If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Número de equações necessárias

Nós respondemos às perguntas,"Quantas equações são necessárias para resolver um circuito e de onde elas vêm?" Escrito por Willy McAllister.

Introdução

"Resolver um circuito" significa resolver um sistema de equações simultâneas.
  • Como sabemos o número de equações necessárias para resolver um circuito?
  • Como nós sabemos que podemos criá-las?
Quando você estuda análise de circuitos, pode parecer sorte ou coincidência que você obtenha o número correto de equações para resolvê-lo. Esse artigo mostrará que não é uma questão de sorte, que os métodos de análise obtêm de forma confiável todas as restrições necessárias para resolver o circuito.

O que estamos construindo

Para resolver um circuito nós queremos saber a tensão e corrente para cada elemento. Isso significa que precisamos do dobro de equações independentes em relação ao número de elementos do circuito
Estas equações vêm de três lugares:
  • Você pega metade das equações das leis do elemento para cada componente.
  • A Lei de Kirchhoff das Correntes contribui com N1 equações independentes, onde N é o número de nós.
  • A Lei de Kirchhoff das Tensões contribui com E(N1) equações independentes, onde E é o número de elementos.
Se você colocá-las juntas, terá o número correto de equações.
Os resultados que nós desenvolvemos aqui são obtidos de diferentes métodos de análises de circuitos:
Não há problema em pular direto para os métodos e voltar aqui mais tarde.

Quantas equações independentes são necessárias para resolver um circuito?

Essa é a questão chave que determina a quantidade de esforço necessária para completar a análise do circuito. Eu vou lhe mostrar como as equações surgem de dois lugares: os elementos do circuito e como os elementos são conectados uns aos outros.
As três restrições colocadas em correntes e tensões em um circuito são:
  • i-v leis de elementos
  • Lei de Kirchhof das Correntes
  • Lei de Kirchhoff das Tensões
O sistema de equações descrito considera essas restrições.
Ao discutirmos isso em termos abstratos iremos também usar um exemplo concreto de circuito.
Como aprendemos em álgebra quando resolvemos equações simultâneas, o número de equações independentes que você precisa para resolver um sistema é igual ao número de variáveis desconhecidas. Então, se você tem um sistema com 10 incógnitas, você precisa de 10 equações para resolver para as 10 incógnitas. Quantas incógnitas um circuito possui? Cada elemento de dois terminais contribui para uma tensão e corrente desconhecidas. Então, E elementos contribuem para 2E incógnitas. Portanto:
Resolvendo um circuito com E elementos requer um sistema de 2E equações independentes.

Verificação do conceito

Você consegue responder estas questões sobre o circuito deste exemplo?
Quantos elementos há no circuito?
E=
elementos.

Quantos nós o circuito possui?
N=
nós.

Quantos laços possui o circuito?
laços

Quantos desses laços são malhas?
malhas.

Quantas equações temos de sugerir para resolver esse circuito?
equações.

De onde vêm 2E equações?

Resposta: Metade das equações vêm de elementos individuais. A outra metade vem da LKC e LKT.

Metade das equações vêm das leis de elementos

Imagine componentes do circuito desconectados e espalhados sobre uma mesa.
Cada elemento possui corrente e tensão desconhecidas:
Cada elemento traz uma equação i-v. Eu gosto de pensar em elementos de circuito como pequenos pedaços de matemática.
Essas relações de i-v representam E equações independentes, metade do total necessário.

De onde vem as E equações faltantes?

As equações E faltantes vêm das restrições contidas no circuito. Conexões do circuito vinculam e restringem as tensões e correntes de elementos individuais. Nós podemos desenvolver equações de conectividade E usando a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) e a Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT).
Digamos que um circuito possui E elementos e N nós.
Nosso circuito de exemplo tem E=5 elementos (ramos) e N=3 nós. Nós também sabemos que o circutio tem 6 laços, dos quais 3 são malhas.
Com 3 nós e 6 laços há muitas possibilidades para criar mais equações com E=5, mas precisamos ser cautelosos. Essas equações que criamos têm de ser independentes umas das outras.

O que é uma equação independente?

Uma equação é linearmente independente se ela não pode ser derivada de combinações lineares das outras equações do sistema. Combinações lineares são quaisquer sequências de adição, subtração e multiplicação por uma constante. Você usa essas operações para combinar equações ao tentar derivar a equação restante.

Quantas equações independentes vem da LKC?

Nós podemos escrever equações da LKC em cada nó do circuito, gerando N equações. MAS todas as N equações da LKC não são independentes. Uma equação é redundante. É sempre possível derivar qualquer uma das equações da LKC de todas as outras. Sempre há uma equação dependente que não contribui com nenhuma informação, então ela não é necessária.
Nós só temos de escrever N1 equações independentes usando a LKC. O nó que deixamos de fora é uma escolha que temos de fazer. Usualmente, nós deixamos de fora o nó base porque é o mais complexo (tem o maior número de conexões).
Resumo: LKC contribui com N1 equações independentes.
Isso deixa E(N1) equações faltantes.

Quantas equações independentes vem da LKT?

Depois de escrever N1 equações usando a LKC, nós ainda precisamos de mais E(N1) equações. Em nosso circuito de exemplo, precisamos de mais 5(31)=3 equações. De onde elas viriam? Elas surgem usando a LKT ao redor dos laços do circuito.
A teoria dos gráficos nos diz duas coisas maravilhosas:
  • A LKT produz o número exato de equações independentes, E(N1).
  • E(N1) é o mesmo que o número de malhas.
Então uma maneira fácil de saber o número necessário de equações da LKT é contar as malhas.
Nosso circuito de exemplo possui 3 malhas, então sabemos imediatamente que precisamos escrever 3 equações da LKT; não mais, nem menos. Nosso circuito tem 6 laços (incluindo as 3 malhas), então há muitas possibilidades para criar as equações que precisamos.

Confirmar que as equações da LKT são independentes

Nós queremos que as equações da LKT sejam independentes. Como fazemos isso?
Simples: Se nos limitarmos a escrever equações da LKT só para as malhas:
As malhas irão produzir equações independentes com certeza.
Se nós queremos (ou temos de) incluir equações para laços que não são malhas, isso exige um pouco de cuidado para ter certeza que elas são independentes. Uma maneira de se certificar que um laço é independente é:
Certifique-se que cada laço inclui um elemento que não está presente em qualquer outro laço.
Para nosso exemplo do circuito, nós precisamos chegar a 3 equações independentes da LKT, selecionando dos 6 laços disponíveis. Vamos dar uma olhada no diagrama de laços:
Se escolhermos as três malhas, I, II e III, nós ganhamos! As malhas produzem o número correto de equações e elas sempre são independentes. Isso é realmente útil, porque é mais fácil de identificar as malhas. Essa é a base do Método das Correntes de Malhas.
Outro conjunto de laços válido do nosso circuito de exemplo seriam os laços IV, V, e VI. Por que este seria um bom conjunto?
  • Existem 3 equações, conforme exigido pelo E(N1)=3.
  • Cada elemento é incluído em um laço.
Alguns conjuntos de laço não atendem às diretrizes: Você pode me dizer o por quê?
  • I, V, e VI
  • IV e V
  • I, II, III, e VI
Escrever as equações da LKT para laços que não são de malhas exige um pouco de cuidado extra, mas às vezes você pode querer usar um laço ou é forçado a fazer isso. Não há problemas em usar laços, é só estar alerta e esperto sobre isso.

Resumo

Há três restrições colocadas em correntes e tensões em um circuito:
  • i-v leis de elementos
  • Lei de Kirchhof das Correntes
  • Lei de Kirchhoff das Tensões
O sistema de equações descrito considera essas restrições.
Para um circuito com E elementos e N nós:
  • Você precisa:
    • 2E equações independentes para resolver o circuito.
  • Você obtém:
    • E equações da lei dos elementos para cada componente (Lei de Ohm e afins).
    • N1 equações dos nós independentes usando a LKC.
    • E(N1) equações independentes dos laços usando a LKT.
  • E(N1) é o mesmo que o número de malhas, então uma maneira fácil de descobrir o número correto de equações da LKT é contar as malhas.
  • Escrever as equações da LKT nas malhas garante o número correto de equações independentes da LKT.
  • Ao incluir laços que não são de malhas, se cada laço tem pelo menos um elemento que não esteja em qualquer outro laço há garantia de independência.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.