integrar essa parte aqui. Agora, vamos voltar aqui em cima para relembrar o que nós estamos integrando. Nós temos "t", que vai de zero até um tempo "t", e uma concentração inicial, que vai até uma concentração em um determinado tempo. Então, vamos voltar aqui. Para meu tempo, tenho que estou indo de zero até o tempo "t". E no meu lado esquerdo, tenho a concentração inicial até uma concentração em um determinado tempo. Agora, nós temos integrais bem simples, certo? Qual é integral de dA? Claramente, seria A. Então, nós temos A, e A está indo de uma concentração inicial, então A em um tempo zero, até uma concentração de A em um determinado tempo. E nós temos isso igual a -K. E qual vai ser integral de dt? Claramente seria "t". Então, a gente teria que "t", aqui desse lado, que está indo de zero até um tempo "t". Agora, nós usamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Então, eu vou fazer aqui em cima, em uma cor diferente. Eu tenho que a minha concentração de A no tempo "t" menos a minha concentração inicial vai ser igual a -Kt. E essa é a fórmula da lei integrada de velocidade para uma reação de ordem zero. Nós podemos rearranjar isso um pouco, nós podemos colocar, deixar só o A no tempo "t" do lado esquerdo, e a gente colocaria -Kt mais concentração inicial de A do lado direito. Se nós olharmos essa fórmula, ela é igual à fórmula que diz que "y = ax + b", ou seja, a equação de uma linha reta. Se nós colocarmos o tempo no eixo "x", e a concentração do meu reagente no meu eixo "y", nós vamos ter uma reta. E a inclinação dessa reta, ou seja, o meu "a", vai ser igual a -K, e onde "y" intercepta, ou seja, "b" vai ser a minha concentração inicial do meu reagente. Então, vamos esboçar esse gráfico rapidinho. Vamos fazer, aqui: eu tenho meu eixo "y" e tenho meu eixo "x". E eu vou fazer, aqui, um ponto nesse meu eixo "y". Agora, vou fazer uma reta e aqui, no meu eixo "x", eu vou ter o meu tempo e aqui, no eixo "y", eu vou ter a minha concentração em um tempo "t". A inclinação dessa minha reta, então, vamos marcar que a minha inclinação, ela vai ser igual a -K, que a gente viu aqui. Então, a inclinação é igual a -K. E onde meu "y" intercepta, que é esse ponto que eu fiz aqui, vai ser a minha concentração inicial no meu reagente. Então, essa vai ser a lei integrada de velocidade para uma reação de ordem zero. Agora, vamos conversar um pouco sobre meia-vida. Lembre-se que a meia-vida é o tempo que eu preciso para que a concentração do meu reagente caia pela metade da concentração inicial. Então, aqui nós temos o "t" e nós vamos substituir "t" por t½, porque eu estou falando de meia-vida. No lugar de A, nós vamos colocar a concentração inicial de A dividida por 2. Então, nós vamos reescrever essa fórmula. Nós vamos fazer aqui: a concentração inicial de A dividida por 2 vai ser igual a -K que vai multiplicar t½, mais a minha concentração inicial do meu reagente. Vamos encontrar a meia-vida. Do lado esquerdo, tenho a concentração de A dividida por 2 e no lado direito, nós temos a concentração de A. Então, isso seria ½ menos 1. Isso quer dizer que a gente tem, aqui, menos ½ da minha concentração inicial de A. Isso aqui, do lado esquerdo. E isso ainda seria igual a -K vezes t½. Agora ,só preciso isolar t½, ou seja, tenho que fazer t½ sendo igual a minha concentração inicial do meu reagente dividida por 2, vezes a minha constante, então, vezes a minha constante K. E essa aqui vai ser a nossa meia-vida para uma reação de ordem zero. Note que se você aumentar a sua concentração inicial, perceba o que vai acontecer. A nossa meia-vida e a concentração inicial, elas são diretamente proporcionais, então, se você aumenta a concentração inicial, você vai aumentar a meia-vida. Então, aumenta t½. Vamos dar uma olhadinha em um exemplo de uma reação de ordem zero que vai nos ajudar a entender melhor essa ideia de meia-vida. Aqui nós temos um exemplo da decomposição da amônia em nitrogênio e hidrogênio. Essa reação ocorre em uma superfície de metal, e esse é um metal catalisador. Então, nós vamos dizer que nós temos a platina. Na esquerda, nós vamos chamar isso de situação 1. Nós temos uma superfície de platina, então vamos marcar aqui que a gente tem uma superfície de metal e as moléculas de amônia, elas precisam estar em contato com essa superfície de metal. Então, estou desenhando as minhas moléculas de amônia. Lembre-se que essa é uma reação de ordem zero, então a velocidade vai ser igual à constante de velocidade. A gente tem aqui que a nossa velocidade vai ser igual a K vezes a minha concentração de NH₃ elevado a zero. Se eu fizer isso, tenho que V vai ser igual a minha constante. Então, aumentar a concentração de amônia não vai afetar a velocidade, e essa imagem nos ajuda a entender melhor isso. Vamos dizer que eu tenho aqui mais algumas moléculas de amônia. Se você aumenta a concentração de amônia, você não afeta a velocidade geral da reação, porque as moléculas de amônia que desenhei a mais não estão em contato com a superfície de platina. Então, apenas essas moléculas, aqui, estão em contato e elas estão aptas a reagir. Nós aumentamos a concentração de amônia, mas nós não afetamos a velocidade, porque a velocidade vai ficar limitada pelo quanto de área de superfície de metal a gente tem. Então, essa vai ser a situação 1. Vamos pensar, agora, na nossa situação 2. Nós temos também a nossa superfície de platina. E nós vamos desenhar as moléculas de amônia. Então, a gente vai ter aqui algumas moléculas, e eu vou ter mais algumas moléculas aqui fora. Então, estou desenhando bastante moléculas de amônia, aqui. Obviamente, essas moléculas aqui não estão tocando o nosso metal catalisador. OK. Então, nós aumentamos a concentração inicial de amônia e nós devemos aumentar a meia-vida. Foi isso que nós vimos antes, que se a gente aumenta a concentração inicial, nós aumentamos a meia-vida. Então, a gente aumenta a meia-vida. Vamos só marcar aqui. Isso faz sentido porque a reação, ela tem uma constante de velocidade. Quanto mais moléculas presentes, mais tempo leva para consumir metade delas. Então, nós temos, aqui, todas essas moléculas de amônia que não estão tocando a superfície metálica. Então, nós estamos limitados a nossa constante de velocidade. Vai levar um tempo maior para consumir metade dessas moléculas em azul, na situação 2. Então, comparando com o primeiro caso, nós aumentamos a concentração inicial de A e, sendo assim, nós aumentamos a meia-vida.