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Linearidade

Quando dobramos a tensão em um resistor, a corrente dobra. Dizemos que um resistor é um dispositivo linear. Capacitores e indutores também são lineares. Escrito por Willy McAllister.

Introdução

Linearidade é um conceito matemático que tem um profundo impacto em projetos eletrônicos. A ideia em si é bastante simples, mas as implicações têm grande significado para nosso campo. Primeiro vamos falar sobre o significado matemático de linear. Em seguida vamos aplicar a ideia em circuitos eletrônicos.

O que estamos construindo

Uma função é linear, no sentido matemático, se tem as seguintes propriedades:
Homogeneidade (também chamada de escalonamento ou proporcionalidade): f(ax)=af(x)
Aditividade: f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
Quando as entradas e saídas são unicamente números, uma função que tem a propriedade de escalonamento terá automaticamente a propriedade de aditividade também. Resistores, capacitores e indutores são lineares porque eles apresentam a propriedade de escalonamento.

Linear

O termo linearidade se refere à propriedade de escalonamento. Suponha que você tenha duas propriedades físicas relacionadas, por exemplo, a velocidade que você corre e a distância que percorre. Se você dobrar sua velocidade, dobrará a distância. Se você triplicar sua velocidade, triplicará sua distância. Isto é chamado de uma relação linear. Geralmente, o custo de algo é linear. Se um caderno custa $1, então dez cadernos custarão $10.
Em eletrônica, um resistor ideal cria uma relação linear entre tensão e corrente. Se você dobrar a tensão, a corrente dobra, e vice versa. Então, dizemos que um resistor ideal é um elemento linear.

Escalonamento (homogeneidade)

Queremos escrever esta propriedade de escalonamento em termos matemáticos. Esta propriedade duplicar-leva-a-duplicar pode ser escrita como f(2x)=2f(x). Da mesma forma, triplicar-leva-a-triplicar pode ser escrita como f(3x)=3f(x). E em geral, essa propriedade de escalonamento é dada por
f(ax)=af(x)
A termo matemático para esta propriedade é homogeneidade.
Uma função como uma linha passando através da origem possui a propriedade de proporcionalidade. Por exemplo, y=f(x)=2x.
Se x=2, então y=22=4.
Se dobrarmos x de 2 para 4, então y=24=8.
Logo, duplicar x exatamente duplica y.
É importante, visto que f(x) é uma linha reta, o fator de escala a não depende do valor de x.
Se a função tiver qualquer outra forma, como y=x2 ou y=1/x ou y=ex, o fator de escala não é o mesmo para todos os x, pois depende do valor de x.
Por exemplo, se y=x2/16, então:
Em x=4, y=42/16=1, então o fator de escala indo de x a y é 1/4.
Em x=8, y=82/16=4, então o fator de escala é 1/2.
Para qualquer função que não seja uma linha reta, escalonar (amplificação) não é constante, mas depende do valor de entrada, x.
Eis as principais razões porque gostamos de construir e usar amplificadores lineares para converter pequenos sinais em maiores. Cada sinal é uniformemente escalonado pela mesma quantidade, portanto, a saída parece uma réplica amplificada da entrada.

Adição (aditividade)

Quando uma relação é linear (tem a propriedade de escalonamento), podemos derivar uma propriedade de adição. Todas as funções lineares têm a forma de uma linha com fator de escala a (inclinação):
f(x)=ax
Se fizermos da entrada a soma de duas entradas distintas (x1+x2), ou seja:
f(x1+x2)=a(x1+x2),
e usando a propriedade distributiva,
f(x1+x2)=ax1+ax2.
Os termos no lado direito são equivalentes a:
ax1=f(x1)ax2=f(x2)
E agora temos uma propriedade de adição (chamada aditividade, em linguagem matemática):
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
Podemos usar esta propriedade de aditividade de forma inteligente.
Suponha que tenhamos duas entradas, x1 e x2, e colocamos cada uma como uma entrada em uma função linear, f(x). As saídas serão, naturalmente, f(x1) e f(x2).
Se somarmos as entradas, x1+x2, e colocarmos a soma dentro de f(x), por definição, a saída será f(x1+x2).
Aqui vêm a parte inteligente: se f(x) for uma função linear, há outra maneira de derivar a saída quando a entrada for x1+x2. A saída também pode ser calculada a partir da soma das duas saídas individuais, f(x1)+f(x2).
A propriedade de aditividade de funções lineares é chamada superposição. É a base da técnica de análise de circuito que leva o mesmo nome. A superposição é usada brilhantemente no método das correntes de malhas e em muitos outros casos de engenharia (especialmente em processamento de sinal).

Linearidade de componentes eletrônicos

Vamos começar por analisar um resistor. Matematicamente, você pode considerar que um resistor é uma função que usa a tensão como uma entrada e gera uma corrente como uma saída.
Podemos dizer se um resistor ideal é linear testando para ver se ele atende a regra do escalonamento. Podemos escrever a Lei de Ohm como uma função:
i=f(v)=1Rv

Escalonamento de resistores

Se dobrarmos a tensão em um resistor, a corrente dobra.
Se colocarmos 4 vezes mais corrente pelo resistor, a tensão sobe 4 vezes.

Aditividade de Resistores

Se aplicarmos 1V+3V no resistor, a corrente resultante é, de modo semelhante,
1V+3VR=4VR
ou
1VR+3VR=4VR
Um resistor possui escalonamento (e, portanto, automaticamente possui aditividade).
Um resistor é um elemento linear.
Para um resistor real é claro que há um limite para a tensão e corrente. Se a potência (iv) for maior do que o resistor podem aguentar, ele pode mudar o valor de resistência uma vez que ele superaquece, ou até mesmo queimar. Então um resistor real é linear apenas em algumas faixa de tensão e corrente. Mas um resistor ideal funciona para qualquer i ou v, ou seja, um resistor ideal é linear, ponto final.

Capacitores e indutores são lineares?

As leis dos elementos capacitor e indutor são
i=Cdvdt
e
v=Ldidt
À primeira vista, pode parecer que essas equações não são equações de retas. Mas elas são. Elas são retas se pensarmos na variável independente como sendo dv/dt, ao invés de apenas v ou i.
i=f(dvdt)=Cdvdt
e
v=f(didt)=Ldidt
A lei do capacitor pode ser representada graficamente como uma linha reta com dv/dt como o eixo horizontal e i como o eixo vertical. A inclinação da curva do capacitor é C.
Da mesma forma, a lei do indutor pode ser representada graficamente como uma linha reta com di/dt como o eixo horizontal e v como o eixo vertical. A inclinação da curva do indutor é L.
Indutores e capacitores ideais são elementos lineares.
Agora temos três: R L C.
Com apenas estes componentes lineares podemos criar muitas funções eletrônicas interessantes.

Um diodo é um dispositivo não-linear

Pode ajudar tirar um segundo para falar sobre algo que não é um dispositivo linear, só para comparar. Um díodo é um dispositivo semicondutor não-linear.
Vamos aprender muito mais sobre díodos mais tarde. Por enquanto, só vamos dar uma olhada na sua curva i-v, como um exemplo de como um dispositivo não-linear se parece:
Curva i-v de um díodo de silício.
Esta curva i-v é a lei elementar para um diodo. Claramente, não se parece com uma linha reta, então isso não é um dispositivo linear. O comportamento não-linear de um diodo é típico de outros dispositivos semicondutores, como transistores.

Por que fizemos tanto alarde sobre a linearidade?

Resposta: A matemática funciona muito bem!
O circuito feito de elementos lineares pode ser resolvido precisamente. Na verdade, há um ramo inteiro da matemática dedicado a resolver funções lineares, chamado Álgebra Linear.
Alguns exemplos de grandezas: As Leis de Kirchhoff funcionam devido à linearidade, assim como o Método das Tensões de Nó e o Método das Correntes de Malha.

Elementos e funções não-lineares

Em geral, funções com comportamento não-linear não têm essas propriedades. Nós humanos não temos um método genérico para encontrar o resultado exato de equações/circuitos não lineares.
Cada novo tipo de circuito requer técnicas matemáticas específicas para ele. A abordagem habitual para circuitos não-lineares é feita de modo que ele se pareça com um sistema linear pelo menos num intervalo pequeno de operação. É o que foi feito quando você vir os termos "aproximação linear por partes" ou "modelo de pequeno sinal".

Resumo

Uma função é linear se tem estas propriedades:
Homogeneidade (também chamada de escalonamento ou proporcionalidade): f(ax)=af(x)
Aditividade: f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
Se x e a são números reais (ao contrário de vetores ou matrizes), estas propriedades significam a mesma coisa e você pode testar apenas para um deles.
Resistores, capacitores e indutores são elementos lineares porque eles têm a propriedade de escalonamento.

Linearidade em palavras

  1. Escalonar a entrada por a escalona a saída por a.
  2. Adicionar duas entradas produz a mesma saída que aplicar cada entrada individualmente e adicionar as duas saídas separadas.

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