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Linearidade

Quando dobramos a tensão em um resistor, a corrente dobra. Dizemos que um resistor é um dispositivo linear. Capacitores e indutores também são lineares. Escrito por Willy McAllister.

Introdução

Linearidade é um conceito matemático que tem um profundo impacto em projetos eletrônicos. A ideia em si é bastante simples, mas as implicações têm grande significado para nosso campo. Primeiro vamos falar sobre o significado matemático de linear. Em seguida vamos aplicar a ideia em circuitos eletrônicos.

O que estamos construindo

Uma função é linear, no sentido matemático, se tem as seguintes propriedades:

Homogeneidade (também chamada de escalonamento ou proporcionalidade):

f (a x) = a f (x)

Aditividade:

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

Quando as entradas e saídas são unicamente números, uma função que tem a propriedade de escalonamento terá automaticamente a propriedade de aditividade também. Resistores, capacitores e indutores são lineares porque eles apresentam a propriedade de escalonamento.

Linear

O termo linearidade se refere à propriedade de escalonamento. Suponha que você tenha duas propriedades físicas relacionadas, por exemplo, a velocidade que você corre e a distância que percorre. Se você dobrar sua velocidade, dobrará a distância. Se você triplicar sua velocidade, triplicará sua distância. Isto é chamado de uma relação linear. Geralmente, o custo de algo é linear. Se um caderno custa $1, então dez cadernos custarão $10.

Em eletrônica, um resistor ideal cria uma relação linear entre tensão e corrente. Se você dobrar a tensão, a corrente dobra, e vice versa. Então, dizemos que um resistor ideal é um elemento linear.

[Outros significados de linear]

[Coisas que não são lineares.]

Escalonamento (homogeneidade)

Queremos escrever esta propriedade de escalonamento em termos matemáticos. Esta propriedade duplicar-leva-a-duplicar pode ser escrita como

f (2 x) = 2 f (x)

. Da mesma forma, triplicar-leva-a-triplicar pode ser escrita como

f (3 x) = 3 f (x)

. E em geral, essa propriedade de escalonamento é dada por

f (a x) = a f (x)

A termo matemático para esta propriedade é homogeneidade.

Uma função como uma linha passando através da origem possui a propriedade de proporcionalidade. Por exemplo,

y = f (x) = 2 x

x = 2

, então

y = 2 \cdot 2 = 4

Se dobrarmos

x

2

para

4

, então

y = 2 \cdot 4 = 8

Logo, duplicar

x

exatamente duplica

y

É importante, visto que

f (x)

é uma linha reta, o fator de escala

a

não depende do valor de

x

Se a função tiver qualquer outra forma, como

y = x^{2}

y = 1 / x

y = e^{x}

, o fator de escala não é o mesmo para todos os

x

, pois depende do valor de

x

Por exemplo, se

y = x^{2} / 16

, então:

x = 4

y = 4^{2} / 16 = 1

, então o fator de escala indo de

x

y

1 / 4

x = 8

y = 8^{2} / 16 = 4

, então o fator de escala é

1 / 2

Para qualquer função que não seja uma linha reta, escalonar (amplificação) não é constante, mas depende do valor de entrada,

x

Eis as principais razões porque gostamos de construir e usar amplificadores lineares para converter pequenos sinais em maiores. Cada sinal é uniformemente escalonado pela mesma quantidade, portanto, a saída parece uma réplica amplificada da entrada.

Adição (aditividade)

Quando uma relação é linear (tem a propriedade de escalonamento), podemos derivar uma propriedade de adição. Todas as funções lineares têm a forma de uma linha com fator de escala

a

(inclinação):

f (x) = a x

Se fizermos da entrada a soma de duas entradas distintas

(x_{1} + x_{2})

, ou seja:

f (x_{1} + x_{2}) = a (x_{1} + x_{2}),

e usando a propriedade distributiva,

f (x_{1} + x_{2}) = a x_{1} + a x_{2} .

Os termos no lado direito são equivalentes a:

a x_{1} = f (x_{1}) a x_{2} = f (x_{2})

E agora temos uma propriedade de adição (chamada aditividade, em linguagem matemática):

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

Podemos usar esta propriedade de aditividade de forma inteligente.

Suponha que tenhamos duas entradas,

x_{1}

x_{2}

, e colocamos cada uma como uma entrada em uma função linear,

f (x)

. As saídas serão, naturalmente,

f (x_{1})

f (x_{2})

Se somarmos as entradas,

x_{1} + x_{2}

, e colocarmos a soma dentro de

f (x)

, por definição, a saída será

f (x_{1} + x_{2})

Aqui vêm a parte inteligente: se

f (x)

for uma função linear, há outra maneira de derivar a saída quando a entrada for

x_{1} + x_{2}

. A saída também pode ser calculada a partir da soma das duas saídas individuais,

f (x_{1}) + f (x_{2})

A propriedade de aditividade de funções lineares é chamada superposição. É a base da técnica de análise de circuito que leva o mesmo nome. A superposição é usada brilhantemente no método das correntes de malhas e em muitos outros casos de engenharia (especialmente em processamento de sinal).

[Funções não-lineares podem apresentar a propriedade de aditividade?]

Linearidade de componentes eletrônicos

Vamos começar por analisar um resistor. Matematicamente, você pode considerar que um resistor é uma função que usa a tensão como uma entrada e gera uma corrente como uma saída.

Podemos dizer se um resistor ideal é linear testando para ver se ele atende a regra do escalonamento. Podemos escrever a Lei de Ohm como uma função:

i = f (v) = \frac{1}{R} v

Escalonamento de resistores

Se dobrarmos a tensão em um resistor, a corrente dobra.
Se colocarmos

4

vezes mais corrente pelo resistor, a tensão sobe

4

vezes.

Aditividade de Resistores

Se aplicarmos

1 V + 3 V

no resistor, a corrente resultante é, de modo semelhante,

\frac{1 V + 3 V}{R} = \frac{4 V}{R}

\frac{1 V}{R} + \frac{3 V}{R} = \frac{4 V}{R}

Um resistor possui escalonamento (e, portanto, automaticamente possui aditividade).
Um resistor é um elemento linear.

Para um resistor real é claro que há um limite para a tensão e corrente. Se a potência

(i \cdot v)

for maior do que o resistor podem aguentar, ele pode mudar o valor de resistência uma vez que ele superaquece, ou até mesmo queimar. Então um resistor real é linear apenas em algumas faixa de tensão e corrente. Mas um resistor ideal funciona para qualquer

i

v

, ou seja, um resistor ideal é linear, ponto final.

Capacitores e indutores são lineares?

As leis dos elementos capacitor e indutor são

i = C \frac{d v}{d t}

v = L \frac{d i}{d t}

À primeira vista, pode parecer que essas equações não são equações de retas. Mas elas são. Elas são retas se pensarmos na variável independente como sendo

d v / d t

, ao invés de apenas

v

i

i = f (\frac{d v}{d t}) = C \frac{d v}{d t}

v = f (\frac{d i}{d t}) = L \frac{d i}{d t}

A lei do capacitor pode ser representada graficamente como uma linha reta com

d v / d t

como o eixo horizontal e

i

como o eixo vertical. A inclinação da curva do capacitor é

C

Da mesma forma, a lei do indutor pode ser representada graficamente como uma linha reta com

d i / d t

como o eixo horizontal e

v

como o eixo vertical. A inclinação da curva do indutor é

L

Indutores e capacitores ideais são elementos lineares.

Agora temos três:

R L C

Com apenas estes componentes lineares podemos criar muitas funções eletrônicas interessantes.

Um diodo é um dispositivo não-linear

Pode ajudar tirar um segundo para falar sobre algo que não é um dispositivo linear, só para comparar. Um díodo é um dispositivo semicondutor não-linear.

Vamos aprender muito mais sobre díodos mais tarde. Por enquanto, só vamos dar uma olhada na sua curva

i

v

, como um exemplo de como um dispositivo não-linear se parece:

Esta curva

i

v

é a lei elementar para um diodo. Claramente, não se parece com uma linha reta, então isso não é um dispositivo linear. O comportamento não-linear de um diodo é típico de outros dispositivos semicondutores, como transistores.

[opcional: Alguns detalhes sobre a curva i-v de um díodo.]

Por que fizemos tanto alarde sobre a linearidade?

Resposta: A matemática funciona muito bem!

O circuito feito de elementos lineares pode ser resolvido precisamente. Na verdade, há um ramo inteiro da matemática dedicado a resolver funções lineares, chamado Álgebra Linear.

Alguns exemplos de grandezas: As Leis de Kirchhoff funcionam devido à linearidade, assim como o Método das Tensões de Nó e o Método das Correntes de Malha.

Elementos e funções não-lineares

Em geral, funções com comportamento não-linear não têm essas propriedades. Nós humanos não temos um método genérico para encontrar o resultado exato de equações/circuitos não lineares.

Cada novo tipo de circuito requer técnicas matemáticas específicas para ele. A abordagem habitual para circuitos não-lineares é feita de modo que ele se pareça com um sistema linear pelo menos num intervalo pequeno de operação. É o que foi feito quando você vir os termos "aproximação linear por partes" ou "modelo de pequeno sinal".

[Devo evitar circuitos não-lineares?]

Resumo

Uma função é linear se tem estas propriedades:

Homogeneidade (também chamada de escalonamento ou proporcionalidade):

f (a x) = a f (x)

Aditividade:

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

x

a

são números reais (ao contrário de vetores ou matrizes), estas propriedades significam a mesma coisa e você pode testar apenas para um deles.

Resistores, capacitores e indutores são elementos lineares porque eles têm a propriedade de escalonamento.

Linearidade em palavras

Escalonar a entrada por $a$ ‍ escalona a saída por $a$ ‍.
Adicionar duas entradas produz a mesma saída que aplicar cada entrada individualmente e adicionar as duas saídas separadas.

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