Prova visual da fórmula da aceleração centrípeta

RKA5MP Vamos supor que eu tenho um objeto que está se deslocando em uma trajetória circular exatamente assim. Isso que eu desenhei aqui é o seu vetor velocidade em pontos diferentes ao longo da trajetória. E, portanto, isso aqui vai ser v₁, vetor velocidade 1, e isso vai ser o vetor velocidade 2, e isso, bem aqui, vai ser o vetor da velocidade 3. E, o que nós vamos assumir nesse vídeo é que o módulo desses vetores velocidade é constante, ou outra forma de pensar sobre isso é que a velocidade é constante, portanto, falarei do "v" minúsculo sem a seta em cima. Portanto, isso vai ser uma grandeza escalar, vou chamá-la de velocidade. Isso simplesmente é a intensidade desses vetores e ela vai ser constante. Assim, isso tudo será igual ao módulo do v₁, que é igual ao módulo do v₂. A direção está claramente variando, mas a intensidade vai ser a mesma, que é igual a intensidade também do v₃. E nós vamos supor que o objeto está se deslocando em um círculo, em uma trajetória com o raio "r". O que eu vou fazer é desenhar um vetor posição em cada ponto . Então vamos chamar, vamos chamar r₁, na verdade, vou fazer isso em rosa, vamos chamar de r₁. Aquele ali é o vetor posição 1. Ali está o vetor posição r₂, vetor posição r₂ está ali. Então, a posição está visivelmente mudando, e aquilo é o vetor posição r₃, mas a intensidade dos nossos vetores posições é claramente a mesma. Eu vou denominar a intensidade dos nossos vetores simplesmente como "r", que é simplesmente o raio do círculo, é esta distância bem aqui. Portanto, "r" é igual ao módulo de r₁, que é igual ao módulo de r₂, que é igual ao módulo de r₃. Agora, o que eu quero fazer nesse vídeo é provar visualmente para vocês que, considerando esse raio e considerando essa velocidade, o módulo da nossa aceleração centrípeta, eu vou apenas demonstrá-la como "a", índice "c", sem colocar seta em cima, portanto, essa é uma grandeza escalar. Então, o módulo da aceleração centrípeta vai ser igual a nossa v² dividida pelo raio do círculo. É isso que eu quero provar. Quero provar que a aceleração centrípeta é igual a v²/ r. E, para compreender isso, o que eu quero fazer é representar esses vetores velocidade em outro círculo, e vamos pensar sobre como esses próprios vetores estão variando. Portanto, vamos copiar e colar isso. Então, eu vou copiar e colar v₁, então, copiar e colar. Aí, isso é "v", na verdade, eu quero fazer isso a partir do centro. Então, isso é v₁, e é aquilo é v₂. Então, eu vou copiá-los e colá-los. Aquilo é v₂. Então, v₃ aqui assim, vou só pegar a parte do vetor, não quero pegar o nome. Então, vou copiar e colar também. E, aquele ali é o vetor v₃, vou limpar isso um pouquinho, assim fica mais claro. Portanto, aquilo é visivelmente v₂, nem precisamos colocar os nomes. Nós sabemos que o v₂ está em laranja. E qual vai ser o raio desse círculo aqui? O raio desse círculo vai ser a grandeza dos vetores velocidade. E nós já sabíamos que o módulo dos vetores velocidades é "v", e que é uma grandeza escalar. Portanto, o raio desse círculo é "v". Como já sabemos, o raio desse círculo é igual a "r". Assim, o que está provocando a variação da posição em relação ao tempo? A variação do vetor posição sobre o tempo. O que vai nos fornecer a variação nos vetores posição com o tempo? Bem, serão os nossos vetores aceleração, portanto, vocês terão alguma aceleração chamaríamos isso de a₁. Isso aqui de a₂, e isso nós chamaríamos de a₃. Eu quero ter certeza de que vocês entendam a analogia que está ocorrendo aqui. Conforme percorremos esse ciclo, a posição, os vetores posição, primeiramente apontam para a direita, em seguida, mais para o alto, para cima, no meio, talvez na posição das 11 horas do relógio, no alto à esquerda e, então, no alto. Portanto, ele está apontando nessas diferentes direções como um ponteiro do relógio. E o que está movendo ao longo disso é a variação nos vetores posição em relação ao tempo, que representam os vetores velocidade. Aqui, os vetores velocidade estão girando como os ponteiros de um relógio. E o que está provocando a movimentação são esses vetores aceleração. E aqui, os vetores velocidades são tangentes à trajetória. Isso é um círculo, eles são perpendiculares ao raio. E vocês aprenderam isso em geometria, que uma linha tangente a um círculo é perpendicular ao raio, e o mesmo vai ocorrer aqui. E lembrando sobre o que nós aprendemos da intuição da aceleração centrípeta, se vocês observarem o a₁ aqui, e se você transladar esse vetor, ele vai atuar bem assim e vai seguir para o centro, a₂, novamente, seguindo para o centro, a₃, novamente, se você transladar isso seguindo para o centro. Portanto, esses vetores estão todos em busca do centro, e vocês podem visualizar isso bem aqui. Tudo isso é, todos esses aqui são, na verdade, vetores da aceleração centrípeta. E vamos supor que todos eles apresentem o mesmo tamanho, então nós vamos assumir que a nossa centrípeta, que todos eles possuem o mesmo módulo. O que nós chamaríamos de "a" e índice "c", portanto, esse é o tamanho. Ele é igual ao módulo de a₁. E aquele vetor é igual ao módulo de a₂. E esse é igual módulo de a₃. Agora, eu quero pensar sobre quanto tempo leva para esse objeto se deslocar desse ponto, nesse círculo, até aquele ponto, naquele círculo bem ali. Então, a maneira de analisar isso é: qual é o comprimento do arco que ele percorreu? O comprimento do arco que é percorrido bem ali? É 1/4 da circunferência, então, vai ser 1/4 da circunferência. O perímetro da circunferência é 2πr. Então, no nosso caso, vai ser 1/4 disso. Portanto, esse é o comprimento do arco. Então, quanto tempo ele vai levar para percorrer aquela trajetória? Bem, se vocês dividirem o comprimento da sua trajetória pela velocidade, divide pelo que realmente está se deslocando o objeto ao longo de sua trajetória. Portanto, vocês querem dividir isso pelo módulo da sua velocidade. Isso representa a intensidade da velocidade, não a velocidade como um vetor. Isso aqui não é um vetor, é um escalar. Portanto, esse vai ser o tempo a ser percorrido ao longo da trajetória. Agora, o tempo para se percorrer essa trajetória vai ser o mesmo, exatamente a mesma quantidade de tempo que leva para percorrer essa trajetória para o vetor velocidade. Portanto, isso é para o vetor posição se deslocar dessa forma, e isso é para o vetor velocidade se deslocar dessa forma. Vai ser exatamente o mesmo "T". E qual é o comprimento dessa trajetória? Agora, encare isso em um sentido essencialmente geométrico. Estamos olhando para um círculo aqui, o raio desse círculo é "v". Portanto, o comprimento dessa trajetória aqui vai ser 1/4. Vou escrever isso da mesma cor para vocês visualizarem que a analogia vai ser 1/4 da circunferência do círculo. O perímetro dessa circunferência é 2π vezes o raio que é "v". Agora, o que é que está se deslocando ao redor desse círculo? O que está variando ao longo da trajetória? Qual é a analogia para a velocidade aqui? A velocidade está deslocando o objeto ao longo da trajetória aqui, e ela é a intensidade desse vetor velocidade. Portanto, o que está se deslocando ao longo desse arco aqui é o módulo do vetor aceleração. Então, vai ser "a" índice "c", e esses tempos serão exatamente iguais. O tempo que leva para esse vetor se deslocar dessa forma para o vetor posição é o mesmo tempo que leva para o vetor velocidade se deslocar assim. Então, nós podemos estabelecer que essas duas coisas são iguais. Assim, nesse lado, nós obtemos 1/4 vezes 2πr sobre "v", que é igual a 1/4 vezes 2πv, 2πv sobre a grandeza do nosso vetor aceleração. E agora, podemos simplificar podemos cortar 1/4 de ambos os lados, excluir isso, podemos também cortar os 2π . Então, nós temos "r" sobre "v" é igual a "v" sobre a aceleração centrípeta. E agora, vocês podem multiplicar em cruz e, então, vocês obtêm, "v" vezes "v", só estou multiplicando em cruz aqui, "v" vezes "v". Resulta em v², que é igual a "ac" vezes "r". "ac" vezes "r". E agora, para descobrir o valor da nossa aceleração, é só dividir ambos os lados por "r". Vocês dividem ambos os lados por "r", e sobra o valor da nossa aceleração centrípeta aqui. Ela é igual o módulo da velocidade ao quadrado, sobre "r". E, pronto, chegamos ao fim!