Resolução de problemas de decaimento exponencial

RKA4JL - Há dois vídeos atrás, aprendemos sobre meias-vidas e vimos que isso é útil se estivermos tentando descobrir o quanto resta de um composto após uma meia-vida, duas meias-vidas ou três meias-vidas. Podemos apenas pegar um meio do composto em cada período, mas isso não é tão útil assim se estivermos tentando descobrir o quanto de um composto nós temos após meia de uma meia-vida ou após um dia, 10 segundos ou 10 bilhões de anos. No vídeo anterior, provei que envolvia um pouco de matemática sofisticada. Se você não teve aula de cálculo, pode simplesmente pular esse vídeo. Mas se for curioso, aqui é onde provamos a seguinte fórmula: em um momento qualquer, se você tiver um átomo em decaimento, ele pode ser descrito como a quantidade de elemento que você tem em qualquer período do tempo, vai ser igual quantidade com a qual começou vezes "e" elevado a alguma constante. No último vídeo usei o lambda. Eu poderia ter usado o "k" dessa vez. -k vezes t. E para um elemento em particular com uma meia-vida específica, você pode calcular o "k" e, depois, aplicá-lo ao problema. Vamos fazer isso nesse vídeo apenas para que todas essas variáveis possam se tornar um pouco mais concretas. Vamos descobrir a fórmula geral do carbono. Carbono 14 é o que utilizamos na meia-vida. Vimos que o carbono 14 tem uma meia-vida de 5.730 anos. Vamos ver se é possível obter essa informação e aplicá-la a essa equação. Isso nos diz que após uma meia-vida, então, "t" é igual a 5.730 N(5.730) é igual à quantidade inicial. Começamos com N subzero vezes e elevado a menos... Sempre que vir o "t", você coloca -5.730. Então, -k vezes 5.730. E essa é quantidade de anos que se passaram. E a meia-vida nos diz que após 5.730 anos teremos um meio da nossa amostra inicial. Se tentarmos resolver essa equação para o "k", o que temos? Divida os dois lados por N₀, livre-se dessa variável, e restará e⁻⁵⁷³⁰ᵏ. Estou apenas trocando esses dois. É igual a ½. Se pegarmos o log natural dos dois lados, o que teremos? O log natural de "e" elevado a qualquer coisa, o log natural de eª é apenas "a". O log negativo disso é -5.730k, que é igual ao log natural de ½. Peguei o log natural dos dois lados. O log natural e o log natural dos dois lados. E para encontrar o "k", poderíamos dizer que "k" é igual ao log natural de ½ sobre -5.730, que fizemos no vídeo anterior. Vamos ver se podemos fazer isso novamente aqui para evitar... Para aqueles que não viram, se você tiver um meio, 0,5, pegue o log natural depois você divide por 5.730, é 5.730 negativo, e você obterá 1,2 vezes 10⁻⁴. Então, é igual a 1,2 vezes 10⁻⁴. Então, agora, temos a mesma geral de carbono 14, dada a sua meia-vida. Em qualquer momento após o ponto inicial, então... isso é para... Vamos chamar isso de carbono 14, para C14, a quantidade de carbono 14 que teremos será a nossa quantidade inicial vezes e⁻ᵏ. Acabamos de calcular o "k": 1,2 vezes 10⁻⁴ vezes a quantidade de tempo que se passou. Essa é a nossa fórmula para o carbono, para o carbono 14. Se fôssemos fazer isso com algum outro elemento, usaríamos a meia-vida desse elemento para descobrir quanto teremos em um determinado período para descobrir o valor de "k". Vamos usar isso para resolver um problema. Suponhamos que eu tenha começado com, não sei... Vamos supor que eu tenha começado com 300 gramas de carbono, carbono 14. E quero saber quanto tenho após, não sei, após uns dois mil anos. O que eu tenho? Bem, vamos aplicar a fórmula. N(2000) igual à quantidade inicial, 300 gramas, vezes "e" elevado a -1,2 vezes 10⁻⁴ vezes "t", vezes 2.000. E o que isso significa? Já tenho 1,2 vezes 10⁻⁴, então vezes 2000 é igual a... Claro, isso resulta em negativo. Vou colocar um número negativo aqui. Então, há um negativo. Eu tenho que elevar a essa potência. Portanto, a 0,241. Isso é igual a N(2000). A quantidade da substância que posso esperar após dois mil anos é igual a 300⁻⁰·²⁴¹⁹. E vamos ver. A minha calculadora não tem "e" elevado a uma potência. Então, vou pegar "e". (Preciso de uma calculadora melhor. Vou usar a minha científica). Digamos, 2,71 (continuo adicionando dígitos, mas farei 2,71), elevado a -0,24, que é igual a 0,78 vezes a quantidade inicial, vezes 300, que é igual a 236 gramas. Então, isso é igual 236 gramas. Simples assim. Usando a fórmula de decaimento exponencial, consegui descobrir quanto carbono eu tenho após um período incomum, uma não meia-vida. Vamos resolver outro problema como esse. Vamos fazer o oposto. Vamos supor que eu esteja tentando descobrir... Digamos que eu comece com 400 gramas de C14 e queira saber quanto tempo (então, eu quero saber um determinado período) levarei para chegar a 350 gramas de C14. Então, você diz que 350 gramas é a quantidade final e é igual à quantidade inicial, 400 gramas, vezes e⁻ᵗ. Isso é -1,2 vezes 10⁻⁴ vezes o tempo. E agora calcularemos o tempo. Como faremos isso? Poderíamos dividir os dois lados por 400. Quanto é 350 dividido por 400? 350 por 400 é 7 sobre 8. 0,87. 0,875 é igual a "e" elevado a -1,2 vezes 10⁻⁴ᵗ. E obterá o log natural de 0,875, que é igual ao log natural de "e" elevado a qualquer coisa. "e" é essa qualquer coisa. É igual a -1,2 vezes 10⁻⁴ᵗ. Então, "t" é igual a isso dividido por 1,2 vezes 10⁻⁴. Portanto, o log natural de 0,875 dividido por 1,2 vezes 10⁻⁴ é igual à quantidade de tempo que levaríamos de 400 gramas para 350 gramas. Então, de 400 gramas para 350. Farei o cálculo. Então, se tivermos o 0,875 e quisermos obter o log natural desse número e dividi-lo por -1... dividido por 1,2 é... -4. 10⁻⁴. Isso tudo é um número negativo. Vou dividi-lo por isso e, depois, pegarei o negativo disso. É igual a isso e depois terei que pegar um negativo Isso é igual a 1.112 anos. De 400 para 350 gramas da minha substância. Isso pode parecer um pouco complicado, mas se há uma coisa que você precisa fazer é se lembrar dessa fórmula. E se quiser saber de onde ela veio, assista ao vídeo anterior. Para resolver qualquer elemento em particular, você resolve o valor de "k" e depois substitui o que você sabe, depois procure resolver o que não sabe. Farei mais alguns problemas como esse no próximo vídeo.