If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Mais exemplos sobre decaimento exponencial

Transcrição de vídeo

RKA8JV Bom, vamos resolver mais um desses problemas de decaimento exponencial, porque isso é apenas prática e você vai começar a se sentir mais à vontade com a fórmula geral. Essa fórmula geral, eu vou escrever aqui de novo, onde a quantidade do elemento que sofre o decaimento é igual à quantidade inicial vezes ''e'' para o -kt. O valor ''k'' é específico para qualquer elemento que possua meia-vida, mas às vezes não sabemos qual é a meia-vida. Vamos ver essa situação interessante. Vamos supor que eu tenha um elemento. Vou dar-lhe a fórmula. Vamos supor que tenha um elemento mágico aqui, cuja fórmula é, digamos, que ''k'' é igual a, estamos colocando menos na frente, então, vamos supor que o valor ''k'' seja 0,05 positivo. Sua forma de decaimento exponencial seria a quantidade inicial vezes ''e'' para -0,05t. Minha pergunta é: sabendo isso, qual é a meia-vida do composto do qual estamos falando? Qual é a meia-vida? Para descobrir isso precisamos descobrir qual valor ''t'' pode ser utilizado aqui, de modo que, se começar com qualquer valor, o resultado final será 1/2 daquele valor. Estamos começando com N₀. Este é apenas um valor, nosso ponto de partida inicial. Bom, na verdade, vamos fazer isso apenas para manter as coisas menos abstratas. Então, vamos supor que estejamos começando com 100. Eu poderia ter utilizado, por exemplo, um número abstrato, como o ''n''. Vamos supor que estejamos começando com 100. Portanto, temos 100 vezes ''e'' para -0,05 vezes ''t''. ''t'' é a meia-vida, depois da meia-vida, o restante será 1/2 desse valor. Isso deve ser igual a 50. Temos o resultado para ''t'', divido os dois lados por 100, o resultado será igual a -0,05t = 1/2. Vamos considerar o logaritmo natural dos dois lados dessa fórmula. O ln desse, o ln desse. O resultado é o ln(e), pode ser qualquer valor, portanto, -0,05t é igual ao ln(1/2). Em seguida, ''t" = ln(1/2) dividido por -0,05. Vamos tentar descobrir o que significa isso. Eu poderia muito bem fazer isso, poderia simplesmente colocar esse menos aqui em cima, poderia transformar isso em um mais, e isso em um menos, se eu multiplicar o numerador e o numerador por -1. Só para fazer o cálculo matemático um pouco mais fácil, se for colocar um menos na frente de um logaritmo natural, ou qualquer logaritmo, é a mesma coisa que o logaritmo da relação inversa de 2/0,05. Isso faz o cálculo matemático um pouquinho mais fácil. A mesma coisa. Portanto, 2ln dividido por 0,05 é igual a 13,86. ''t'', então, é igual a 13,86. Bom eu estou supondo que estamos trabalhando com o tempo em anos. Esta é a convenção, embora às vezes eu poderia fazer outra coisa, mas precisamos sempre converter para anos. Ao considerar essa fórmula original, onde o valor ''k'' é 0,05, estava supondo que ''t'' esteja em anos, e assim, acabei de resolver a sua meia-vida. Agora sei que, depois de 13,86 anos, pode-se esperar ter 1/2 da substância restante, começamos com 100 e acabamos com 50. Poderíamos ter começado com ''x'' e acabado com ''x/2''. Bom, vamos para outro problema apenas para nos acostumarmos com essa fórmula. Vamos supor que a meia-vida é de, digamos, 1 mês. Meia-vida de 1 mês. Depois digamos que eu, apenas por uma questão de tempo, vou simplificar um pouco, vamos supor que o valor de ''k'' é igual a, você pode dizer, quer dizer, você pode ir de meia-vida para um valor ''k''. Fizemos isso no vídeo anterior. Vamos supor que o valor ''k'' igual a 0,001. A fórmula geral é a quantidade de produto, e é a quantidade inicial vezes ''e'' para -0,001 vezes ''t''. Eu lhe dei isso, caso tenha que descobrir a partir de meia-vida. Fizemos isso no vídeo anterior com o carbono-14. Digamos que essa seja a fórmula, e vamos supor que, depois de 1.000 anos, tem 500 g de qualquer elemento descrito. A fórmula de decaimento para qualquer elemento é descrita por essa fórmula. Com quanto comecei? Basicamente, preciso saber o valor de N₀, certo? Depois de 1.000 anos, portanto, N(1.000), que é igual a N₀ vezes ''e'' para - 0,001 vezes 1.000. Certo? Isso é N(1.000), e eu estou dizendo que isso é igual a 500 g. Isso equivale a 500 g. Preciso apenas resolver para N₀. Qual é o valor ''e''? Se tiver 0,001 vezes 1.000, isso é N₀. Isso é 1/1.000 de 1.000 vezes ''e'' para -1= 500 g. Ou eu poderia multiplicar os dois lados por ''e'', e aí teria N₀ = 500e, que é aproximadamente 2,71. 500 vezes 2,71. Bom, não tem ''e'' nessa calculadora, ou pelo menos eu não achei. Teremos 1.355 g, portanto, é igual a 1.355 g. Espero que esteja bem claro agora. Acho que abordamos isso praticamente de todas as formas que um teste de Química ou um professor poderia colocar o problema. Você precisa apenas lembrar a fórmula. Isso se aplica a muitas coisas. Mais tarde, você vai aprender, quando for estudar juros compostos em finanças, que, nesse caso, ''k'' é um valor positivo. Basicamente, é a mesma fórmula. Bom, essa fórmula se aplica muitas outras coisas além do decaimento radioativo, mas a ideia simples é usar as informações que precisa resolver para o maior número de constantes possível. Não importa qual for o enunciado, faça o cálculo por tudo que estiver restante. Bom, espero lhe ter dado exemplos suficientes, mas fique sabendo que ficarei feliz em fazer mais.