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Engenharia elétrica
Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2
Lição 4: Resposta natural e forçada- Equações i-v do capacitor
- Um capacitor integra a corrente
- Equação i-v do capacitor em ação
- Equações do indutor
- Tensão Reversa no Indutor (1 de 2)
- Tensão Reversa no Indutor (2 de 2)
- Equação i-v do indutor em ação
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Resposta RC a um degrau
Como um circuito RC responde um degrau de tensão? Resolvemos a resposta total como a soma da resposta forçada e da natural. A resposta de degrau RC é um comportamento fundamental de todos os circuitos digitais. Escrito por Willy McAllister.
Vamos provocar um degrau abrupto de tensão num circuito resistor-capacitor e observar o que acontece com a tensão no capacitor.
Queremos achar a tensão no capacitor como função do tempo.
Quando algo muda em um circuito, como quando um interruptor fecha, as tensões e correntes nos elementos do circuito se ajustam às novas condições. Se a mudança é um degrau abrupto, como é o caso aqui, a resposta das tensões e correntes é chamada de resposta ao degrau. A resposta ao degrau é uma maneira comum de se dar um "pontapé" num circuito para ver o que ele faz. Ela nos diz muito sobre as propriedades do circuito.
O que estamos construindo
A resposta total de um circuito pode ser dividida em uma resposta forçada mais uma resposta natural. Estas respostas podem ser combinadas usando-se o princípio da superposição.
- A resposta forçada é calculada com as fontes ligadas, mas com as condições iniciais (energia interna armazenada) definidas como zero.
- A resposta natural é o que o circuito faz incluindo-se as condições iniciais, (tensão inicial nos capacitores ou corrente em indutores), mas com a entrada suprimida.
total = forçada + natural
Derivamos a resposta ao degrau de uma rede usando esse método das respostas natural e forçada:
Ache a resposta ao degrau de
Estamos interessados na tensão no capacitor. , em função do tempo. Começamos vendo o que ocorre quando a chave fecha. Em seguida pulamos no tempo para um tempo distante do atual, e imaginamos o que ocorre como o circuito termina. Finalmente, vemos o que acontece entre o fechamento da chave e um tempo distante do atual.
Estado inicial
Antes da chave fechar, , o esquema nos diz que existe um tensão inicial no capacitor: .
Sabemos que a corrente no circuito é porque a chave está aberta. Essas são as condições iniciais do circuito.
Estado final
Se fecharmos a chave em , a corrente começará a fluir no circuito agora fechado. A corrente continuará a fluir enquanto houver um diferença de tensão no resistor.
Em algum momento no futuro, a tensão no capacitor, , se tornará igual à da fonte de tensão, . Quando isso acontecer, a tensão no resistor, , será , e a corrente cairá para . Esse é o estado final do circuito.
Resumo: O circuito se inicia sem nenhuma corrente, e termina sem nenhuma corrente, mas a tensão (e a corrente) realizam algo entre o início e o fim.
Período transitório
Entre o estado inicial e o estado final a corrente e a tensão se adaptam às novas condições impostas pela fonte de tensão. Este é o chamado período transitório, no qual as coisas estão mudando. A mudança em durante esse tempo é a resposta transitória do circuito . No nosso exemplo, o evento de se fechar a chave aplica um degrau de tensão ao circuito , e assim ele também é chamado de resposta ao degrau.
Vamos usar nosso conhecimento dos estados inicial e final, mais o que sabemos sobre e , para chegarmos a um entendimento preciso da resposta transitória.
Análise
Para iniciarmos a análise deste circuito, escrevemos uma equação da corrente para o nó superior direito usando a Lei de Kirschhoff das Correntes. Somamos as correntes fluindo para fora do nó:
Podemos alterar isso para fazê-lo parecer com uma equação diferencial:
Condição inicial:
Esta é a equação diferencial que temos de resolver. O lado direito tem o termo . Isso não é ou uma derivada de . Por isso, dizemos que a equação é não-homogênea.
Resolver uma equação diferencial não-homogênea não é a coisa mais simples do mundo, então vamos criar uma estratégia.
Estratégia: encontrar a resposta natural e a forçada
As duas complicações (sinal de entrada e condições iniciais) tornam a solução de uma equação não-homogênea complicada, pois a matemática pode ser complexa. Nossa estratégia, como de costume, é dividir o problema em partes. Separamos um grande problema em dois problemas mais simples, pela separação da respostas forçada e natural. Resolvendo as respostas forçada e natural separadamente é mais simples do que ir em frente com a equação não-homogênea.
O que é resposta forçada? A resposta forçada é quando a saída (a tensão no o capacitor) vai acabar com o tempo depois que toda as energia armazenada tiver se dissipado. A resposta forçada faz isso ignorando a presença de elementos de armazenamento de energia (neste caso, ela ignora o capacitor e sua tensão inicial).
A resposta forçada não pode nos dizer o que acontece no início quando o interruptor é fechado, ou durante a transição para o estado final, porque ela ignora a energia armazenada. Para isso, precisamos da resposta natural.
A resposta natural nos diz o que o circuito faz com sua energia interna armazenada (a tensão inicial no capacitor) quando ela se dissipa. Ele faz isso ignorando a entrada forçada (a tensão degrau causada pelo fechamento do interruptor). O "destino" da resposta natural é sempre tensão zero e corrente zero.
No final combinamos as respostas forçada e natural para obtermos uma visão do conjunto. A resposta forçada se impõe sobre a resposta natural e dá um destino diferente de zero. Isto nos dá a resposta total.
Forçada mais natural é igual a superposição
A resposta forçada considera os entradas externas.
A resposta natural considera as condições iniciais internas.
Calculamos a resposta total ao somar as duas.
Este é o princípio da superposição em ação.
A resposta natural considera as condições iniciais internas.
Calculamos a resposta total ao somar as duas.
Este é o princípio da superposição em ação.
(Os subscritos , e designam as respostas total, forçada e natural).
Resolvendo um circuito energizado
O método para resolver um circuito energizado por uma fonte externa é:
- Definir as condições iniciais como
e resolver a resposta forçada. - Definir a entrada como
e resolver a resposta natural, - Somar a resposta forçada à resposta natural para obter a resposta total.
- Usar as condições iniciais para resolver qualquer constante.
Resposta forçada do circuito RC
A resposta forçada, , é a parte da resposta total causada diretamente pela entrada, enquanto assumimos que as condições iniciais são todas . Esquecemos as condições iniciais por enquanto e procuramos uma solução para a equação diferencial não-homogênea. A solução para a resposta forçada geralmente é uma versão simplificada da entrada.
Antes de sabemos que a resposta forçada é zero, porque a fonte de tensão é desconectada do resistor e do capacitor.
Para a equação é:
Nosso enfoque é supor uma solução para a resposta forçada, e testá-la. Para a resposta forçada, um bom palpite é algo semelhante à entrada. Uma vez que a entrada é uma constante para , vamos supor que a resposta forçada é também uma constante:
Substituímos na equação diferencial para para ver o que acontece:
A derivada inicial é , nos deixando com:
Então a equação diferencial forçada se torna verdadeira se:
Esta é a nossa resposta forçada:
(Por coincidência, ela é exatamente como a entrada externa.)
Resposta natural do circuito RC
Agora podemos calcular a resposta natural. (Você pode rever a derivação em detalhes em resposta natural RC.) Para a resposta natural, podemos suprimir (desligar, definir como zero) a entrada e calcular o circuito em si.
Desligar a entrada significa que substituiremos a fonte de tensão por um curto-circuito. Quando suprimimos as entradas, o lado direito da equação diferencial não homogênea original torna-se , transformando-a em uma equação diferencial homogênea (E nós sabemos como resolver estas equações).
Propomos uma solução para sob a forma de uma exponencial com dois parâmetros ajustáveis e vamos testá-la.
Isto é inserido na equação diferencial homogênea.
Podemos fatorar o termo comum :
Se e são finitos, nunca e torna . Se algum dos dois se torna , a resposta é trivial. No entanto, temos uma solução não-trivial se:
Isto é a chamada de equação característica do sistema . Vamos ver muito mais disso no futuro.
Isto nos dá a resposta natural:
Resolver essa equação homogênea nos permitiu obter e uma resposta natural. A resposta natural é uma propriedade do circuito , e não depende de alguma função de entrada. Ainda temos que descobrir . Vamos fazer isso daqui a pouco, como parte da resposta total.
Resposta total = resposta forçada + resposta natural
A resposta forçada levou em conta o sinal de entrada.
A resposta natural levou em conta as condições internas iniciais.
Agora vamos juntá-las para obter a resposta total, que é engloba as duas.
A resposta natural levou em conta as condições internas iniciais.
Agora vamos juntá-las para obter a resposta total, que é engloba as duas.
Usamos as condições iniciais para encontrar
Este é o ponto onde usamos as condições iniciais para descobrir . Sabemos a resposta total no tempo tem que ser (a resposta total, não apenas a resposta natural). Vamos inserir o que sabemos sobre na equação resposta total:
A expressão exponencial se torna , e ficamos com:
Montamos a resposta total
Agora colocamos na resposta total e obtemos:
E isso é tudo. Esta é a resposta total a um degrau de tensão para uma combinação série .
Se o capacitor não tiver tensão inicial, , a equação para a resposta total é:
ou
Observações finais
O que a resposta forçada significa? A resposta forçada basicamente ignora tanto a energia armazenada no capacitor quanto a tensão inicial. A resposta forçada nos diz onde a tensão de saída vai terminar com o tempo após toda a energia armazenada se dissipar.
A resposta forçada não diz o que acontece no início, ou durante a transição para o estado final, porque ela ignora a energia armazenada.
A resposta natural nos diz o que um circuito isolado vai fazer, uma vez que a sua energia armazenada vai se dissipar. O "destino" da resposta natural é sempre zero. A resposta forçada dá à resposta natural um novo destino. No nosso exemplo, o novo destino era .
Resumo
Falamos sobre como resolver um circuito resistor-capacitor acionado por uma tensão. Usamos a Lei de Kirchhoff das Correntes para criar uma equação diferencial que representa o circuito. Então resolvemos isso pelo método da resposta forçada e natural.
- A resposta forçada é o que o circuito faz com as fontes ligadas, mas com as condições iniciais zeradas.
- A resposta natural é o que o circuito faz incluindo as condições iniciais, mas com a entrada suprimida.
- A resposta total é a soma da resposta forçada mais a resposta natural. Estas respostas podem ser combinadas usando-se o princípio da superposição.
resposta total = resposta forçada + resposta natural
Para uma rede série, a resposta ao degrau é:
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