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Engenharia elétrica
Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2
Lição 3: Análise de circuito DC- Visão geral de análise de circuitos
- Lei das correntes de Kirchhoff
- Lei de Kirchhoff da tensão
- Leis de Kirchhoff
- Rotulação de tensões
- Aplicação das leis fundamentais (análise)
- Aplicação das leis fundamentais (solução)
- Aplicação das leis fundamentais
- Método das Tensões de Nó (passos 1-4)
- Método das Tensões de Nó (passo 5)
- Método das Tensões de Nó
- Método das Correntes de Malha (passos de 1 a 3)
- Método das Correntes de Malha (passo 4)
- Método das Correntes de Malha
- Método das Correntes de Malha
- Número de equações necessárias
- Linearidade
- Superposição
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Método das Tensões de Nó
O método das tensões de nó resolve circuitos com o mínimo número de equações de LKC. Escrito por Willy McAllister.
O Método da Tensão de Nó é um método organizado de análise de um circuito. O Método da Tensão de Nó se baseia na Lei de Kirchhoff das Correntes. Essa técnica está incorporada no simulador de circuitos, start text, S, P, I, C, E, end text.
Qual é o desafio da análise de circuito? Resolver qualquer circuito significa criar e resolver 2, E equações independentes, onde E é o número de elementos (componentes e fontes). Metade das equações vem das leis dos elementos individuais (como a Lei de Ohm), e a outra metade vem das conexões entre os elementos.
Não importando que procedimento usamos para resolver um circuito, não é possível contornar a necessidade de se resolver 2, E equações. Mesmo para circuitos simples, gerenciar 2, E equações pode dar trabalho. Mas existem formas de organizar a tarefa para torná-la muito eficiente. O Método da Tensão no Nó é um dos dois procedimentos muito eficientes que temos para resolver circuitos (o outro é o Método da Corrente na Malha).
O Método da Tensão no Nó não é uma ciência nova. Ele processa o mesmo volume de informação contida nas 2, E equações, mas é bem inteligente e eficiente em como organizar essa informação.
Vamos demonstrar o Método das Tensões de Nó com o mesmo circuito que resolvemos usando as leis fundamentais:
Definição: tensão no nó
Precisamos definir um novo termo: tensão no nó. Até agora falamos da tensão no elemento, que aparece através dos terminais de um elemento simples (também chamada de tensão no ramo). Quando usamos o termo tensão no nó, estamos nos referindo à diferença de potencial entre dois nós de um circuito.
Nós selecionamos um dos nós em nosso circuito para ser o nó de referência. Todas as outras tensões em um nó são medidas com relação a esse único nó de referência. Se o nó start color #1fab54, c, end color #1fab54 é atribuído como o nó de referência, nós estabelecemos duas tensões nos nós start color #1fab54, a, end color #1fab54 e start color #1fab54, b, end color #1fab54.
O nó de referência é quase sempre chamado de nó terra, e ele recebe um símbolo de terra no esquema, como mostrado acima. O potencial do nó terra é definido como 0, start text, V, end text. Os potenciais de todos os outros nós são medidos em relação ao terra.
Método da Tensão no Nó
O Método da Tensão no Nó divide a análise do circuito nesta sequência de passos:
- Defina um nó de referência (terra).
- Defina os nomes das tensões no nó para os nós remanescentes.
- Resolva os nós mais fáceis primeiro, os que tem a fonte de tensão conectada ao nó de referência.
- Escreva a Lei da Corrente de Kirchhoff para cada nó. Faça a Lei de Ohm de cabeça.
- Resolva o sistema de equações resultantes para todas as tensões nos nós.
- Resolva qualquer corrente que você queira usando a Lei de Ohm.
Defina um nó de referência e as tensões nos nós
Nós já fizemos isso acima, mas vamos fazer de novo. Nosso circuito exemplo tem três nós, start color #1fab54, a, end color #1fab54, start color #1fab54, b, end color #1fab54, e start color #1fab54, c, end color #1fab54, então N, equals, 3. O nó start color #1fab54, c, end color #1fab54 tem muitas conexões, 4, e se conecta diretamente a ambas as fontes. Isso o torna um bom candidato a desempenhar o papel de nó de referência. O nó start color #1fab54, c, end color #1fab54 foi marcado com o símbolo terra para todos saberem da nossa escolha para o nó de referência.
Nós também podemos definir N, minus, 1, equals, 2 tensões no nó no esquema, rotuladas em laranja como v, start subscript, a, end subscript e v, start subscript, b, end subscript.
(Há uma oportunidade óbvia aqui para simplificar os dois resistores paralelos, 6, \Omega com 5, \Omega. Mas nós não faremos isso, porque nós queremos estudar o procedimento do método de tensão do nó.)
Tensões no nó controlam a seta da corrente
Observe que algo está faltando no esquema. Não há rotulo laranja na tensão sobre o resistor de 20, \Omega. Quando precisarmos saber qual essa tensão, expressamos isso em termos das tensões nos nós.
v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, v, start subscript, a, end subscript, minus, v, start subscript, b, end subscript ou
v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, v, start subscript, b, end subscript, minus, v, start subscript, a, end subscript
Primeira dica importante da Tensão no Nó - controlar a seta da corrente
As tensões nos nós controlam a direção da seta de corrente!
Podemos expressar a tensão no resistor de 20, \Omega como a diferença entre as duas tensões nos nós. Isso pode ser feito de duas formas, com v, start subscript, a, end subscript ou v, start subscript, b, end subscript na primeira posição na equação da diferença de tensão. O primeiro termo na equação é aquele que consideramos o mais positivo dos dois. Como usamos a convenção de sinais para componentes passivos, a escolha que fazemos para a polaridade da tensão determina a direção da seta da corrente. A seta da corrente aponta em direção ao sinal positivo na tensão do resistor.
Acima, à esquerda, v, start subscript, a, end subscript é a tensão mais positiva se comparada a v, start subscript, b, end subscript. A seta laranja representando v, start subscript, start text, R, end text, end subscript aponta na direção do nó start color #1fab54, a, end color #1fab54, e a seta de corrente aponta para o resistor da esquerda para a direita.
À direita, v, start subscript, b, end subscript é agora definida como a tensão mais positiva se comparada a v, start subscript, a, end subscript. A seta laranja representando v, start subscript, start text, R, end text, end subscript aponta em direção ao nó start color #1fab54, b, end color #1fab54, e a seta de corrente aponta para a extremidade positiva do resistor.
Vamos usar nossa nova habilidade imediatamente para controlar a direção da seta da corrente no primeiro termo da equação da LKC em seguida.
Resolva os nós fáceis
A tensão v, start subscript, a, end subscript é fácil de calcular. O nó start color #1fab54, a, end color #1fab54 se conecta a uma fonte de tensão, a qual se conecta ao nó de referência start color #1fab54, c, end color #1fab54. Isso o torna um nó fácil. A tensão no nó start color #1fab54, a, end color #1fab54 é v, start subscript, a, end subscript, equals, 140, start text, V, end text.
Lei de Kirchhoff das Correntes no nó restante
Segunda habilidade importante da Tensão no Nó - rabisque no esquemático
A parte desafiadora da análise de circuito é obter os sinais corretos. Rascunhe no esquemático tudo o que quiser. Desenhar sinais de tensão e setas de corrente ajuda você a obter os sinais corretos na equação da LKC.
Terceira habilidade importante da Tensão no Nó - pense na Lei de Ohm ao escrever a LKC
Enquanto você escreve cada termo da equação da LKC, pense na Lei de Ohm e imediatamente escreva a corrente em função da tensão nos nós dividida pela resistência.
Agora escrevemos a LKC para o nó restante que não foi resolvido, start color #0d923f, b, end color #0d923f. A tensão no nó v, start subscript, b, end subscript é a variável independente.
A corrente (seta azul) fluindo em direçãoao nó start color #0d923f, b, end color #0d923f do resistor de 20, \Omega pode ser escrita como plus, start fraction, left parenthesis, 140, minus, v, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, divided by, 20, end fraction.
A corrente nos resistores de 6, \Omega e 5, \Omega imediatamente vão para a equação como minus, start fraction, v, start subscript, b, end subscript, divided by, 6, end fraction e minus, start fraction, v, start subscript, b, end subscript, divided by, 5, end fraction.
Temos apenas um nó para considerar, o nó start color #0d923f, b, end color #0d923f.
A LKC diz que a soma das correntes fluindo em direçãoao nó start color #0d923f, b, end color #0d923f, equals, 0.
Isso é muito legal. Sem muito esforço, temos uma equação com uma incógnita. Quando fizemos isso em um artigo anterior usando somente as leis fundamentais, tínhamos que gerenciar 10 equações com 10 incógnitas.
Ache as tensões nos nós
Nosso sistema de equações possui apenas uma equação. Vamos resolvê-la para encontrar a tensão no nó.
Resolva para as correntes desconhecidas usando a Lei de Ohm
Agora temos ambas as tensões nos nós, e podemos resolver todas as correntes desconhecidas usando a Lei de Ohm.
Feito! O circuito está analisado.
As etapas do Método da Tensão no Nó
- Defina um nó de referência (terra).
- Defina os nomes das tensões no nó para os nós remanescentes.
- Resolva os nós mais fáceis primeiro, os que tem a fonte de tensão conectada ao nó de referência.
- Escreva a Lei da Corrente de Kirchhoff para cada nó. Faça a Lei de Ohm de cabeça.
- Resolva o sistema de equações resultantes para todas as tensões nos nós.
- Resolva qualquer corrente que você queira usando a Lei de Ohm.
Reflexão: O Método da Tensão no Nó é mágico?
O Método da Tensão no Nó parece dar muito menos trabalho do que criar, gerenciar e resolver um sistema de 2, E equações independentes com 2, E tensões e correntes desconhecidas. Seria o Método da Tensão do Nó mágico?
Não, não há mágica. O Método da Tensão no Nó é simplesmente uma maneira inteligente de se organizar para operar as mesmas 2, E equações. As inovações principais são:
- Nos convencemos que podemos fazer a Lei de Ohm de cabeça. Fizemos isso ao escrever as equações da LKC. E ao encerrarmos, usamos a Lei de Ohm novamente para encontrar as correntes nos elementos, o que não pareceu ser uma tarefa difícil. Nos conscientizarmos de que a Lei de Ohm é simples faz metade das equações independentes parecer não ser um problema.
- Usar o conceito de tensão no nó em vez de tensão no elemento é uma jogada brilhante que basicamente define as equações da LKT no esquema, então não precisamos escrever equações da LKT.
- Reconhecemos que algumas tensões no nó têm soluções triviais, as que os conectam a uma fonte de tensão cujo outro terminal é a terra. Isso elimina uma ou duas equações.
- O que resta são algumas equações da LKC em nós não-triviais.
Como o Método da Tensão no Nó faz "sumirem" as equações da LKT?
Com o Método das Tensões de Nó, não nos preocupamos em escrever as equações da LKT. Mesmo assim vamos escrevê-las e ver por quê.
Nosso circuito possui três malhas, na esquerda, no meio, e na direita da 'janela' do esquema.
LKT para a malha esquerda:
Essa equação da malha esquerda realmente ilustra a questão das tensões no nó. Expressamos a tensão no resistor de 20, \Omega em função de tensões no nó em vez da tensão em seu próprio elemento. Com essa notação, a equação acaba em 0, equals, 0.
LKT para a malha do meio:
LKT para a malha direita:
Todas as três equações das malhas se reduzem a 0, equals, 0 e basicamente derrubam o procedimento. Isso é o que o seu livro texto quer dizer se você ler algo como "com o Método da Tensão no Nó, as equações da LKT são escritas implicitamente no esquema."
Exemplo guiado
Resolva este circuito usando o método das tensões de nó.
Se você quer trabalhar nesse problema sozinho, vá em frente! Copie esse esquema e trabalhe através dos passos do Método das Tensões de Nó listados acima. Mesmo que você não pretenda fazer todos os cálculos, sugiro que você faça as etapas que descrevem a LKC. Isso realmente vai ajudar a entender o Método das Tensões de Nó.
Defina um nó de referência.
Defina o nome da tensão no nó dos nós restantes.
Resolva os nós fáceis primeiro.
Escreva a Lei de Kirchhoff das Correntes para cada nó. Faça a Lei de Ohm de cabeça.
Resolva o sistema de equações resultantes para todas as tensões dos nós.
Resolva para qualquer corrente que você queira saber usando a Lei de Ohm.
Uma variante - fonte de tensão flutuante
Às vezes você encontra um circuito onde a fonte de tensão não tem nenhum dos seus terminais conectado ao nó terra. Dizemos que a fonte de tensão é flutuante. Uma fonte flutuante é um problema para o Método da Tensão no Nó, mas não é um desafio muito grande.
Neste circuito, a bateria start text, V, end text, start subscript, 2, end subscript está flutuando. Vamos usar o Método da Tensão no Nó e ver o que acontece.
- O nó de referência foi selecionado e marcado com o símbolo terra.
- Os outros três nós foram nomeados e definidas as tensões nos nós nós, v, start subscript, a, end subscript, v, start subscript, b, end subscript e v, start subscript, c, end subscript.
- O primeiro passo da análise é resolver o nó mais fácil, v, start subscript, a, end subscript. Uma vez que esse nó é conectado à fonte de tensão que vai para a terra, nós imediatamente sabemos que v, start subscript, a, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, 1, end subscript. Um nó a menos, mais dois pra terminar.
Em seguida, vamos escrever a equação da LKC para o nó b,
O que devemos colocar para a corrente na bateria flutuante, i, start subscript, start text, V, end text, 2, end subscript? A equação que define a bateria não fala de correntes. A equação que a define é v, equals, start text, V, end text, start subscript, 2, end subscript, e não há nenhum termo i envolvido. As baterias não nos dizem qual a corrente. Isso depende do resto do circuito. Então o que escrevemos para esse termo na equação LKT se não sabemos o i na bateria?
Neste ponto fugimos do roteiro padrão para o Método da Tensão no Nó, e apelamos a nossa própria astúcia. É bom fazer isso. Lembre-se que o roteiro da Tensão no Nó não é nada mais que um modo eficiente de criar e resolver equações simultâneas. A bateria flutuante está nos dando um pouco de incômodo, mas não esquecemos que o objetivo é criar um conjunto de equações independentes.
Olhando para o circuito, podemos fazer duas observações,
- A tensão no nó c tem uma relação estreita com a tensão no nó b. Ou seja, v, start subscript, c, end subscript, equals, v, start subscript, b, end subscript, plus, start text, V, end text, start subscript, 2, end subscript. Podemos adicionar isso ao nosso sistema equações, e isso compensa não sabermos a corrente na bateria start text, V, end text, start subscript, 2, end subscript.
- Vemos também que a corrente na bateria start text, V, end text, start subscript, 2, end subscript é a mesma corrente no resistor start text, R, end text, 1.
Podemos expressar a corrente na bateria no roteiro da Tensão no Nó como start fraction, start text, V, end text, start subscript, 1, end subscript, minus, v, start subscript, c, end subscript, divided by, start text, R, end text, 1, end fraction.
Melhor ainda, podemos escrever a corrente na bateria em função de v, start subscript, b, end subscript como start fraction, start text, V, end text, start subscript, 1, end subscript, minus, left parenthesis, v, start subscript, b, end subscript, plus, start text, V, end text, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, divided by, start text, R, end text, 1, end fraction.
Agora podemos completar a equação da LKC no nó b.
Essa equação é um pouco mais complicada, mas ainda é uma equação que dá pra resolver e que tem uma incógnita, v, start subscript, b, end subscript.
Uma vez que resolvemos para v, start subscript, b, end subscript, usamos uma equação extra para imediatamente obter v, start subscript, c, end subscript.
Feito! Temos as três tensões no nó. Se você quiser encontrar as correntes, prossiga com a Lei de Ohm como fizemos mais cedo.
A fonte de tensão flutuante é uma favorita dos professores nas provas, para ver como você responde a uma configuração de circuito inesperada. Passamos pela dificuldade observando e lembrando que é possível adicionar uma equação extra ao sistema se for preciso.
Super Nó
Usamos a relação estreita entre os dois nós na bateria flutuante para gerar um termo para colocar na equação da LKT, mais uma equação extra. Alguns textos chamam isso um super nó. Na discussão anterior, podemos ter usado essa palavra, mas só recorremos à nossa criatividade para trabalhar ao longo do quebra - cabeça.
Resumo do Método da Tensão no Nó
O Método da Tensão no Nó é um dos dois métodos bem organizados para resolver um circuito. Essa técnica é incorporada dentro do simulador de circuitos público start text, S, P, I, C, E, end text. A sequência de passos pode ser resumida como:
- Defina um nó de referência (terra).
- Defina os nomes das tensões no nó para os nós remanescentes.
- Resolva os nós mais fáceis primeiro, os que tem a fonte de tensão conectada ao nó de referência.
- Escreva a Lei da Corrente de Kirchhoff para cada nó. Faça a Lei de Ohm de cabeça.
- Resolva o sistema de equações resultantes para todas as tensões nos nós.
- Resolva qualquer corrente que você queira usando a Lei de Ohm.
Se o circuito inclui uma fonte flutuante, adicione equações extras para compensar variáveis de corrente ou tensão ausentes.
Quer participar da conversa?
Boa tarde, até agora tenho percebido muito bem as matérias apesar de não ter qualquer conhecimento anterior mas confesso que estou com muita dificuldade em perceber a aplicação das LKT e LKC. Nesta parte alguém me consegue explicar o porque de se multiplicar a primeira equação por 15/10 ?(1 voto)