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Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2

Lição 4: Resposta natural e forçada

Resposta natural LC - derivação

Derivação formal da resposta natural LC, onde descobrimos a frequência de oscilação. Escrito por Willy McAllister.

Vamos calcular a resposta natural do circuito indutor-capacitor

LC

Foi aqui que se surgiu a onda senoidal

Histórico

Este artigo apresenta o passo a passo da resolução de uma equação diferencial de segunda ordem. A explicação considera que você não tem nenhuma experiência com esse tipo de equação. Há também alguns vídeos sobre equações de segunda ordem. As equações diferenciais de primeira ordem são resolvidas passo a passo nos artigos sobre resposta natural dos circuitos

\underset{―}{RC}

\underset{―}{RL}

. Você também pode assistir aos vídeos sobre equações diferenciais de primeira ordem.

O que estamos construindo

A resposta natural de um circuito

LC

é descrita por esta equação diferencial homogênea de segunda-ordem:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{C} i = 0

A solução para a corrente é:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} sen ω_{\circ} t

Onde

ω_{\circ} = \sqrt{\frac{1}{LC}}

é a frequência natural do circuito

LC

V_{0}

é a tensão inicial no capacitor.

Em engenharia elétrica, usamos a letra

j

como a

\sqrt{- 1}

.
(A letra

i

já é usada para corrente).

Introdução

Sistemas de primeira-ordem

Até agora, analisamos os circuitos de primeira-ordem,

\underset{―}{RC}

\underset{―}{RL}

, que possuem um elemento de armazenamento de energia,

C

L

. A resposta natural dos circuitos de primeira-ordem tem uma forma exponencial que "cai" para seu valor final. A energia em seu elemento de armazenamento é dissipada pelo resistor.

Sistemas de segunda-ordem

Agora vamos ver um circuito com dois elementos armazenadores de energia e sem resistor. Circuitos com dois elementos armazenadores são sistemas de segunda-ordem, porque eles produzem equações com derivadas segundas.

Este artigo aborda o circuito

LC

, um dos dois últimos circuitos que vamos resolver com o tratamento completo de uma equação diferencial. O último circuito a ter este tratamento é o

RLC

(no próximo artigo). A matemática das equações diferenciais fica cada vez mais difícil. Felizmente, depois que concluirmos os circuitos

LC

RLC

, aprenderemos que um bom atalho torna nossas vidas mais simples.

Ficamos com as equações diferenciais em vez de ir direto para o atalho, porque quero mostrar de onde as ondas senoidais vêm na eletrônica. Ondas senoidais emergem da solução de equações de segunda-ordem. Ondas senoidais são importantes. Elas são o alicerce para todos os outros tipos de sinais.

Sistemas de segunda-ordem são os primeiros sistemas que balançam para frente e para trás no tempo, ou oscilam. O exemplo clássico de um sistema mecânico de segunda-ordem é um relógio com um pêndulo. Em eletrônica, o sistema clássico de segunda-ordem é o circuito

LC

Resposta natural

Queremos encontrar a resposta natural do circuito de

LC

. A resposta natural é o que um circuito faz quando não há nenhuma força motora externa. A resposta natural é sempre uma parte importante da resposta total de um circuito.

Resposta natural de um circuito de $2$ ‍a-ordem

Para continuar com uma solução precisa para a resposta natural, vamos montar o circuito com alguma energia inicial. Os componentes são identificados com atenção especial à sinalização convencional para componentes passivos. O indutor tem uma corrente inicial de

0 A

, já que o interruptor começa na posição aberta. Suponhamos que o capacitor tenha uma tensão inicial antes de fechar o interruptor,

v_{C} = - V_{0}

. (Observe que

v_{C}

tem seu sinal

+

no canto inferior direito). O interruptor fecha em

t = 0

Como em toda análise de circuito, começamos escrevendo uma das leis de Kirchhoff. Neste caso, iremos com a Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) em torno da manha, começando no canto inferior esquerdo e circulando no sentido horário.

v_{L} + v_{C} = 0

L \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} \int i d t = 0

Esta equação da LKT contém uma integral, que é complicada de lidar. A maneira de se livrar de uma integral (também conhecida como um anti-derivada) é obter a sua derivada. Tomamos a derivada de cada termo na equação.

\frac{d}{d t} (L \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} \int i d t) = \frac{d}{d t} 0

Isto nos dá a segunda derivada do termo

L

, nos livramos da integral no termo

1 / C

e ainda ficamos com

0

no lado direito.

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{C} i = 0

A equação fica mais fácil se o primeiro termo não tiver nenhum coeficiente, e então dividimos tudo por

L

. Esta equação diferencial de segunda-ordem captura a essência do nosso circuito.

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{LC} i = 0

Propor uma solução

Quando resolvemos os circuitos

RC

RL

de primeira-ordem, imaginamos uma solução exponencial para

i(t). A imaginação também funciona com equações de segunda ordem. Nossa equação de segunda ordem tem requisitos semelhantes: queremos que a função e suas derivadas se pareçam uma com a outra para que ambas possam ter soma

0

. A função exponencial se encaixa nessa descrição. Propomos uma função exponencial com alguns parâmetros ajustáveis:

i (t) = K e^{s t}

K

é um fator de amplitude que define se a corrente é grande ou pequena.

s

está no expoente ao lado do tempo

t

. Como expoentes não têm dimensão,

s

tem que ter unidade

1 / t

, que é também conhecida como frequência. Como estamos resolvendo uma resposta natural, chamamos

s

de frequência natural.

Agora substituímos nossa função proposta na equação diferencial e verificamos para ver se ela torna a equação verdadeira.

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{LC} i = 0

\frac{d^{2}}{d t^{2}} (K e^{s t}) + \frac{1}{LC} (K e^{s t}) = 0

Vamos trabalhar com primeiro termo tomando duas derivadas. A derivada primeira é:

\frac{d}{d t} (K e^{s t}) = s K e^{s t}

E agora a segunda derivada:

\frac{d^{2}}{d t^{2}} (K e^{s t}) = \frac{d}{d t} (s K e^{s t}) = s^{2} K e^{s t}

Inserimos a nossa nova derivada segunda de volta na equação:

s^{2} K e^{s t} + \frac{1}{LC} K e^{s t} = 0

E fazendo o fatoramento de

K e^{s t}

K e^{s t} (s^{2} + \frac{1}{LC}) = 0

De quantas formas podemos tornar esta equação verdadeira?

K = 0

é bem trivial. Quem se importa com

0 = 0

e^{s t}

nunca se torna zero para um intervalo de tempo finito.

Isso leva a uma solução interessante onde o termo (

s^{2} + 1 / LC)

se iguala a

0

s^{2} + \frac{1}{LC} = 0

Esta equação é chamada a equação característica do nosso circuito. Queremos encontrar as raízes da equação característica (o(s) valor(es) de

s

que tornam o lado esquerdo igual a zero).

s^{2} = - \frac{1}{LC}

Nossa! Vejam o que está para acontecer. Estamos prestes a tomar a raiz quadrada de um número negativo. Estamos prestes a gerar um número imaginário.

s

tem dois valores possíveis:

s_{1} = + j \sqrt{\frac{1}{LC}}

s_{2} = - j \sqrt{\frac{1}{LC}}

Engenheiros elétricos usam a letra

j

para indicar unidade imaginária,

\sqrt{- 1}

, uma vez que já usamos

i

para corrente.

De forma abreviada, damos um nome ao termo da raiz quadrada:

ω_{\circ} = \sqrt{\frac{1}{LC}}

ω

é a letra grega ômega em minúsculo.

ω

é comumente usado como o nome da variável para a freqüência medida em radianos por segundo. O ângulo de um círculo completo é

360^{\circ}

2 π

radianos. Um ângulo de

1

radianos é de

360^{\circ} / 2 π \approx 57, 6^{\circ}

. Sempre que você ver o

ω

, pense em "radianos por segundo".

Quando falamos sobre a freqüência natural ou freqüência ressonante, é muitas vezes chamada

ω_{\circ}

, pronunciado, "ômega zero."

As raízes da equação característica podem ser expressas em fução de

ω_{o}

como:

s_{1} = + j ω_{\circ}

s_{2} = - j ω_{\circ}

Que tal? O circuito

LC

produz duas frequências naturais complexas,

s_{1}

s_{2}

. E uma das frequências naturais é negativa. Isso é bem curioso. Isto pode se revelar muito interessante.

Tanto

s_{1}

quanto

s_{2}

por si só são uma raiz da equação. Para a nossa solução proposta, permitimos a possibilidade de ambas as frequências naturais,

s_{1}

s_{2}

. Então escrevemos uma solução geral como uma combinação linear de dois termos, com duas constantes

K

ajustáveis.

i (t) = K_{1} e^{+ j ω_{\circ} t} + K_{2} e^{- j ω_{\circ} t}

Neste ponto você pode estar pensando, "Expoentes complexos? Freqüência negativa? Isso está realmente acontecendo?" A resposta é sim. Então por favor, aguente firme enquanto trabalhamos com essas expressões.

Identidades de Euler

Para trabalhar com esses expoentes complexos, recorremos a uma identidade importante.

Usando as expansões em série de Maclaurin para

e^{j x}

sen j x

, e

\cos j x

, é possível derivar essas identidades de Euler:

e^{+ j x} = \cos x + j sen x

e^{- j x} = \cos x - j sen x

No vídeo indicado, sempre que se diz

i

, nós vamos dizer

j

Essas identidades nos permitem transformar o estranho

e^{i m a g i n á r i o}

num número complexo normal. As partes real e imaginárias vêm de uma função cosseno ou seno, então ambos os componentes real e imaginário estão em algum lugar no intervalo entre

- 1

+ 1

Use as identidades de Euler

Podemos usar as identidades de Euler na nossa solução proposta.

i (t) = K_{1} e^{+ j ω_{\circ} t} + K_{2} e^{- j ω_{\circ} t}

i (t) = K_{1} (\cos ω_{\circ} t + j sen ω_{\circ} t) + K_{2} (\cos ω_{\circ} t - j sen ω_{\circ} t)

Multiplicar através das constantes:

i (t) = K_{1} \cos ω_{\circ} t + j K_{1} sen ω_{\circ} t + K_{2} \cos ω_{\circ} t - j K_{2} sen ω_{\circ} t,

e reunir os termos do cosseno e seno juntos:

i (t) = (K_{1} + K_{2}) \cos ω_{\circ} t + j (K_{1} - K_{2}) sen ω_{\circ} t

Não conhecemos

K_{1}

K_{2}

, ou a sua soma ou diferença. Parece perfeitamente correto substituir o

K

desconhecido por diferentes

A

's desconhecidos, apenas fazendo as coisas parecem um pouco mais simples.

Se fizermos

A_{1} = (K_{1} + K_{2})

, e

A_{2} = j (K_{1} - K_{2}

), então

i (t)

fica:

i (t) = A_{1} \cos ω_{\circ} t + A_{2} sen ω_{\circ} t

Usamos as identidades de Euler para reorganizar as exponenciais complexas em uma soma de funções trigonométricas. Esta equação ocorre pela primeira vez em eletrônica, vemos um seno ou cosseno em função do tempo (uma forma de onda senoidal).

(Observe como definimos

A_{2}

para incluir

j (K_{1} - K_{2})

, e então

j

já não aparece diretamente na solução proposta.)

Teste a solução proposta

Em seguida, verificamos nossa solução proposta ao substituí-la na equação diferencial de segunda-ordem. Se encontramos valores para as constantes que tornam verdadeira a equação diferencial, a solução proposta é vitoriosa.

Encontre as condições iniciais

As condições iniciais necessárias para um circuito de segunda-ordem são um pouco mais complicadas que para um circuito de primeira-ordem. Quando fizemos isto para circuitos de primeira-ordem,

RC

RL

, tínhamos que saber um valor único, uma corrente ou tensão inicial. Com um circuito

LC

de segunda-ordem, precisamos saber duas coisas: a corrente e a derivada da corrente quando o interruptor é fechado.

Escrevemos abaixo tudo o que sabemos sobre

t = 0^{-}

(no momento antes do interruptor fechar):

O interruptor está aberto, então $i (0^{-}) = 0$ ‍
A tensão inicial do capacitor é especificada: $v_{C} (0^{-}) = - V_{0}$ ‍.

t = 0^{+}

é o instante logo após o interruptor fechar, nosso objetivo é encontrar

i (0^{+})

d i / d t (0^{+})

Sabemos algumas propriedades de indutores e capacitores que nos levarão de

t = 0^{-}

t = 0^{+}

A corrente no indutor não pode mudar instantaneamente, então
$i (0^{+}) = i (0^{-}) = 0$ ‍
A tensão no capacitor não pode mudar instantaneamente, então
$v (0^{+}) = v (0^{-}) = V_{0}$ ‍

(Após o interruptor fechar há apenas um

v

, então vamos chamá-lo de

v

de agora em diante.)

Agora temos

i (0^{+})

, mas ainda não temos

d i / d t (0^{+})

. Onde podemos encontrar esta derivada? Que tal da equação

i

v

do indutor?

v = L \frac{d i}{d t}

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} v (0^{+})

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} V_{0}

Agora temos nossa segunda condição inicial. Isto mostra o momento logo após o interruptor fechar, a corrente no indutor começa a mudar com uma inclinação de

V_{0} / L

amperes por segundo.

Resumo das condições iniciais

i (0^{+}) = 0

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} V_{0}

Use as condições iniciais para encontrar $A_{1}$ ‍ e $A_{2}$ ‍

Usamos nossas condições iniciais uma de cada vez para resolver as constantes. A primeira condição inicial é

i = 0

t = 0^{+}

. Vamos substituí-la na solução proposta e ver onde ela nos leva.

i (t) = A_{1} \cos ω_{\circ} t + A_{2} sen ω_{\circ} t

0 = A_{1} \cos (ω_{\circ} \cdot 0) + A_{2} sen (ω_{\circ} \cdot 0)

0 = A_{1} \cos 0 + A_{2} sen 0

\begin{array}{r} 1 \\ 0 = A_{1} \cos 0 \end{array} \begin{array}{r} 0 \\ + A_{2} sen 0 \end{array}

0 = A_{1}

A_{1}

é igual a

0

, então o termo cosseno proposto sai da solução. Nossa solução proposta agora se parece com:

i (t) = A_{2} sen ω_{\circ} t

Agora vamos achar

A_{2}

usando a segunda condição inicial. A derivada de

i

t = 0^{+}

é:

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} V_{0}

Tire a derivada da

i (t)

proposta:

\frac{d i}{d t} = \frac{d}{d t} (A_{2} sen ω_{\circ} t)

\frac{d i}{d t} = ω_{\circ} A_{2} \cos ω_{\circ} t

Calculando esta expressão em

t = 0

\frac{1}{L} V_{0} = ω_{\circ} A_{2} \cos (ω_{\circ} \cdot 0)

\frac{1}{L} V_{0} = ω_{\circ} A_{2} \cdot 1

A_{2} = \frac{1}{ω_{\circ} L} V_{0}

Podemos expressar

ω_{\circ}

em função de

L

C

para obter:

A_{2} = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0}

E finalmente, depois de muito trabalho duro, a solução para a corrente é:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} sen ω_{\circ} t

Valores dos componentes reais

Para demonstrar como fica a solução, atribuímos valores aos componentes

L = 1

henry e

C = 1 / 4

farad e uma tensão inicial no capacitor de

10 V

A frequência natural,

ω_{\circ}

é:

ω_{\circ} = \sqrt{\frac{1}{LC}} = \sqrt{\frac{1}{1 \cdot 1 / 4}} = 2 radianos/segundo

A corrente em função do tempo é:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} sen ω_{\circ} t = \sqrt{\frac{1 / 4}{1}} 10 sen ω_{\circ} t

i (t) = 5 sen 2 t

A corrente começa instante em que o interruptor fecha:

A corrente se inicia num padrão de onda senoidal e continua para sempre. (Não há nenhum resistor neste circuito ideal, então a energia nunca se dissipa. Em um circuito real haveria resistências pequenas que gradualmente dissipam a energia.)

A frequência natural da onda senoidal é

ω_{\circ} = 2 radianos / sec

. Podemos converter radianos por segundo em ciclos por segundo, (também conhecido como hertz, ou

Hz

) sabendo que

1

ciclo completo de uma função seno corresponde a

2 π

radianos. Normalmente usamos o símbolo

f

para ciclos por segundo. A conversão é:

ω = 2 π f

A freqüência natural do circuito em ciclos por segundo, hertz,

Hz

, é:

f = \frac{2 radianos/sec}{2 π} = \frac{1}{π} Hz,

ou equivalentemente, a corrente realiza um ciclo completo a cada

π

segundos.

Mais olhada rápida nas condições iniciais

Podemos olhar perto da origem para ver como a solução levou em conta as condições iniciais. A onda senoidal começa na origem,

i = 0

. E observem como a inclinação da onda senoidal azul perto da origem coincide com a inclinação da linha reta preta,

i = 10 A / seg

Tensão, $v (t)$ ‍

Neste ponto resolvemos a corrente. Se vocês quiserem ir um pouco mais a diante, obtemos a solução para a tensão,

v (t)

Encontre uma expressão para $v (t)$ ‍ após o interruptor fechar.

Provavelmente o caminho mais rápido é usar a equação do indutor

i

v

para resolver a

v

em função de

d i / d t

v (t) =

Resumo

Derivamos a resposta natural de um circuito

LC

para criar esta equação homogênea diferencial de segunda-ordem:

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{LC} i = 0

Então assumimos uma solução no formato

K e^{s t}

, que nos deu a equação característica para o circuito:

s^{2} + \frac{1}{LC} = 0

Ao calcular as raízes da equação característica encontramos uma expressão muito estranha:

e^{j ω_{\circ} t}

, uma exponencial com expoente complexo. Mergulhamos no nosso saco de truques e puxamos para fora:

Identidades de Euler

e^{+ j x} = \cos x + j sen x

e^{- j x} = \cos x - j sen x

Essas identidades nos permitem expressar o exponencial complexo como uma combinação das funções seno e cosseno. (Em engenharia elétrica, usamos a letra

j

para expressar

\sqrt{- 1} .

)

Então verificamos o circuito para encontrar as condições iniciais. Para um sistema de segunda-ordem, encontramos um

i

inicial e uma

d i / d t

inicial.

Encontramos uma função para

i (t)

que satisfaz a equação diferencial:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} sen ω_{\circ} t

ω_{\circ} \equiv \sqrt{\frac{1}{LC}}

é a frequência natural do circuito

LC

V_{0}

é a tensão inicial no capacitor.

(Esta solução se aplica quando a corrente inicial no indutor é

0

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Engenharia elétrica

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Histórico

O que estamos construindo

Introdução

Sistemas de primeira-ordem

Sistemas de segunda-ordem

Resposta natural

Resposta natural de um circuito de 2‍ a-ordem

Propor uma solução

Identidades de Euler

Use as identidades de Euler

Teste a solução proposta

Encontre as condições iniciais

Resumo das condições iniciais

Use as condições iniciais para encontrar A1‍ e A2‍

Valores dos componentes reais

Mais olhada rápida nas condições iniciais

Tensão, v(t)‍

Resumo

Quer participar da conversa?

Resposta natural de um circuito de $2$ ‍a-ordem

Use as condições iniciais para encontrar $A_{1}$ ‍ e $A_{2}$ ‍

Tensão, $v (t)$ ‍