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Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2

Lição 4: Resposta natural e forçada

Equação i-v do capacitor em ação

Demonstra a equação i-v do capacitor ao derivar a tensão sobre um capacitor alimentado por uma fonte de corrente. escrito por Willy McAllister.

O capacitor é um dos elementos de circuito ideais. Vamos colocar um capacitor para trabalhar para vermos a relação entre corrente e tensão. As duas formas de equação

i

v

para os capacitores são:

i = C \frac{d v}{d t}

v = \frac{1}{C} \int_{0}^{T} i d t + v_{0}

C

é a capacitância, uma propriedade física do capacitor.

C

é o fator coeficiente para a relação entre

i

d v / d t

C

determina quanto

i

é gerado para um valor dado de

d v / d t

v_{0}

é a tensão inicial através do capacitor, em

t = 0

Neste artigo nós trabalharemos com a forma integral da equação do capacitor. Nosso circuito exemplo é uma fonte de corrente conectada a um capacitor de

1 μ F

Tensão antes, durante e depois do pulso de corrente

Suponha que aplicamos um pulso de corrente de

2 mA

no capacitor de

1 μ F

por

3

milisegundos. Vamos assumir que a tensão inicial no capacitor é zero.

i (t) = {\begin{cases} 2 mA & ; 0 < t < 3 ms \\ 0 & ; nos outros instantes \end{cases}

C = 1 μ F

v_{0} = 0

Qual a tensão no capacitor, $v (t)$ ‍?

Usamos a forma integral da equação do capacitor para resolver para

v (t)

em três trechos distintos: antes, durante e depois do pulso de corrente.

Antes do pulso

Antes do pulso de corrente

(t < 0)

, nenhuma corrente está fluindo, então nenhuma carga se acumula em

C

. Portanto,

v_{(t < 0)} = 0

. Nós nem temos que usar a equação.

Durante o pulso

Para qualquer instante

T

durante o pulso de corrente

(0 < t < 3 ms)

, uma carga se acumula em

C

e a tensão sobe. Nós podemos aplicar a equação do capacitor para descobrir como

v

muda,

v (T) = \frac{1}{C} \int_{0}^{T} i d t + v_{0}

Como

i

é constante durante este tempo, nós podemos transportar

i

para fora da integral. Podemos também ignorar

v_{0}

, uma vez que é ela zero.

v (T) = \frac{i}{C} \int_{0}^{T} d t

v (T) = \frac{i}{C} t |_{0}^{T}

v (T) = \frac{i}{C} T volts

Essa é a equação de uma linha com inclinação

i / C

, válida em qualquer momento durante o pulso de corrente. A inclinação é:

\frac{i}{C} = \frac{2 \times 10^{- 3} A}{1 \times 10^{- 6} F} = 2000 volts/segundo

No final do pulso,

T = 3 ms

, a tensão através do capacitor levanta-se a:

v_{(T = 3 ms)} = 2000 volts/s \cdot 0,003 s = 6 volts

Após o pulso

(3 ms < t)

- A corrente cai para

0

, então a carga para de se acumular no capacitor. Como nenhuma carga está se movendo, nós deveríamos esperar que a tensão não mude. Podemos confirmar isso aplicando a equação do capacitor no tempo inicial

t = 3 ms

, e na tensão inicial

v_{3 ms} = 6 V

v = \frac{1}{C} \int_{3 ms}^{T} 0 d t + 6 = 6 volts

A corrente parou, então a carga continua a mesma, e a tensão no capacitor permanece em

6 V

Montando os três trechos juntos temos

v (t)

Tente você mesmo. Ajuste o tamanho e a duração do pulso de corrente (ponto

verde

De quantas maneiras você pode atingir uma tensão final de $4 V$ ‍?
O que acontece com $v (t)$ ‍ se o pulso de corrente for negativo?

Essa configuração de circuito (fonte de corrente carregando um capacitor) tem um apelido, é chamada um integrador.

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