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Engenharia elétrica

Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2

Lição 4: Resposta natural e forçada

Resposta natural RC

Resposta natural de um circuito RC. O produto de R e C é chamado de constante de tempo. Escrito por Willy McAllister.

O circuito Resistor-Capacitor

(RC)

é um dos primeiros circuitos interessantes que podemos criar e analisar. Compreender o comportamento deste circuito é essencial à aprendizagem da eletrônica. Modelos deste circuito podem ser encontrados por toda parte. Às vezes criamos este circuito com um finalidade, e outras vezes e aparece por conta própria.

[Por conta própria?]

Este é um dos primeiros circuitos com o qual nos deparamos em que precisamos levar em conta o tempo. Para desenvolver uma compreensão precisa, temos que utilizar métodos de cálculo. Usamos derivadas para descrever o circuito

RC

Queremos entender a resposta natural deste circuito.

O que estamos construindo

Num circuito resistor-capacitor onde o capacitor tem uma tensão inicial

V_{0}

, a tensão vai diminuir exponencialmente de acordo com:

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

Onde

V_{0}

é a tensão no instante

t = 0

. Essa é a chamada resposta natural.

A constante de tempo para um circuito

RC

τ = R \cdot C

O circuito que vamos estudar é um resistor em série com um capacitor. Como este circuito responde a uma tensão aplicada?

Primeiro, usamos a intuição para prever o que acontece

O circuito que examinamos nesta seção é:

Queremos saber o que acontece com a tensão no capacitor

v_{C}

, quando movemos o interruptor para frente e para trás.

[nomeando tensões e correntes]

Analisaremos estas questões uma de cada vez:

O que é $v_{C}$ ‍, a tensão no capacitor,

antes da chave subir?
após a chave subir?
após a chave descer?

Antes da chave subir

Começamos a nossa análise determinando o estado inicial do circuito, antes que alguma coisa mude. Com o interruptor na posição para baixo podemos desenhar o seguinte circuito equivalente.

v_{i n}

0

volt e a extremidade esquerda de

R

está ligada à parte inferior de

C

Vamos supor por enquanto que o circuito está neste estado por muito tempo. Então qualquer carga que pode ter sido armazenada no capacitor no passado já foi dissipada através do resistor, deixando

q_{C} = 0

. A partir disso sabemos que a tensão sobre o capacitor deve ser

0

volt, porque

v_{C} = q / C = 0 / C = 0

Desde que o capacitor tem

0

volt através dele, também assim deve ser o resistor, e também a corrente através de

R

(e a corrente através do capacitor) devem ser

0

amperes. Dizemos que o circuito está 'em estado estacionário' ou 'em repouso' ou 'em um equilíbrio'. Respondemos a primeira pergunta, "Qual é a tensão através de

C

antes da chave subir."

Depois da chave subir

Agora vamos levantar a chave. A tensão

v_{i n}

se torna

V_{BAT}

, e algo está prestes a mudar.

A corrente começa a fluir do terminal positivo da bateria, através de

R

C

. A carga se acumula no capacitor. A carga acumulada gera uma tensão crescente entre o capacitor (

v_{C} = q / C

). O tempo em que a tensão

v_{C}

está mudando é chamado de período transiente.

O que impede

v_{C}

de subir para sempre? A carga se acumula sobre o capacitor até que

v_{C}

atinja o mesmo valor que a tensão da bateria:

v_{C} = V_{BAT}

. Nesse ponto, a tensão sobre o resistor é

0

volts, e consequentemente a corrente no resistor pára de fluir (Lei de Ohm). Isso também significa que a corrente (carga) pára de fluir para dentro do capacitor. A quantidade de carga no capacitor pára de mudar e, portanto, a tensão do capacitor se torna constante:

v_{c} = V_{BAT}

. O período transiente termina.

Respondemos a segunda pergunta, "Qual é a tensão através de

C

após a chave levantar?" Após um período transiente, o circuito assume um novo estado estacionário com

v_{C} = V_{BAT}

. Ele permanece lá até que surja algo que o perturbe.

Após a chave descer

Agora mudamos a chave novamente, voltando para o terminal negativo da bateria (

v_{i n} = 0

). O que acontece agora?

Este é o mesmo circuito do início, mas neste instante

C

está armazenando uma carga, então há uma tensão inicial através dele. Portanto,

R

agora tem uma diferença de tensão entre seus terminais. A tensão é

v_{C} = V_{BAT}

no momento em que a chave vira para baixo. Logo, uma corrente deve começar a fluir em

R

(segundo a Lei de Ohm). A carga que fornece essa corrente é a carga armazenada em

C

. A carga continuará a fluir até que toda a carga originalmente armazenadas em

C

se esgote.

v_{C}

gradualmente cai para zero volt. A diferença de tensão sobre

R

também cai para zero. O circuito volta ao seu estado original de equilíbrio. E finalmente, respondemos à terceira pergunta, "Qual é a tensão através de

C

após a chave descer?"

Resumo

Usando apenas a nossa intuição, sabemos a tensão do capacitor,

v_{C}

, começa em

0

volt, sobe para

V_{BAT}

, e depois volta a

0

volt novamente. Dito de outro modo,

v_{C}

vai de um estado estacionário inicial, através de um transiente, para um novo estado estável e, em seguida, através de um segundo transiente, volta ao seu estado original. Sabemos tensão inicial e final de cada estado transiente. Nada mau, mas... O que não sabemos? Não sabemos quanto tempo duram os transientes e suas curvas no tempo. É hora de usar o cálculo para obter uma solução precisa e útil.

Cálculo formal da resposta natural de $RC$ ‍

Começamos com o caso mais simples possível. O circuito é composto apenas de

R

C

conectados entre si. Por "ache a resposta" queremos dizer ache

v

i

como uma função do tempo.

Para que o circuito realize algo (além de ficar parado ali), colocamos uma carga inicial no capacitor. Isso é feito por um circuito externo invisível. Após adicionarmos essa energia, vemos o que o circuito faz naturalmente. Imagine que o capacitor foi carregado a alguma tensão inicial

V_{0}

por um circuito externo, o qual foi desconectado ainda há pouco.

O resultado que vamos obter é chamado a resposta natural de um circuito

RC

. A resposta natural é o que o circuito realiza quando existe uma condição inicial, mas nada mais está agindo sobre o circuito.

Modele os componentes

Os componentes

R

C

no circuito podem ser descritos por suas equações características de tensão-corrente .

Para o resistor, escolhemos a equação da Lei de Ohm:

i_{R} = \frac{v}{R}

A relação tensão-corrente correspondente para o capacitor é:

i_{C} = C \frac{d v}{d t}

[De onde saiu essa equação?]

Modele o circuito

Podemos escrever uma equação usando a Lei de Kirchhoff das Correntes para as duas correntes fluindo para fora do nó superior.

i_{C} + i_{R} = 0

C \frac{d v}{d t} + \frac{1}{R} v = 0

Resolva o circuito

A equação anterior é uma equação diferencial ordinária de primeira-ordem (EDO). Temos as habilidades matemáticas para resolver este tipo de equação.

[O que esses termos significam?]

A solução para uma equação diferencial é algum tipo de função, no nosso caso alguma função da tensão em relação ao tempo,

v (t)

v (t)

é uma solução se ela fizer a equação diferencial verdadeira.

C \frac{d v}{d t} + \frac{1}{R} v = 0

(equação diferencial)

De onde vêm as soluções para as EDO? Uma maneira é fazer uma estimativa fundamentada da solução e experimentá-la.

[Existem outras maneiras?]

Ao se deparar com uma equação diferencial, consulte na sua memória adormecida seu conhecimento sobre as funções.

Os dois termos da equação têm que somar zero. Isto sugere que a primeira derivada da função precisa ter o mesmo formato da própria função. Procure na sua memória qualquer função cuja primeira derivada se parece com a própria função. Hum...

Uma função que se encaixa é alguma forma de exponencial,

e^{x}

, porque a derivada de uma exponencial é outra exponencial.

\frac{d}{d t} e^{α t} = α e^{α t}

[Reveja: derivada de uma exponencial]

Para resolver a nossa equação diferencial, vamos fazer uma proposta ousada para o modelo da solução (esta parte precisa de coragem). Então vamos inserir nossa solução na equação e resolver algumas constantes específicas para o circuito (esta parte precisa da matemática). Se encontrarmos constantes que tornam a equação verdadeira, então a função proposta é uma solução para a equação, e nós vencemos.

Nossa solução proposta é uma função exponencial, decorada com

s

K

e parâmetros ajustáveis.

v (t) = K e^{s t}

$t$ ‍ é o tempo
$v (t)$ ‍ é a tensão em função do tempo
$K$ ‍ e $s$ ‍ são constantes que temos de descobrir
- $K$ ‍ é um fator de amplitude que torna a tensão maior ou menor.
- $s$ ‍ está no expoente. Tem que ter a unidade que cancela o tempo. Então a unidade de $s$ ‍ é $1 / t$ ‍.

Vamos verificar se a nossa solução proposta funciona...

Substitua

v (t) = K e^{s t}

na equação diferencial:

C \frac{d}{d t} (K e^{s t}) + \frac{1}{R} (K e^{s t}) = 0

Calcule a derivada do primeiro termo

\frac{d}{d t} (K e^{s t}) = s K e^{s t}

Coloque

s K e^{s t}

de volta na equação diferencial:

s C K e^{s t} + \frac{1}{R} K e^{s t} = 0

Agora podemos fatorar

K e^{s t}

(s C + \frac{1}{R}) K e^{s t} = 0

Esta equação representa nosso circuito específico, com a solução proposta. Estamos quase lá. Em seguida, resolvemos as duas constantes e vemos se a equação é verdadeira.

De quantas maneiras podemos fazer o lado esquerdo igual a zero? Três maneiras: qualquer um dos três termos pode ser zero,

K

e^{s t}

(s C + 1 / R)

Uma solução trivial é

K = 0

. Isso equivale a definir a carga inicial do capacitor como

0

e o circuito fica parado sem fazer nada. Isso é muito chato.

Outra solução trivial é fazer

e^{s t} = 0

. Defina

s

como qualquer valor negativo e faça

t

tender a

+ \infty

. A exponencial

e^{- \infty}

tende a se extinguir, o que significa que estamos esperando no tempo infinito que o capacitor se descarregue totalmente. Novamente, não é muito interessante.

Uma solução mais instigante vem a terceira opção:

s C + \frac{1}{R} = 0

Esta equação é verdadeira se:

s = - \frac{1}{RC}

[momento mágico]

Até agora, a nossa solução proposta parece com:

v (t) = K e^{- t / RC}

Quase no fim. Só falta acha o valor de

K

. Examine as condições iniciais do circuito. Lembre-se que o capacitor foi inicialmente carregado com tensão

V_{0}

. Se chamarmos esse instante de

t = 0

, então

v (0) = V_{0} = K e^{- \frac{0}{RC}}

Que conclui que

K = V_{0}

Encontramos um

s

K

para tornar verdadeira a equação diferencial. Terminamos. Toquem os tambores, por favor...

A solução geral para a resposta natural de um circuito

RC

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

Constante de tempo

Um expoente não pode ter unidades. Isto significa que o produto

RC

e^{- t / RC}

tem que ter unidade de tempo, para cancelar o tempo

t

no numerador. Isso significa que

ohms \cdot farads = segundos

, algo que você pode não ter imaginado.

Chamamos o produto de

R

C

de constante de tempo deste circuito, e ele geralmente tem o nome da letra grega

τ

(tau).

τ = RC

E escrevemos a solução como:

v (t) = V_{0} e^{- t / τ}

Quando

t

é igual à constante do tempo, o expoente de

e

torna-se

- 1

, e o termo exponencial é igual a

1 / e

, ou cerca de

0, 37

. A constante de tempo determina quão rapidamente a curva exponencial cai a zero. Após

1

constante de tempo a tensão diminui a

37 %

de seu valor inicial.

Exemplo 1

Para o circuito com resposta natural, sendo

R = 3 k Ω

C = 1 μ F

, e

V_{0} = 1.4 V

a. Escreva a expressão para $v (t)$ ‍
b. Qual o valor de $v (t)$ ‍ quando $t = RC$ ‍ ?
c. Plote $v (t)$ ‍

Solução para o exemplo 1

a. Escreva a expressão para $v (t)$ ‍

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

v (t) = 1.4 e^{- \frac{t}{3 k Ω \cdot 1 μ F}}

v (t) = 1, 4 e^{- \frac{t}{3 \times 10^{3} \cdot 1 \times 10^{- 6}}}

v (t) = 1, 4 e^{- \frac{t}{3 \times 10^{- 3}}}

v (t) = 1, 4 e^{- \frac{t}{3 ms}}

b. Qual o valor de $v (t)$ ‍ quando $t = RC$ ‍ ?

O produto

RC

tem como unidade segundos.

τ = RC = 3 \times 10^{3} \cdot 1 \times 10^{- 6}

τ = 3 \times 10^{- 3} = 3 ms

v (3 ms) = 1, 4 e^{- \frac{3 ms}{3 ms}}

v (3 ms) = 1, 4 e^{- 1}

v (3 ms) = 1, 4 \cdot 0, 3679

v (3 ms) = 0.515 volts

(o círculo no gráfico abaixo)

c. Plote $v (t)$ ‍

circulo

mostra a resposta da parte b:

v (t) = 0, 515 V

quando

t = RC = 3 ms

Uma regra geral útil:

Quando o tempo é igual à constante de tempo,

RC

, a tensão está abaixo de seu valor inicial por um fator de

1 / e

, ou para abaixo aproximadamente

37 %

, do seu valor inicial. Isto é verdadeiro para qualquer tensão inicial e qualquer produto

RC

Exemplo 2

Seja

R = 1 k Ω

C = 1 pF

, e

V_{0} = 1.0 V

a. Escreva a expressão para v(t).
b. Qual é a constante do tempo?
c. Plote $v (t)$ ‍.
d. Quantas constantes de tempo decorrem para a tensão se reduzir de $95 %$ ‍ do seu valor inicial?

Solução do exemplo 2

a. Escreva a expressão para v(t).

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

v (t) = 1, 0 e^{- \frac{t}{1 k Ω \cdot 1 pF}}

v (t) = 1, 0 e^{- \frac{t}{1 \times 10^{- 9}}}

v (t) = 1, 0 e^{- \frac{t}{1 ns}}

b. Qual é a constante de tempo?

τ = RC = 1 k Ω \cdot 1 pF

τ = 1 \times 10^{+ 3} \cdot 1 \times 10^{- 12}

τ = 1 \times 10^{- 9} = 1 ns

c. Plote $v (t)$ ‍.

círculo

mostra a resposta para a parte d.

d. Quantas constantes de tempo decorrem para a tensão se reduzir de $95 %$ ‍ de seu valor inicial?

Vendo o gráfico acima, vemos que a tensão cai para

(1 - 0, 95) \cdot 1 V = 0, 05

volts em aproximadamente

3

ns, o que corresponde a

3

constantes de tempo. Este ponto é marcado pelo

círculo

Outra regra geral

Qualquer transiente

RC

terá praticamente acabado depois de

3

de constantes de tempo . Isto é verdadeiro para qualquer tensão inicial e qualquer produto

RC

Resumo

A resposta natural de um circuito de

RC

é uma exponencial:

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

Onde

V_{0}

é a tensão no tempo

t = 0

A constante de tempo para um circuito

RC

τ = RC

Epílogo

Função $e^{x}$ ‍

A função

e^{x}

cresce (

x > 0

) ou decresce (

x < 0

) em alguma taxa, dependendo de

x

. Existem muitas outras funções com este mesmo formato geral. Qualquer função que se parece com

y^{x}

tem o mesmo formato de curva. Se conseguirmos a mesmo formato com diferentes valores de

y

, como

2^{x}

10^{x}

, o que há de especial com este número irracional

e

? A razão pela qual amamos

e

mais do que qualquer outra escolha é que

e

é o único número para o qual a derivada de

y^{x}

é igual à função. Ou seja, a inclinação da

e^{x}

em qualquer ponto

x

é igual ao valor de

e^{x}

\frac{d e^{x}}{d x} = e^{x}

Sem confusão, sem complicação, exatamente a mesma coisa.

As exponenciais ocorrem na natureza

O problema que acabamos de resolver, a resposta natural de um circuito RC, é uma representação de coisas que ocorrem na natureza com frequência. A função exponencial é um excelente modelo matemático para descrever como as coisas aumentam ou diminuem. Decaimento do urânio, crescimento populacional, pagamentos de hipotecas, aquecimento e resfriamento e outros processos do mundo real. Em termos mais gerais: Funções exponenciais surgem em situações em que a quantidade de variação é proporcional à quantidade de coisas. Para nosso circuito RC, a taxa de variação da tensão é proporcional à tensão. A curva é íngreme quando a tensão é alta e plana quando a tensão cai.

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Resumo

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Modele os componentes

Modele o circuito

Resolva o circuito

Constante de tempo

Exemplo 1

Solução para o exemplo 1

Uma regra geral útil:

Exemplo 2

Solução do exemplo 2

Outra regra geral

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Epílogo

Função ex‍

As exponenciais ocorrem na natureza

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Função $e^{x}$ ‍