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Engenharia elétrica

Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2

Lição 4: Resposta natural e forçada

Equação i-v do capacitor em ação

Demonstra a equação i-v do capacitor ao derivar a tensão sobre um capacitor alimentado por uma fonte de corrente. escrito por Willy McAllister.

O capacitor é um dos elementos de circuito ideais. Vamos colocar um capacitor para trabalhar para vermos a relação entre corrente e tensão. As duas formas de equação i-v para os capacitores são:

i, equals, start text, C, end text, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction v, equals, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, T, end superscript, i, start text, d, end text, t, plus, v, start subscript, 0, end subscript

start text, C, end text é a capacitância, uma propriedade física do capacitor.
start text, C, end text é o fator coeficiente para a relação entre i e d, v, slash, d, t.
start text, C, end text determina quanto i é gerado para um valor dado de d, v, slash, d, t.

v, start subscript, 0, end subscript é a tensão inicial através do capacitor, em t, equals, 0.

Neste artigo nós trabalharemos com a forma integral da equação do capacitor. Nosso circuito exemplo é uma fonte de corrente conectada a um capacitor de1, mu, start text, F, end text.

Tensão antes, durante e depois do pulso de corrente

Suponha que aplicamos um pulso de corrente de 2, start text, space, m, A, end text no capacitor de 1, mu, start text, F, end text por 3 milisegundos. Vamos assumir que a tensão inicial no capacitor é zero.

i(t)=\begin{cases}2 \text{ mA}&; ~~0 \lt t \lt 3\,\text{ms} \\ 0&; ~~ \text{nos outros instantes}\end{cases}

start text, C, end text, equals, 1, mu, start text, F, end text

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0

Qual a tensão no capacitor, v, left parenthesis, t, right parenthesis?

Usamos a forma integral da equação do capacitor para resolver para v, left parenthesis, t, right parenthesis em três trechos distintos: antes, durante e depois do pulso de corrente.

Antes do pulso

Antes do pulso de corrente left parenthesis, t, is less than, 0, right parenthesis, nenhuma corrente está fluindo, então nenhuma carga se acumula em start text, C, end text. Portanto, v, start subscript, left parenthesis, t, is less than, 0, right parenthesis, end subscript, equals, 0. Nós nem temos que usar a equação.

Durante o pulso

Para qualquer instante T durante o pulso de corrente left parenthesis, 0, \lt, t, \lt, 3, start text, m, s, end text, right parenthesis, uma carga se acumula em start text, C, end text e a tensão sobe. Nós podemos aplicar a equação do capacitor para descobrir como v muda,

v, left parenthesis, T, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, T, end superscript, i, start text, d, end text, t, plus, v, start subscript, 0, end subscript

Como i é constante durante este tempo, nós podemos transportar i para fora da integral. Podemos também ignorar v, start subscript, 0, end subscript, uma vez que é ela zero.

v, left parenthesis, T, right parenthesis, equals, start fraction, i, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, T, end superscript, start text, d, end text, t

v, left parenthesis, T, right parenthesis, equals, start fraction, i, divided by, start text, C, end text, end fraction, t, vertical bar, start subscript, 0, end subscript, start superscript, T, end superscript

v, left parenthesis, T, right parenthesis, equals, start fraction, i, divided by, start text, C, end text, end fraction, T, start text, v, o, l, t, s, end text

Essa é a equação de uma linha com inclinação i, slash, start text, C, end text, válida em qualquer momento durante o pulso de corrente. A inclinação é:

start fraction, i, divided by, start text, C, end text, end fraction, equals, start fraction, 2, times, 10, start superscript, minus, 3, end superscript, start text, A, end text, divided by, 1, times, 10, start superscript, minus, 6, end superscript, start text, F, end text, end fraction, equals, 2000, start text, v, o, l, t, s, slash, s, e, g, u, n, d, o, end text

No final do pulso, T, equals, 3, start text, m, s, end text, a tensão através do capacitor levanta-se a:

v, start subscript, left parenthesis, T, equals, 3, start text, m, s, end text, right parenthesis, end subscript, equals, 2000, start text, v, o, l, t, s, slash, s, end text, dot, 0, comma, 003, start text, s, end text, equals, 6, start text, v, o, l, t, s, end text

Após o pulso

Após o pulso left parenthesis, 3, start text, m, s, end text, \lt, t, right parenthesis - A corrente cai para 0, então a carga para de se acumular no capacitor. Como nenhuma carga está se movendo, nós deveríamos esperar que a tensão não mude. Podemos confirmar isso aplicando a equação do capacitor no tempo inicial t, equals, 3, start text, m, s, end text, e na tensão inicial v, start subscript, 3, start text, m, s, end text, end subscript, equals, 6, start text, V, end text.

v, equals, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, start subscript, 3, start text, m, s, end text, end subscript, start superscript, T, end superscript, 0, start text, d, end text, t, plus, 6, equals, 6, start text, v, o, l, t, s, end text

A corrente parou, então a carga continua a mesma, e a tensão no capacitor permanece em 6, start text, V, end text.

Montando os três trechos juntos temos v, left parenthesis, t, right parenthesis,

Tente você mesmo. Ajuste o tamanho e a duração do pulso de corrente (ponto start color #1fab54, start text, v, e, r, d, e, end text, end color #1fab54).

De quantas maneiras você pode atingir uma tensão final de 4, start text, V, end text?
O que acontece com v, left parenthesis, t, right parenthesis se o pulso de corrente for negativo?

Essa configuração de circuito (fonte de corrente carregando um capacitor) tem um apelido, é chamada um integrador.

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