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Reação de ordem zero (com cálculo)

Derivação da lei da velocidade integrada para reações de ordem zero, usando cálculo. Como representar dados da velocidade de ordem zero em gráfico para visualizar uma relação linear.

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Transcrição de vídeo

RKA4 JL - Aqui, nós temos uma reação de ordem zero, onde A se transforma em produtos. E aqui ao lado, quando o tempo é igual a zero, temos a concentração inicial, e quando o tempo é igual a "t", eu tenho a minha concentração em um tempo "t". Nós podemos expressar a velocidade da reação. E uma maneira de fazer isso é dizer que a velocidade da reação... então, vamos colocar, aqui, que a velocidade da reação vai ser igual a menos Δ da minha concentração do meu reagente, então ΔA, dividido por um Δt, por uma variação de tempo. E outra maneira de escrever isso é fazer a lei de velocidade. Então, nós temos que V é igual a uma constante K que multiplica a concentração do meu reagente, e como essa é uma reação de ordem zero, a gente vai elevar a minha concentração a um expoente zero. Lembre-se que qualquer número elevado a potência zero vai ser igual a 1. Então, aqui eu posso escrever 1. Então, a velocidade da minha reação vai ser igual a minha constante de velocidade. Portanto, a velocidade da reação é independente da concentração de A. Nós podemos dizer que essas duas fórmulas são iguais: então, nós teremos -Δ da concentração de A sobre o meu Δt, sendo igual a K. Agora, nós precisamos pensar no cálculo. Ao invés de escrever a mudança na concentração de A sobre o meu Δt, nós vamos escrever a velocidade da mudança da concentração de A em um determinado tempo. Então, nós vamos fazer -dA então, aqui é "dA", vamos colocar aqui, pois é da concentração, sobre "dt", um determinado tempo; e nós temos isso igual a nossa constante de velocidade. Agora, nós estamos prontos para pensar na equação diferencial. Nós vamos multiplicar os dois lados por -dt. Então, vamos pegar um pouquinho mais de espaço, aqui. Então, aqui eu vou ter dA isso aqui vai ser igual a -Kdt, porque multipliquei por -dt. Agora, nós estamos prontos para integrar. Primeiro, a gente vai integrar o nosso lado esquerdo, e aqui, do lado direito, como K é uma constante, nós podemos deixar de fora da integral. Então, nós vamos integrar essa parte aqui. Agora, vamos voltar aqui em cima para relembrar o que nós estamos integrando. Nós temos "t", que vai de zero até um tempo "t", e uma concentração inicial, que vai até uma concentração em um determinado tempo. Então, vamos voltar aqui. Para meu tempo, tenho que estou indo de zero até o tempo "t". E no meu lado esquerdo, tenho a concentração inicial até uma concentração em um determinado tempo. Agora, nós temos integrais bem simples, certo? Qual é integral de dA? Claramente, seria A. Então, nós temos A, e A está indo de uma concentração inicial, então A em um tempo zero, até uma concentração de A em um determinado tempo. E nós temos isso igual a -K. E qual vai ser integral de dt? Claramente seria "t". Então, a gente teria que "t", aqui desse lado, que está indo de zero até um tempo "t". Agora, nós usamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Então, eu vou fazer aqui em cima, em uma cor diferente. Eu tenho que a minha concentração de A no tempo "t" menos a minha concentração inicial vai ser igual a -Kt. E essa é a fórmula da lei integrada de velocidade para uma reação de ordem zero. Nós podemos rearranjar isso um pouco, nós podemos colocar, deixar só o A no tempo "t" do lado esquerdo, e a gente colocaria -Kt mais concentração inicial de A do lado direito. Se nós olharmos essa fórmula, ela é igual à fórmula que diz que "y = ax + b", ou seja, a equação de uma linha reta. Se nós colocarmos o tempo no eixo "x", e a concentração do meu reagente no meu eixo "y", nós vamos ter uma reta. E a inclinação dessa reta, ou seja, o meu "a", vai ser igual a -K, e onde "y" intercepta, ou seja, "b" vai ser a minha concentração inicial do meu reagente. Então, vamos esboçar esse gráfico rapidinho. Vamos fazer, aqui: eu tenho meu eixo "y" e tenho meu eixo "x". E eu vou fazer, aqui, um ponto nesse meu eixo "y". Agora, vou fazer uma reta e aqui, no meu eixo "x", eu vou ter o meu tempo e aqui, no eixo "y", eu vou ter a minha concentração em um tempo "t". A inclinação dessa minha reta, então, vamos marcar que a minha inclinação, ela vai ser igual a -K, que a gente viu aqui. Então, a inclinação é igual a -K. E onde meu "y" intercepta, que é esse ponto que eu fiz aqui, vai ser a minha concentração inicial no meu reagente. Então, essa vai ser a lei integrada de velocidade para uma reação de ordem zero. Agora, vamos conversar um pouco sobre meia-vida. Lembre-se que a meia-vida é o tempo que eu preciso para que a concentração do meu reagente caia pela metade da concentração inicial. Então, aqui nós temos o "t" e nós vamos substituir "t" por t½, porque eu estou falando de meia-vida. No lugar de A, nós vamos colocar a concentração inicial de A dividida por 2. Então, nós vamos reescrever essa fórmula. Nós vamos fazer aqui: a concentração inicial de A dividida por 2 vai ser igual a -K que vai multiplicar t½, mais a minha concentração inicial do meu reagente. Vamos encontrar a meia-vida. Do lado esquerdo, tenho a concentração de A dividida por 2 e no lado direito, nós temos a concentração de A. Então, isso seria ½ menos 1. Isso quer dizer que a gente tem, aqui, menos ½ da minha concentração inicial de A. Isso aqui, do lado esquerdo. E isso ainda seria igual a -K vezes t½. Agora ,só preciso isolar t½, ou seja, tenho que fazer t½ sendo igual a minha concentração inicial do meu reagente dividida por 2, vezes a minha constante, então, vezes a minha constante K. E essa aqui vai ser a nossa meia-vida para uma reação de ordem zero. Note que se você aumentar a sua concentração inicial, perceba o que vai acontecer. A nossa meia-vida e a concentração inicial, elas são diretamente proporcionais, então, se você aumenta a concentração inicial, você vai aumentar a meia-vida. Então, aumenta t½. Vamos dar uma olhadinha em um exemplo de uma reação de ordem zero que vai nos ajudar a entender melhor essa ideia de meia-vida. Aqui nós temos um exemplo da decomposição da amônia em nitrogênio e hidrogênio. Essa reação ocorre em uma superfície de metal, e esse é um metal catalisador. Então, nós vamos dizer que nós temos a platina. Na esquerda, nós vamos chamar isso de situação 1. Nós temos uma superfície de platina, então vamos marcar aqui que a gente tem uma superfície de metal e as moléculas de amônia, elas precisam estar em contato com essa superfície de metal. Então, estou desenhando as minhas moléculas de amônia. Lembre-se que essa é uma reação de ordem zero, então a velocidade vai ser igual à constante de velocidade. A gente tem aqui que a nossa velocidade vai ser igual a K vezes a minha concentração de NH₃ elevado a zero. Se eu fizer isso, tenho que V vai ser igual a minha constante. Então, aumentar a concentração de amônia não vai afetar a velocidade, e essa imagem nos ajuda a entender melhor isso. Vamos dizer que eu tenho aqui mais algumas moléculas de amônia. Se você aumenta a concentração de amônia, você não afeta a velocidade geral da reação, porque as moléculas de amônia que desenhei a mais não estão em contato com a superfície de platina. Então, apenas essas moléculas, aqui, estão em contato e elas estão aptas a reagir. Nós aumentamos a concentração de amônia, mas nós não afetamos a velocidade, porque a velocidade vai ficar limitada pelo quanto de área de superfície de metal a gente tem. Então, essa vai ser a situação 1. Vamos pensar, agora, na nossa situação 2. Nós temos também a nossa superfície de platina. E nós vamos desenhar as moléculas de amônia. Então, a gente vai ter aqui algumas moléculas, e eu vou ter mais algumas moléculas aqui fora. Então, estou desenhando bastante moléculas de amônia, aqui. Obviamente, essas moléculas aqui não estão tocando o nosso metal catalisador. OK. Então, nós aumentamos a concentração inicial de amônia e nós devemos aumentar a meia-vida. Foi isso que nós vimos antes, que se a gente aumenta a concentração inicial, nós aumentamos a meia-vida. Então, a gente aumenta a meia-vida. Vamos só marcar aqui. Isso faz sentido porque a reação, ela tem uma constante de velocidade. Quanto mais moléculas presentes, mais tempo leva para consumir metade delas. Então, nós temos, aqui, todas essas moléculas de amônia que não estão tocando a superfície metálica. Então, nós estamos limitados a nossa constante de velocidade. Vai levar um tempo maior para consumir metade dessas moléculas em azul, na situação 2. Então, comparando com o primeiro caso, nós aumentamos a concentração inicial de A e, sendo assim, nós aumentamos a meia-vida.