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Engenharia elétrica

Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2

Lição 4: Resposta natural e forçada

Resposta natural LC - derivação

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Derivação formal da resposta natural LC, onde descobrimos a frequência de oscilação. Escrito por Willy McAllister.

Vamos calcular a resposta natural do circuito indutor-capacitor start text, L, C, end text.

Foi aqui que se surgiu a onda senoidal

Histórico

Este artigo apresenta o passo a passo da resolução de uma equação diferencial de segunda ordem. A explicação considera que você não tem nenhuma experiência com esse tipo de equação. Há também alguns vídeos sobre equações de segunda ordem. As equações diferenciais de primeira ordem são resolvidas passo a passo nos artigos sobre resposta natural dos circuitos start underline, start text, R, C, end text, end underline e start underline, start text, R, L, end text, end underline. Você também pode assistir aos vídeos sobre equações diferenciais de primeira ordem.

O que estamos construindo

A resposta natural de um circuito start text, L, C, end text é descrita por esta equação diferencial homogênea de segunda-ordem:

start text, L, end text, start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, i, equals, 0

A solução para a corrente é:

Onde omega, start subscript, circle, end subscript, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root é a frequência natural do circuito start text, L, C, end text e start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript é a tensão inicial no capacitor.

Em engenharia elétrica, usamos a letra j como a square root of, minus, 1, end square root.
(A letra i já é usada para corrente).

Introdução

Sistemas de primeira-ordem

Até agora, analisamos os circuitos de primeira-ordem, start underline, start text, R, C, end text, end underline e start underline, start text, R, L, end text, end underline, que possuem um elemento de armazenamento de energia, start text, C, end text ou start text, L, end text. A resposta natural dos circuitos de primeira-ordem tem uma forma exponencial que "cai" para seu valor final. A energia em seu elemento de armazenamento é dissipada pelo resistor.

Sistemas de segunda-ordem

Agora vamos ver um circuito com dois elementos armazenadores de energia e sem resistor. Circuitos com dois elementos armazenadores são sistemas de segunda-ordem, porque eles produzem equações com derivadas segundas.

Este artigo aborda o circuito start text, L, C, end text, um dos dois últimos circuitos que vamos resolver com o tratamento completo de uma equação diferencial. O último circuito a ter este tratamento é o start text, R, L, C, end text (no próximo artigo). A matemática das equações diferenciais fica cada vez mais difícil. Felizmente, depois que concluirmos os circuitos start text, L, C, end text e start text, R, L, C, end text, aprenderemos que um bom atalho torna nossas vidas mais simples.

Ficamos com as equações diferenciais em vez de ir direto para o atalho, porque quero mostrar de onde as ondas senoidais vêm na eletrônica. Ondas senoidais emergem da solução de equações de segunda-ordem. Ondas senoidais são importantes. Elas são o alicerce para todos os outros tipos de sinais.

Sistemas de segunda-ordem são os primeiros sistemas que balançam para frente e para trás no tempo, ou oscilam. O exemplo clássico de um sistema mecânico de segunda-ordem é um relógio com um pêndulo. Em eletrônica, o sistema clássico de segunda-ordem é o circuito start text, L, C, end text.

Resposta natural

Queremos encontrar a resposta natural do circuito de start text, L, C, end text. A resposta natural é o que um circuito faz quando não há nenhuma força motora externa. A resposta natural é sempre uma parte importante da resposta total de um circuito.

Resposta natural de um circuito de 2a-ordem

Para continuar com uma solução precisa para a resposta natural, vamos montar o circuito com alguma energia inicial. Os componentes são identificados com atenção especial à sinalização convencional para componentes passivos. O indutor tem uma corrente inicial de 0, start text, A, end text, já que o interruptor começa na posição aberta. Suponhamos que o capacitor tenha uma tensão inicial antes de fechar o interruptor, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, minus, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript. (Observe que v, start subscript, start text, C, end text, end subscript tem seu sinal plus no canto inferior direito). O interruptor fecha em t, equals, 0.

Como em toda análise de circuito, começamos escrevendo uma das leis de Kirchhoff. Neste caso, iremos com a Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) em torno da manha, começando no canto inferior esquerdo e circulando no sentido horário.

v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, plus, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, 0

start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, i, d, t, equals, 0

Esta equação da LKT contém uma integral, que é complicada de lidar. A maneira de se livrar de uma integral (também conhecida como um anti-derivada) é obter a sua derivada. Tomamos a derivada de cada termo na equação.

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, i, d, t, right parenthesis, equals, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, 0

Isto nos dá a segunda derivada do termo start text, L, end text, nos livramos da integral no termo 1, slash, start text, C, end text e ainda ficamos com 0 no lado direito.

start text, L, end text, start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, i, equals, 0

A equação fica mais fácil se o primeiro termo não tiver nenhum coeficiente, e então dividimos tudo por start text, L, end text. Esta equação diferencial de segunda-ordem captura a essência do nosso circuito.

start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, i, equals, 0

Propor uma solução

Quando resolvemos os circuitos start text, R, C, end text e start text, R, L, end text de primeira-ordem, imaginamos uma solução exponencial para

i(t). A imaginação também funciona com equações de segunda ordem. Nossa equação de segunda ordem tem requisitos semelhantes: queremos que a função e suas derivadas se pareçam uma com a outra para que ambas possam ter soma 0. A função exponencial se encaixa nessa descrição. Propomos uma função exponencial com alguns parâmetros ajustáveis:

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript

K é um fator de amplitude que define se a corrente é grande ou pequena.

s está no expoente ao lado do tempo t. Como expoentes não têm dimensão, s tem que ter unidade 1, slash, t, que é também conhecida como frequência. Como estamos resolvendo uma resposta natural, chamamos s de frequência natural.

Agora substituímos nossa função proposta na equação diferencial e verificamos para ver se ela torna a equação verdadeira.

start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, i, equals, 0

start fraction, d, squared, divided by, d, t, squared, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, 0

Vamos trabalhar com primeiro termo tomando duas derivadas. A derivada primeira é:

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, s, K, e, start superscript, s, t, end superscript

E agora a segunda derivada:

start fraction, d, squared, divided by, d, t, squared, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, s, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, s, squared, K, e, start superscript, s, t, end superscript

Inserimos a nossa nova derivada segunda de volta na equação:

s, squared, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0

E fazendo o fatoramento de K, e, start superscript, s, t, end superscript:

K, e, start superscript, s, t, end superscript, left parenthesis, s, squared, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, right parenthesis, equals, 0

De quantas formas podemos tornar esta equação verdadeira?

K, equals, 0 é bem trivial. Quem se importa com 0, equals, 0?

e, start superscript, s, t, end superscript nunca se torna zero para um intervalo de tempo finito.

Isso leva a uma solução interessante onde o termo (s, squared, plus, 1, slash, start text, L, C, right parenthesis, end text se iguala a 0:

s, squared, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, equals, 0

Esta equação é chamada a equação característica do nosso circuito. Queremos encontrar as raízes da equação característica (o(s) valor(es) de s que tornam o lado esquerdo igual a zero).

s, squared, equals, minus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction

Nossa! Vejam o que está para acontecer. Estamos prestes a tomar a raiz quadrada de um número negativo. Estamos prestes a gerar um número imaginário.

s tem dois valores possíveis:

s, start subscript, 1, end subscript, equals, plus, j, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root

s, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, j, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root

Engenheiros elétricos usam a letra j para indicar unidade imaginária, square root of, minus, 1, end square root, uma vez que já usamos i para corrente.

De forma abreviada, damos um nome ao termo da raiz quadrada:

omega, start subscript, circle, end subscript, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root

[O que é o símbolo w inclinado?]

As raízes da equação característica podem ser expressas em fução de omega, start subscript, start text, o, end text, end subscript como:

s, start subscript, 1, end subscript, equals, plus, j, omega, start subscript, circle, end subscript

s, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, j, omega, start subscript, circle, end subscript

Que tal? O circuito start text, L, C, end text produz duas frequências naturais complexas, s, start subscript, 1, end subscript e s, start subscript, 2, end subscript. E uma das frequências naturais é negativa. Isso é bem curioso. Isto pode se revelar muito interessante.

Tanto s, start subscript, 1, end subscript quanto s, start subscript, 2, end subscript por si só são uma raiz da equação. Para a nossa solução proposta, permitimos a possibilidade de ambas as frequências naturais, s, start subscript, 1, end subscript e s, start subscript, 2, end subscript. Então escrevemos uma solução geral como uma combinação linear de dois termos, com duas constantes K ajustáveis.

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, plus, j, omega, start subscript, circle, end subscript, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, j, omega, start subscript, circle, end subscript, t, end superscript

Neste ponto você pode estar pensando, "Expoentes complexos? Freqüência negativa? Isso está realmente acontecendo?" A resposta é sim. Então por favor, aguente firme enquanto trabalhamos com essas expressões.

Identidades de Euler

Para trabalhar com esses expoentes complexos, recorremos a uma identidade importante.

Usando as expansões em série de Maclaurin para e, start superscript, j, x, end superscript, s, e, n, j, x, e cosine, j, x, é possível derivar essas identidades de Euler:

e, start superscript, plus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, plus, j, s, e, n, x

e, start superscript, minus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, minus, j, s, e, n, x

No vídeo indicado, sempre que se diz i, nós vamos dizer j.

Essas identidades nos permitem transformar o estranho e, start superscript, i, m, a, g, i, n, a, with, acute, on top, r, i, o, end superscript num número complexo normal. As partes real e imaginárias vêm de uma função cosseno ou seno, então ambos os componentes real e imaginário estão em algum lugar no intervalo entre minus, 1 e plus, 1.

Use as identidades de Euler

Podemos usar as identidades de Euler na nossa solução proposta.

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, j, s, e, n, omega, start subscript, circle, end subscript, t, right parenthesis, plus, K, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, minus, j, s, e, n, omega, start subscript, circle, end subscript, t, right parenthesis

Multiplicar através das constantes:

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, start subscript, 1, end subscript, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, j, K, start subscript, 1, end subscript, s, e, n, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, K, start subscript, 2, end subscript, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, minus, j, K, start subscript, 2, end subscript, s, e, n, omega, start subscript, circle, end subscript, t, comma

e reunir os termos do cosseno e seno juntos:

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, s, e, n, omega, start subscript, circle, end subscript, t

Não conhecemos K, start subscript, 1, end subscript ou K, start subscript, 2, end subscript, ou a sua soma ou diferença. Parece perfeitamente correto substituir o K desconhecido por diferentes A's desconhecidos, apenas fazendo as coisas parecem um pouco mais simples.

Se fizermos A, start subscript, 1, end subscript, equals, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, e A, start subscript, 2, end subscript, equals, j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript), então i, left parenthesis, t, right parenthesis fica:

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, A, start subscript, 2, end subscript, s, e, n, omega, start subscript, circle, end subscript, t

Usamos as identidades de Euler para reorganizar as exponenciais complexas em uma soma de funções trigonométricas. Esta equação ocorre pela primeira vez em eletrônica, vemos um seno ou cosseno em função do tempo (uma forma de onda senoidal).

(Observe como definimos A, start subscript, 2, end subscript para incluir j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, e então j já não aparece diretamente na solução proposta.)

Teste a solução proposta

Em seguida, verificamos nossa solução proposta ao substituí-la na equação diferencial de segunda-ordem. Se encontramos valores para as constantes que tornam verdadeira a equação diferencial, a solução proposta é vitoriosa.

Encontre as condições iniciais

As condições iniciais necessárias para um circuito de segunda-ordem são um pouco mais complicadas que para um circuito de primeira-ordem. Quando fizemos isto para circuitos de primeira-ordem, start text, R, C, end text ou start text, R, L, end text, tínhamos que saber um valor único, uma corrente ou tensão inicial. Com um circuito start text, L, C, end text de segunda-ordem, precisamos saber duas coisas: a corrente e a derivada da corrente quando o interruptor é fechado.

Escrevemos abaixo tudo o que sabemos sobre t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript (no momento antes do interruptor fechar):

O interruptor está aberto, então i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
A tensão inicial do capacitor é especificada: v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, minus, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript.

Se t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript é o instante logo após o interruptor fechar, nosso objetivo é encontrar i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis e d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis.

Sabemos algumas propriedades de indutores e capacitores que nos levarão de t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript a t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript:

A corrente no indutor não pode mudar instantaneamente, então
i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
A tensão no capacitor não pode mudar instantaneamente, então
v, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, v, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

(Após o interruptor fechar há apenas um v, então vamos chamá-lo de v de agora em diante.)

Agora temos i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, mas ainda não temos d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis. Onde podemos encontrar esta derivada? Que tal da equação i-v do indutor?

v, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, v, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

Agora temos nossa segunda condição inicial. Isto mostra o momento logo após o interruptor fechar, a corrente no indutor começa a mudar com uma inclinação de start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, slash, start text, L, end text amperes por segundo.

Resumo das condições iniciais

i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 0

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

Use as condições iniciais para encontrar A, start subscript, 1, end subscript e A, start subscript, 2, end subscript

Usamos nossas condições iniciais uma de cada vez para resolver as constantes. A primeira condição inicial é i, equals, 0 em t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript. Vamos substituí-la na solução proposta e ver onde ela nos leva.

0, equals, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, left parenthesis, omega, start subscript, circle, end subscript, dot, 0, right parenthesis, plus, A, start subscript, 2, end subscript, s, e, n, left parenthesis, omega, start subscript, circle, end subscript, dot, 0, right parenthesis

0, equals, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, 0, plus, A, start subscript, 2, end subscript, s, e, n, 0

\begin{array}{r} 1 \\ 0=A_1\cancel{\cos 0} \end{array} \begin{array}{r} 0 \\ + \,A_2 \cancel{\operatorname{sen} 0} \end{array}

0, equals, A, start subscript, 1, end subscript

A, start subscript, 1, end subscript é igual a 0, então o termo cosseno proposto sai da solução. Nossa solução proposta agora se parece com:

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, A, start subscript, 2, end subscript, s, e, n, omega, start subscript, circle, end subscript, t

Agora vamos achar A, start subscript, 2, end subscript usando a segunda condição inicial. A derivada de i em t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript é:

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

Tire a derivada da i, left parenthesis, t, right parenthesis proposta:

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, equals, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, A, start subscript, 2, end subscript, s, e, n, omega, start subscript, circle, end subscript, t, right parenthesis

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, equals, omega, start subscript, circle, end subscript, A, start subscript, 2, end subscript, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t

Calculando esta expressão em t, equals, 0:

start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, equals, omega, start subscript, circle, end subscript, A, start subscript, 2, end subscript, cosine, left parenthesis, omega, start subscript, circle, end subscript, dot, 0, right parenthesis

A, start subscript, 2, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, omega, start subscript, circle, end subscript, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

Podemos expressar omega, start subscript, circle, end subscript em função de start text, L, end text e start text, C, end text para obter:

[mostre-me a álgebra]

A, start subscript, 2, end subscript, equals, square root of, start fraction, start text, C, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction, end square root, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

E finalmente, depois de muito trabalho duro, a solução para a corrente é:

Valores dos componentes reais

Para demonstrar como fica a solução, atribuímos valores aos componentes start text, L, end text, equals, 1 henry e start text, C, end text, equals, 1, slash, 4 farad e uma tensão inicial no capacitor de 10, start text, V, end text.

A frequência natural, omega, start subscript, circle, end subscript é:

omega, start subscript, circle, end subscript, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, 1, dot, 1, slash, 4, end fraction, end square root, equals, 2, start text, r, a, d, i, a, n, o, s, slash, s, e, g, u, n, d, o, end text

A corrente em função do tempo é:

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, square root of, start fraction, start text, C, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction, end square root, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, s, e, n, omega, start subscript, circle, end subscript, t, equals, square root of, start fraction, start text, 1, end text, slash, 4, divided by, 1, end fraction, end square root, 10, s, e, n, omega, start subscript, circle, end subscript, t

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5, s, e, n, 2, t

A corrente começa instante em que o interruptor fecha:

A corrente se inicia num padrão de onda senoidal e continua para sempre. (Não há nenhum resistor neste circuito ideal, então a energia nunca se dissipa. Em um circuito real haveria resistências pequenas que gradualmente dissipam a energia.)

A frequência natural da onda senoidal é omega, start subscript, circle, end subscript, equals, 2, start text, r, a, d, i, a, n, o, s, end text, slash, start text, s, e, c, end text. Podemos converter radianos por segundo em ciclos por segundo, (também conhecido como hertz, ou start text, H, z, end text) sabendo que 1 ciclo completo de uma função seno corresponde a 2, pi radianos. Normalmente usamos o símbolo f para ciclos por segundo. A conversão é:

omega, equals, 2, pi, f

A freqüência natural do circuito em ciclos por segundo, hertz, start text, H, z, end text, é:

f, equals, start fraction, 2, start text, r, a, d, i, a, n, o, s, slash, s, e, c, end text, divided by, 2, pi, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, pi, end fraction, start text, H, z, comma, end text

ou equivalentemente, a corrente realiza um ciclo completo a cada pi segundos.

Mais olhada rápida nas condições iniciais

Podemos olhar perto da origem para ver como a solução levou em conta as condições iniciais. A onda senoidal começa na origem, i, equals, 0. E observem como a inclinação da onda senoidal azul perto da origem coincide com a inclinação da linha reta preta, i, equals, 10, start text, A, end text, slash, start text, s, e, g, end text.

Tensão, v, left parenthesis, t, right parenthesis

Neste ponto resolvemos a corrente. Se vocês quiserem ir um pouco mais a diante, obtemos a solução para a tensão, v, left parenthesis, t, right parenthesis.

Encontre uma expressão para v, left parenthesis, t, right parenthesis após o interruptor fechar.

Provavelmente o caminho mais rápido é usar a equação do indutor i-v para resolver a v em função de d, i, slash, d, t.

v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals

[Mostrar resposta]

Resumo

Derivamos a resposta natural de um circuito start text, L, C, end text para criar esta equação homogênea diferencial de segunda-ordem:

start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, i, equals, 0

Então assumimos uma solução no formato K, e, start superscript, s, t, end superscript, que nos deu a equação característica para o circuito:

s, squared, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, equals, 0

Ao calcular as raízes da equação característica encontramos uma expressão muito estranha: e, start superscript, j, omega, start subscript, circle, end subscript, t, end superscript, uma exponencial com expoente complexo. Mergulhamos no nosso saco de truques e puxamos para fora:

Identidades de Euler

e, start superscript, plus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, plus, j, s, e, n, x
e, start superscript, minus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, minus, j, s, e, n, x

Essas identidades nos permitem expressar o exponencial complexo como uma combinação das funções seno e cosseno. (Em engenharia elétrica, usamos a letra j para expressar square root of, minus, 1, end square root, point)

Então verificamos o circuito para encontrar as condições iniciais. Para um sistema de segunda-ordem, encontramos um i inicial e uma d, i, slash, d, t inicial.

Encontramos uma função para i, left parenthesis, t, right parenthesis que satisfaz a equação diferencial:

omega, start subscript, circle, end subscript, \equiv, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root é a frequência natural do circuito start text, L, C, end text .

start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript é a tensão inicial no capacitor.

(Esta solução se aplica quando a corrente inicial no indutor é 0.)

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Histórico

O que estamos construindo

Introdução

Sistemas de primeira-ordem

Sistemas de segunda-ordem

Resposta natural

Resposta natural de um circuito de 2222a-ordem

Propor uma solução

Identidades de Euler

Use as identidades de Euler

Teste a solução proposta

Encontre as condições iniciais

Resumo das condições iniciais

Use as condições iniciais para encontrar A1A_1A1​A, start subscript, 1, end subscript e A2A_2A2​A, start subscript, 2, end subscript

Valores dos componentes reais

Mais olhada rápida nas condições iniciais

Tensão, v(t)v(t)v(t)v, left parenthesis, t, right parenthesis

Resumo

Quer participar da conversa?

Resposta natural de um circuito de 2a-ordem

Use as condições iniciais para encontrar A, start subscript, 1, end subscript e A, start subscript, 2, end subscript

Tensão, v, left parenthesis, t, right parenthesis