Trabalho como área sob curva

RKA7MP - Vamos supor que você pegue um hambúrguer e não queira mais este hambúrguer. Então, você aplica uma força e afasta este hambúrguer de você o mais longe que você quiser. A pergunta que nós vamos fazer aqui é: qual é o trabalho realizado por essa força? Normalmente, a fórmula do trabalho é força vezes deslocamento, vezes cosseno de teta (θ). O cosseno de θ aparece aqui para que a força esteja na mesma direção do deslocamento. Neste caso especificamente, como a força já está na direção do deslocamento, este cosseno vai ser cosseno de zero, o que vai dar 1. Portanto, a equação vai ficar apenas a força vezes o deslocamento. Vamos colocar alguns valores. Por exemplo, se você tiver a força de 4 N (N), e o distanciamento seja de 5 m, você realmente não quer esse hambúrguer. Qual é o trabalho realizado? Neste caso, é bem simples. Você multiplica 4 N, que é a força constante, vezes o deslocamento, que é 5 m. E você vai ter o trabalho de 20 joules (J). Neste caso, é muito simples. O que nós vamos colocar é quando esta força não for constante, ou seja, se esta força for variada. Se esta força for variada durante o deslocamento, como é que você calcula o trabalho realizado por esta força? Vamos colocar no gráfico. Se você tem uma força de 4 N aplicada durante 5 m, ou seja, você tem 4 N< e essa força agora está variando. Como é que você vai calcular esta força? Verifique o seguinte, se a força for constante, como no caso anterior, fica fácil, você tem 4 N e, aplicada durante 5 m, o trabalho vai ser a força vezes o deslocamento. Verifique que a força vezes o deslocamento, neste caso, vai ser a área desta curva sob o gráfico da força pelo deslocamento. Você tem aqui a altura e você tem aqui a base, sendo esta 5 m, vezes a altura de 4 N, você vai ter 4 N vezes 5 m, e vai obter os mesmos 20 J obtidos anteriormente. O que nós queremos colocar é que esta área sob o gráfico representa o trabalho feito. Ou seja, a área é igual ao trabalho realizado. A área sob a curva do gráfico da força pelo deslocamento é o trabalho realizado. Na realidade, neste trabalho, você tem a força constante e você tem um certo deslocamento. Mas e se essa força não for constante? Ou seja, se essa força for variada? Se essa força for variada, como é que você calcula? Se você tem uma força de 4 N, mas, durante essa representação do 5 m, essa força for variada dessa forma aqui? Ou seja, você tem 4 N inicialmente, à medida em que você vai se distanciando, ou o hambúrguer vai se distanciando, você vai aplicando cada vez menos força. E como é que você calcula o trabalho? Você não pode mais aplicar trabalho igual a força vezes deslocamento, pois essa força agora não é constante. Então, você não pode aplicar esta equação. O que nós vamos mostrar é que esta área representa exatamente o trabalho, você pode calcular pela área da curva da força pela distância. E como é que você pode pensar nisso? “Tem alguma coisa errada em alguma coisa, me prove isso!” Muito bem, vamos colocar uma situação. Vamos verificar que se você reduzir esta distância em vários trechos de forças constantes, ou seja, em vários trechos pequenos onde a força é constante, para cada trecho desse, você multiplica força vezes deslocamento, força vezes deslocamento, força vezes deslocamento. Verifique o seguinte, à medida que você reduz o tamanho destes retângulos, você vai se aproximando mais da área do triângulo. Você pode achar que aqui você tem uma área que está fora da curva do gráfico da força pelo deslocamento. Até se tornar infinitesimais, você vai se aproximando cada vez mais da área. Portanto, a área deste triângulo vai representar realmente o trabalho realizado. E para você calcular a área deste triângulo é bem fácil, pois você sabe como calcular a área do triângulo. A área do triângulo vai ser ½ da base vezes a altura. Quem é a base? A base é 5 m, vezes a altura que é de 4 N. Então, você tem 4 N vezes 5 m, dividido por 2, que vai dar 10 J. Quando nós falamos da área sob o gráfico, você pode achar que pode ser a área totalmente sob o gráfico, ou seja, ela vai para menos infinito se ela estiver aqui por baixo, alguma coisa desse tipo. Na realidade, é a área entre a curva e o eixo do “x”. Para melhor verificar isto, vamos ver um exemplo onde você aplica primeiro uma força negativa até a distância de 1 m, depois você passa a aplicar uma força positiva. Então, a área que você vai calcular não é a área sob o gráfico desta forma aqui, e sim a área entre a curva e o eixo do “x”. Ou seja, esta área vai representar o trabalho, vamos chamar de área 1, vai representar a primeira parte do trabalho até 1 m, ou seja, vamos chamar de trabalho 1. E esta área 2 vai representar o trabalho na segunda parte do trecho de 1 m até 3 m, vamos chamar de trabalho 2. Então, como é que calculamos esta área? Bem fácil, está área é a área do triângulo. Então, será a área 1, vai ser ½ da base vezes a altura. Nós temos ½ da base, que é 1 m, vezes a altura, que é de -2 N. Você está aplicando uma força negativa. Portanto, você vai ter o trabalho de -1 J. Neste caso, o trabalho de -1 J, que é esta primeira parte, ou seja, esta área representa o trabalho. A segunda parte você tem a área 2, também dada pelo triângulo, vai ser ½ da base vezes a altura, e você tem ½ da base, agora, a base é de 1 m até 3 m, ou seja, será 2 m, e a altura será de zero até 4 N, ou seja, você vai ter o trabalho de 4 J. O trabalho total vai ser dado pela soma das duas áreas, vai ser a área 1 mais a área 2. Então, o trabalho total vai ser -1 J mais 4 J, o trabalho total realizado durante os 3 m será de 3 J. É importante observar que qualquer figura da qual você consiga calcular a área, pode ser um triângulo, pode ser um retângulo, pode ser uma mistura entre triângulos e retângulos, você sempre vai poder calcular o trabalho realizado por uma força variada pela área sob o gráfico da curva. Recapitulando, nós temos a área sob a curva do gráfico da força pelo deslocamento, pode ser dividida em vários retângulos cuja força é constante nesse espaço de tempo e, à medida que você vai diminuindo estes retângulos, esta área vai se aproximando da área sob a curva que você tem no gráfico da força pelo deslocamento. A área da curva do gráfico do deslocamento vai lhe dar o trabalho realizado sem que você precise utilizar a força vezes o deslocamento, e nem pode, pois esta força não é constante.