Conteúdo principal
Engenharia elétrica
Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2
Lição 3: Análise de circuito DC- Visão geral de análise de circuitos
- Lei das correntes de Kirchhoff
- Lei de Kirchhoff da tensão
- Leis de Kirchhoff
- Rotulação de tensões
- Aplicação das leis fundamentais (análise)
- Aplicação das leis fundamentais (solução)
- Aplicação das leis fundamentais
- Método das Tensões de Nó (passos 1-4)
- Método das Tensões de Nó (passo 5)
- Método das Tensões de Nó
- Método das Correntes de Malha (passos de 1 a 3)
- Método das Correntes de Malha (passo 4)
- Método das Correntes de Malha
- Método das Correntes de Malha
- Número de equações necessárias
- Linearidade
- Superposição
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Linearidade
Quando dobramos a tensão em um resistor, a corrente dobra. Dizemos que um resistor é um dispositivo linear. Capacitores e indutores também são lineares. Escrito por Willy McAllister.
Introdução
Linearidade é um conceito matemático que tem um profundo impacto em projetos eletrônicos. A ideia em si é bastante simples, mas as implicações têm grande significado para nosso campo. Primeiro vamos falar sobre o significado matemático de linear. Em seguida vamos aplicar a ideia em circuitos eletrônicos.
O que estamos construindo
Uma função é linear, no sentido matemático, se tem as seguintes propriedades:
Homogeneidade (também chamada de escalonamento ou proporcionalidade):
Aditividade:
Quando as entradas e saídas são unicamente números, uma função que tem a propriedade de escalonamento terá automaticamente a propriedade de aditividade também. Resistores, capacitores e indutores são lineares porque eles apresentam a propriedade de escalonamento.
Linear
O termo linearidade se refere à propriedade de escalonamento. Suponha que você tenha duas propriedades físicas relacionadas, por exemplo, a velocidade que você corre e a distância que percorre. Se você dobrar sua velocidade, dobrará a distância. Se você triplicar sua velocidade, triplicará sua distância. Isto é chamado de uma relação linear. Geralmente, o custo de algo é linear. Se um caderno custa $1, então dez cadernos custarão $10.
Em eletrônica, um resistor ideal cria uma relação linear entre tensão e corrente. Se você dobrar a tensão, a corrente dobra, e vice versa. Então, dizemos que um resistor ideal é um elemento linear.
Escalonamento (homogeneidade)
Queremos escrever esta propriedade de escalonamento em termos matemáticos.
Esta propriedade duplicar-leva-a-duplicar pode ser escrita como . Da mesma forma, triplicar-leva-a-triplicar pode ser escrita como . E em geral, essa propriedade de escalonamento é dada por
A termo matemático para esta propriedade é homogeneidade.
Uma função como uma linha passando através da origem possui a propriedade de proporcionalidade. Por exemplo, .
Se , então .
Se dobrarmos de para , então .
Logo, duplicar exatamente duplica .
É importante, visto que é uma linha reta, o fator de escala não depende do valor de .
Se a função tiver qualquer outra forma, como ou ou , o fator de escala não é o mesmo para todos os , pois depende do valor de .
Por exemplo, se , então:
Em , , então o fator de escala indo de a é .
Em , , então o fator de escala é .
Para qualquer função que não seja uma linha reta, escalonar (amplificação) não é constante, mas depende do valor de entrada, .
Eis as principais razões porque gostamos de construir e usar amplificadores lineares para converter pequenos sinais em maiores. Cada sinal é uniformemente escalonado pela mesma quantidade, portanto, a saída parece uma réplica amplificada da entrada.
Adição (aditividade)
Quando uma relação é linear (tem a propriedade de escalonamento), podemos derivar uma propriedade de adição. Todas as funções lineares têm a forma de uma linha com fator de escala (inclinação):
Se fizermos da entrada a soma de duas entradas distintas , ou seja:
e usando a propriedade distributiva,
Os termos no lado direito são equivalentes a:
E agora temos uma propriedade de adição (chamada aditividade, em linguagem matemática):
Podemos usar esta propriedade de aditividade de forma inteligente.
Suponha que tenhamos duas entradas, e , e colocamos cada uma como uma entrada em uma função linear, . As saídas serão, naturalmente, e .
Se somarmos as entradas, , e colocarmos a soma dentro de , por definição, a saída será .
Aqui vêm a parte inteligente: se for uma função linear, há outra maneira de derivar a saída quando a entrada for . A saída também pode ser calculada a partir da soma das duas saídas individuais, .
A propriedade de aditividade de funções lineares é chamada superposição. É a base da técnica de análise de circuito que leva o mesmo nome. A superposição é usada brilhantemente no método das correntes de malhas e em muitos outros casos de engenharia (especialmente em processamento de sinal).
Linearidade de componentes eletrônicos
Vamos começar por analisar um resistor. Matematicamente, você pode considerar que um resistor é uma função que usa a tensão como uma entrada e gera uma corrente como uma saída.
Podemos dizer se um resistor ideal é linear testando para ver se ele atende a regra do escalonamento. Podemos escrever a Lei de Ohm como uma função:
Escalonamento de resistores
Se dobrarmos a tensão em um resistor, a corrente dobra.
Se colocarmos vezes mais corrente pelo resistor, a tensão sobe vezes.
Se colocarmos
Aditividade de Resistores
Se aplicarmos no resistor, a corrente resultante é, de modo semelhante,
ou
Um resistor possui escalonamento (e, portanto, automaticamente possui aditividade).
Um resistor é um elemento linear.
Um resistor é um elemento linear.
Para um resistor real é claro que há um limite para a tensão e corrente. Se a potência for maior do que o resistor podem aguentar, ele pode mudar o valor de resistência uma vez que ele superaquece, ou até mesmo queimar. Então um resistor real é linear apenas em algumas faixa de tensão e corrente. Mas um resistor ideal funciona para qualquer ou , ou seja, um resistor ideal é linear, ponto final.
Capacitores e indutores são lineares?
As leis dos elementos capacitor e indutor são
e
À primeira vista, pode parecer que essas equações não são equações de retas. Mas elas são. Elas são retas se pensarmos na variável independente como sendo , ao invés de apenas ou .
e
A lei do capacitor pode ser representada graficamente como uma linha reta com como o eixo horizontal e como o eixo vertical. A inclinação da curva do capacitor é .
Da mesma forma, a lei do indutor pode ser representada graficamente como uma linha reta com como o eixo horizontal e como o eixo vertical. A inclinação da curva do indutor é .
Indutores e capacitores ideais são elementos lineares.
Agora temos três: .
Com apenas estes componentes lineares podemos criar muitas funções eletrônicas interessantes.
Um diodo é um dispositivo não-linear
Pode ajudar tirar um segundo para falar sobre algo que não é um dispositivo linear, só para comparar. Um díodo é um dispositivo semicondutor não-linear.
Vamos aprender muito mais sobre díodos mais tarde. Por enquanto, só vamos dar uma olhada na sua curva - , como um exemplo de como um dispositivo não-linear se parece:
Esta curva - é a lei elementar para um diodo. Claramente, não se parece com uma linha reta, então isso não é um dispositivo linear. O comportamento não-linear de um diodo é típico de outros dispositivos semicondutores, como transistores.
Por que fizemos tanto alarde sobre a linearidade?
Resposta: A matemática funciona muito bem!
O circuito feito de elementos lineares pode ser resolvido precisamente. Na verdade, há um ramo inteiro da matemática dedicado a resolver funções lineares, chamado Álgebra Linear.
Alguns exemplos de grandezas: As Leis de Kirchhoff funcionam devido à linearidade, assim como o Método das Tensões de Nó e o Método das Correntes de Malha.
Elementos e funções não-lineares
Em geral, funções com comportamento não-linear não têm essas propriedades. Nós humanos não temos um método genérico para encontrar o resultado exato de equações/circuitos não lineares.
Cada novo tipo de circuito requer técnicas matemáticas específicas para ele. A abordagem habitual para circuitos não-lineares é feita de modo que ele se pareça com um sistema linear pelo menos num intervalo pequeno de operação. É o que foi feito quando você vir os termos "aproximação linear por partes" ou "modelo de pequeno sinal".
Resumo
Uma função é linear se tem estas propriedades:
Homogeneidade (também chamada de escalonamento ou proporcionalidade):
Aditividade:
Se e são números reais (ao contrário de vetores ou matrizes), estas propriedades significam a mesma coisa e você pode testar apenas para um deles.
Resistores, capacitores e indutores são elementos lineares porque eles têm a propriedade de escalonamento.
Linearidade em palavras
- Escalonar a entrada por
escalona a saída por . - Adicionar duas entradas produz a mesma saída que aplicar cada entrada individualmente e adicionar as duas saídas separadas.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.