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O que é conservação do momento?

Aprenda o que significa conservação do momento e como usá-lo.

O que é o princípio da conservação do momento?

Em física, o termo conservação se refere a algo que não muda. Isto significa que a variável de uma equação que representa uma grandeza conservada é constante ao longo do tempo. A variável tem o mesmo valor antes e depois de um evento.

Existem muitas grandezas conservadas na física. Elas são muitas vezes úteis para se fazer previsões de situações que de outra forma seriam muito complicadas. Na mecânica, existem três grandezas fundamentais que são conservadas. Estas são momento, energia e momento angular. A conservação do momento é usada principalmente para descrever colisões entre objetos.

Assim como em outros princípios de conservação, há um senão: a conservação do momento aplica-se somente a um sistema isolado de objetos. Neste caso um sistema isolado é aquele que não recebe nenhuma força externa ao sistema, ou seja, não há nenhum impulso externo. O que isso significa, no exemplo prático de uma colisão entre dois objetos, é que precisamos incluir ambos os objetos, e qualquer outra coisa que aplique uma força em qualquer um dos objetos por algum período de tempo no sistema.

Se os subscritos

i

f

denotam o momento inicial e final de objetos em um sistema, então o princípio da conservação do momento diz

p_{1 i} + p_{2 i} + \dots = p_{1 f} + p_{2 f} + \dots

Por que momento é conservado?

A conservação do momento é, na verdade, uma consequência direta da terceira lei de Newton.

Considere uma colisão entre dois objetos, o objeto A e o objeto B. Quando os dois objetos colidem, há uma força atuando em A devido a B (

F_{AB}

), mas, por causa da terceira lei de Newton, há uma força igual na direção oposta atuando em B devido a A (

F_{BA}

F_{AB} = - F_{BA}

As forças agem entre os objetos quando eles estão em contato. O período em que os objetos estão em contato —

t_{AB}

t_{BA}

— varia de acordo com as especificidades da situação. Por exemplo, seria maior para duas bolas moles do que para duas bolas de bilhar. No entanto, o tempo deve ser igual para ambas as bolas.

t_{AB} = t_{BA}

Consequentemente, o impulso experimentado pelos objetos A e B deve ser igual em grandeza e em sentido contrário.

F_{AB} \cdot t_{AB} = - F_{BA} \cdot t_{BA}

Se lembrarmos que o impulso é equivalente a uma mudança no momento, segue-se que a mudança nos momentos dos objetos é igual mas em direções opostas. Isso pode ser também expresso como a soma da mudança dos momentos sendo igual a zero.

\begin{aligned} m_{A} \cdot Δ v_{A} & = - m_{B} \cdot Δ v_{B} \\ m_{A} \cdot Δ v_{A} + m_{B} \cdot Δ v_{B} & = 0 \end{aligned}

O que há de interessante na conservação do momento?

Existem pelo menos quatro coisas que são interessantes — e às vezes não intuitivas — sobre a conservação do momento:

Momento é uma grandeza vetorial, e, portanto, precisamos usar a adição de vetores quando somamos os momentos dos vários corpos que compõem um sistema. Considere um sistema de dois objetos semelhantes se afastando um do outro em direções opostas, com velocidade de mesma magnitude. O que é interessante é que os vetores na direção oposta se cancelam, de forma que o momento do sistema como um todo é zero, mesmo que os dois objetos estejam se movendo.
Colisões são particularmente interessantes de se analisar usando a conservação do momento. Isso ocorre porque as colisões normalmente acontecem rapidamente, então o tempo que os objetos que colidem gastam interagindo é curto. Um tempo curto de interação significa que o impulso, $F \cdot Δ t$ ‍, devido a forças externas, tais como o atrito durante a colisão, é muito pequeno.
Muitas vezes é fácil medir e rastrear o momento, mesmo com sistemas complicados e com muitos objetos. Considere uma colisão entre dois discos de hóquei sobre o gelo. A colisão é tão forte que quebra um dos discos em dois pedaços. A energia cinética provavelmente não é conservada na colisão, mas o momento será conservado.
Considerando que sabemos as massas e as velocidades de todas as peças logo após a colisão, ainda podemos usar a conservação do momento para entender a situação. Isto é interessante porque, por outro lado, seria praticamente impossível usar a conservação de energia nesta situação. Seria muito difícil calcular exatamente quanto trabalho foi realizado para quebrar o disco.

Colisões com objetos ''estacionários'' são interessantes. É claro que nenhum objeto é realmente estacionário, mas alguns são tão pesados que parecem ser. Consideremos o caso de uma bola de borracha de massa $m$ ‍, viajando à velocidade vetorial $v$ ‍ em direção a uma parede de tijolos. Ela bate na parede e salta para trás com velocidade vetorial $- v$ ‍. A parede está bem fixada no chão e não se mexe, mesmo assim o momento da bola foi alterado por $2 m v$ ‍ (uma vez que a velocidade vetorial foi de positiva para negativa).
Se o momento é conservado, então o momento da Terra e da parede deve também ter mudado por $2 m v$ ‍. Só não percebemos isto porque a Terra é muito mais pesada do que a bola de borracha.

Que tipo de problemas podemos resolver usando a conservação do momento?

Exercício 1a: O recuo de um canhão é provavelmente familiar para quem já assistiu a filmes de piratas. Isto é um problema clássico de conservação de momento. Considere um canhão de 500kg sobre rodas disparando horizontalmente de um navio uma bala de canhão de 2 kg. A bola sai do canhão viajando a 200 m/s. Qual a velocidade de recuo do canhão?

Exercício 1b: Suponha que o canhão foi elevado para atirar num ângulo

α = 30^{\circ}

em relação à horizontal. Qual é a velocidade de recuo neste caso? Para onde foi o momento adicional?

Como o canhão pode rolar somente ao longo do convés do navio, estamos interessados apenas na componente horizontal do momento. Desenhando um triângulo e usando trigonometria podemos encontrar o componente horizontal da velocidade vetorial

v_{h}

\begin{aligned} v_{h} & = v_{b} \cdot \cos (α) \\ = 173 m / s \end{aligned}

Podemos então proceder como antes:

\begin{aligned} \frac{m_{b} v_{h}}{m_{c}} & = - v_{c} \\ \frac{2 kg \cdot 173 m / s}{500 kg} & = - 0, 69 m / s \end{aligned}

A componente vertical do momento atua para momentaneamente empurrar o barco água adentro.

Exercício 2a: Uma cabeça de taco de golfe de massa

m_{t} = 0, 25 kg

oscila e colide com uma bola de golfe estacionária de massa

m_{b} = 0, 05 kg

. Um vídeo de alta velocidade mostra que o taco está se movendo com

v_{t} = 40 m / s

quando toca a bola. Ele permanece em contato com a bola por

t = 0, 5 ms

, depois disso a bola viaja com uma velocidade escalar de

v_{b} = 40 m / s

. Quão rápido o taco se move depois que bateu na bola?

Exercício 2b: Qual é a força média no taco devida à bola de golfe no problema anterior?

Sabemos que a velocidade vetorial do taco muda de 8 m/s quando ele golpeia a bola, assim podemos encontrar a aceleração:

\begin{aligned} a & = \frac{Δ v}{Δ t} \\ = \frac{32 \frac{m}{s} - 40 \frac{m}{s}}{0, 5 \cdot 10^{- 3} s} \\ = \frac{- 8, 0 m / s}{0, 5 \cdot 10^{- 3} s} \\ = - 16 \cdot 10^{3} m / s^{2} \end{aligned}

Assim, sabemos que a força é

\begin{aligned} F & = m_{c} a \\ = (0, 25 kg) (- 16 \cdot 10^{3} m / s^{2}) \\ = - 4, 0 kN \end{aligned}

Pode ser surpreendente que uma pequena bola de golfe possa exercer uma força tão grande. A força também é aplicada numa área de contato muito pequena, tornando a pressão muito alta. Por isso as bolas de golfe e os tacos precisam ser feitos tão fortes.

Exercício 3: Suponha que um jogador de futebol americano de 100 kg está parado em uma pista de gelo. Um parceiro lança uma bola de 0,4 kg na direção dele a uma velocidade de magnitude 25 m/s. Em um movimento suave, ele recebe a bola e a lança de volta na mesma direção a uma velocidade de magnitude 20 m/s. Qual é a velocidade escalar do jogador após o lance?

Neste problema, todo o movimento de interesse é paralelo ao chão. Então podemos usar a forma escalar do momento e definir a velocidade vetorial positiva como a direção do amigo para o jogador. Aqui, usaremos o subscritos

b

j

para a bola e jogador,

i

f

para inicial e final. Começamos por escrever a soma dos momentos antes e após o evento:

\begin{aligned} m_{b} v_{bi} + m_{j} v_{ji} & = m_{b} v_{bf} + m_{j} v_{jf} \\ m_{b} (v_{bi} - v_{bf}) & = m_{j} v_{jf} \end{aligned}

Ao colocar os números, precisamos ter a certeza que a velocidade vetorial final da bola é no sentido negativo.

\begin{aligned} v_{jf} & = \frac{m_{b}}{m_{j}} (v_{bi} - v_{bf}) \\ = \frac{0, 4 kg}{100 kg} (25 m / s + 20 m / s) \\ = 0, 18 m / s \end{aligned}

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procedure sem fim
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “No exercício 1b não apare...” de procedure sem fim
No exercício 1b não aparece o cos quando vai calcular a velocidade do canhão, a velocidade do canhão não é afetada pelo ângulo?
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(1 voto)
Resposta
Fabricio Gegenheimer
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Suponha que um jogador de...” de Fabricio Gegenheimer
Suponha que um jogador de futebol americano de 100 kg está parado em uma pista de gelo. Um parceiro lança uma bola de 0,4 kg na direção dele a uma velocidade de 25 m/s. Em um movimento suave, ele recebe a bola e a lança de volta na mesma direção a uma velocidade de 20 m/s. Qual é a velocidade do jogador após o lance?
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Resposta
- jogadoranumero1
  Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “Neste problema, todo o mo...” de jogadoranumero1
  Neste problema, todo o movimento de interesse é paralelo ao chão. Então podemos usar a forma escalar do momento e definir a velocidade vetorial positiva como a direção do amigo para o jogador. Aqui, usaremos os subscritos 'b' e 'j' para a bola e jogador, 'i' e 'f' para inicial e final. Começamos por escrever a soma dos momentos antes e após o evento:
  
  Mb Vbi + Mj Vji = Mb Vbf + Mj Vjf
  Mb(Vbi-Vbf) = Mj Vjf
  
  Ao colocar os números, precisamos ter a certeza que a velocidade vetorial final da bola é no sentido negativo.
  
  Vjf = Mb/Mj (Vbi - Vbf)
  = 0,4kg/100kg (25m/s + 20m/s)
  = 0,18m/s
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Energia biológica

Curso: Energia biológica > Unidade 8

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