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Níveis de energia do modelo de Bohr (derivação usando física)

Transcrição de vídeo

RKA6GM - Nós temos aqui novamente o nosso modelo do átomo de Bohr para o átomo de hidrogênio e nós iremos determinar os diferentes níveis de energia para cada um dos raios possíveis, que já determinamos nos últimos vídeos. E a primeira coisa que nós vamos fazer é determinar a energia cinética deste elétron. E a energia cinética do elétron vai ser igual à metade da massa do elétron vezes a velocidade do elétron elevada ao quadrado (1/2 vezes m vezes v²). Só relembrando, no modelo do átomo de Bohr, a gente tem um núcleo, que é formado por um próton, e esse elétron com carga negativa orbitando ao redor desse núcleo que tem carga positiva. Supondo que esse elétron esteja orbitando aqui no sentido anti-horário, nós temos uma velocidade tangencial, certo? Essa velocidade que a gente representa com a letra "v", e claro que esse elétron também possui uma massa. E esse elétron se encontra a uma certa distância "r" desse núcleo, e nós já vimos nos últimos vídeos como determinar esse raio. A gente não pode esquecer também que esse elétron está sendo atraído por esse núcleo com uma força elétrica, e essa força elétrica é uma força centrípeta. E graças a isso que esse elétron está se mantendo nesta órbita circular. Agora, para a gente determinar a magnitude dessa força elétrica, a gente utiliza aqui a lei de Coulomb, que a força elétrica (F) é igual a (K vezes q₁ vezes q₂) sobre r². q₁, neste caso, seria a carga do próton, e q₂ seria a carga elétrica do elétron. Então a gente pode, por exemplo, reescrever isso e falar que a força elétrica (Fe) entre o elétron e o próton seria igual a essa constante eletrostática (K) vezes a carga do próton (e), que é a carga elementar, que neste caso é positiva, e a carga do elétron (-e), que possui a mesma intensidade, só que é negativa. Isso é dividido pela distância entre eles elevada ao quadrado (r²). No entanto, pela 2ª lei de Newton, a gente tem que essa força elétrica (Fe) é igual à massa do elétron vezes a aceleração (m vezes a), e como se trata de uma força centrípeta, essa aceleração (a) vai ser uma aceleração centrípeta. Mas como já falei no último vídeo, nós estamos interessados em saber apenas a magnitude dessa força elétrica. Então, a gente pode determinar o módulo dessa força elétrica. Assim, isso aqui poderia ser reescrito da seguinte forma: constante eletrostática (K)... "e" vezes "e", neste caso, como é o módulo, a gente vai ter apenas a carga elétrica elementar elevada ao quadrado (e²), dividido pela distância entre eles ao quadrado (r²), e isso sendo igual à massa do elétron vezes a aceleração centrípeta (m vezes a). E como vimos nos últimos vídeos também, essa aceleração centrípeta (a) é igual à velocidade do elétron ao quadrado dividido esse raio (v²/r), que é a distância do elétron ao próton. A gente ainda pode anular esse quadrado com esse "r", e assim, a gente teria algo dessa forma: (K vezes e²) sobre "r", isso é igual a "m" vezes v². Se você reparar bem agora, a gente tem algo muito parecido com a energia cinética (Ec), em que a energia cinética (Ec) é a metade da massa vezes a velocidade ao quadrado (1/2 m vezes v²). E aqui, a gente já tem um produto entre essa massa e a velocidade ao quadrado. Então, para gente conseguir fazer isso se transformar nessa expressão, bastaria apenas multiplicar por 1/2 em ambos os lados dessa equação, e a gente pode fazer isso: multiplicar por 1/2 aqui e 1/2 aqui. Agora sim, a gente já tem algo que se assemelha a essa energia cinética (Ec), ou seja, à metade da massa vezes a velocidade ao quadrado (1/2 m vezes v²). Então podemos dizer que isso vai ser igual à energia cinética (Ec) desse elétron, inclusive, a gente pode até reescrever isso: a energia cinética (Ec) do elétron vai ser igual a 1/2 vezes (K vezes e²) sobre "r", em que K é a constante eletrostática, "e" é a carga elétrica elementar e "r" é a distância entre o elétron e o núcleo do átomo. Agora que a gente já determinou essa energia cinética do elétron, nós podemos determinar também a energia potencial do elétron. E como que a gente pode fazer isso? A energia potencial elétrica, que neste caso vai ser a do elétron, vai ser igual... Vamos até colocar aqui: energia potencial elétrica (Epe) é igual a K vezes q₁, que é a carga do próton, vezes q₂, que é a carga do elétron, dividido pela distância entre o próton e o elétron, não é elevado ao quadrado aqui, não confunda com a lei de Coulomb, é apenas o "r" aqui. Então essa energia potencial do elétron (Epe), a gente consegue determiná-la da seguinte forma: constante eletrostática (K) vezes a carga do próton, que é "e", vezes a carga elétrica do elétron, que é menos a carga elétrica elementar (-e), dividido por "r". E agora, a gente não pode desconsiderar esse sinal desse elétron, porque isso é um resultado da consideração que a gente faz sobre a energia potencial, dizendo que a energia potencial lá no infinito é igual a zero. Então, por isso, a gente não pode desconsiderar esse sinal. Dessa forma, a gente teria que essa energia potencial do elétron (Epe) seria igual a -K vezes e² dividido por "r". Agora que a gente já tem tanto a energia cinética do elétron quanto a energia potencial desse elétron, a gente pode determinar a energia total desse elétron. Para gente determinar agora essa energia total do elétron (Et), basta a gente somar a energia cinética do elétron (Ec) com a energia potencial do elétron (Epe). E aí, neste caso, a gente pode vir agora e pegar tudo isso e colocar aqui, e também pegar tudo isso aqui, incluindo o sinal, e colocar aqui. Assim, a gente tem que a energia total (Et) desse elétron vai ser igual... Vamos lá, a energia total (Et) desse elétron vai ser igual a 1/2 vezes (K vezes e²) sobre "r", isso aqui mais a energia potencial, mas como tem um sinal de menos aqui, a gente tem que manter esse sinal negativo: (-K vezes e²) sobre "r". OK! Neste caso, como a gente já tem 1/2 vezes essa parte, -1, que está implícito aqui, vezes tudo isso, basta a gente subtrair esses 2 números aqui: 1/2 - 1. E 1/2 - 1 é igual a -1/2. Então essa energia total do elétron (Et) vai ser igual a -1/2 vezes (K vezes e²) sobre "r". Então aqui, a gente já conseguiu determinar toda essa energia do elétron. Então essa energia total (Et) vai ser igual a -1/2 vezes K, que é a constante eletrostática, vezes e² dividido por "r". E agora, que a gente já tem essa expressão, a gente consegue determinar essa energia total (Et) para um determinado raio permitido, por exemplo. Vamos supor que esse raio seja igual ao r₁, que a gente já viu nos últimos vídeos, e a gente já sabe quanto que vale esse r₁, ou seja, um valor igual a 5,3 vezes 10⁻¹¹ m. A gente também fez uma generalização para esse raio nos últimos vídeos, dizendo que "rₙ" seria igual a n² vezes r₁, então, por exemplo, podemos determinar essa energia total para o "n" = 1. E aí, neste caso, a gente já viu também no último vídeo que a gente pode substituir aqui por 1², e esse r₁ seria o próprio r₁, que é 5,33 vezes 10⁻¹¹. Então, a gente pode pegar isso e substituir aqui no lugar desse "r". Então, a energia para o primeiro raio (E₁), ou seja, a primeira energia aqui seria igual a -1/2 vezes a constante eletrostática no vácuo, que é 9 vezes 10⁹, vezes a carga elétrica elementar do elétron, que é (1,6 vezes 10⁻¹⁹)² C, isso aqui dividido por esse "r", que vai ser o r₁, que é 5,3 vezes 10⁻¹¹. Eu não vou parar para fazer toda essa conta aqui agora não, mas se você fizer, vai chegar a um valor igual a -2,17 vezes 10⁻¹⁸ J, e joule é a unidade de medida de energia. Então essa energia para o primeiro raio permitido do elétron para o modelo de átomo de Bohr do átomo de hidrogênio vai ser igual a -2,17 vezes 10⁻¹⁸ J. Nós fizemos todas essas contas para determinar a energia nesse primeiro nível permitido, certo? Mas será que a gente conseguiria fazer uma generalização para conseguir determinar a energia para qualquer nível permitido para esse elétron? Sim! A gente poderia simplesmente vir e substituir esse "t" por "n", e esse "r" por rₙ. Então vamos fazer isso? A energia para qualquer estado permitido desse elétron (Eₙ) vai ser igual a -1/2 vezes (K vezes e²) sobre rₙ. E como a gente sabe, esse rₙ é igual a n² vezes r¹, não é? Então, a gente pode vir aqui e substitui-lo. Então, a gente teria algo dessa forma: Eₙ, que é a energia para qualquer nível permitido, vai ser igual a -1/2 vezes (K vezes e²) dividido por rₙ, e rₙ é igual a n² vezes o r₁. A gente pode ainda reescrever isso para ficar um pouco melhor da seguinte forma: -1/2 vezes (K vezes e²) sobre r₁ vezes 1/n². E assim, a gente consegue determinar a energia para qualquer nível permitido (Eₙ). Agora, por que eu reescrevi isso dessa forma? Se você observar bem, isso isso lembra alguma coisa, não lembra? Vamos voltar aqui em cima. A gente não determinou essa energia para o r₁? E a gente, calculando para r₁, a gente chegou a este valor: 2,17 vezes 10⁻¹⁸, isso para o e¹, não foi? Então tudo isso daqui para esse r₁, que a gente já calculou, chegou a esse valor. Então, a gente poderia substituir tudo isso por esse número. Então, a gente teria isso aqui. A energia para qualquer nível (Eₙ) vai ser igual a (-2,17 vezes 10⁻¹⁸) dividido por n². E eu ainda posso reescrever isso pura e simplesmente substituindo esse número por E₁. Assim, a gente teria que a energia para qualquer nível (Eₙ) é igual a E₁ sobre n². E claro, você pode utilizar qualquer uma dessas 2 formas aqui, ou essa, em que a gente já tenha o valor de E₁, calculado para o r₁, e aqui, sem deixar explícito esse valor. E no próximo vídeo, nós vamos utilizar essas equações para determinar as diferentes energias em diferentes níveis de energia. Ou seja, vamos mudar esse "n" aqui para achar diferentes energias para cada um dos raios permitidos para esse elétron. Com este vídeo, chegamos à conclusão também que a energia é quantizada. E também é muito importante pensar na energia dessa forma. Por isso que o modelo de Bohr é agradável aos nossos olhos, porque nos dá essa energia quantizada, e isso explica os diversos fenômenos que veremos nos próximos vídeos. E no próximo vídeo, vamos voltar a falar sobre a energia e um pouco mais sobre o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio.