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Engenharia elétrica

Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2

Lição 4: Resposta natural e forçada

Resposta RC a um degrau

Como um circuito RC responde um degrau de tensão? Resolvemos a resposta total como a soma da resposta forçada e da natural. A resposta de degrau RC é um comportamento fundamental de todos os circuitos digitais. Escrito por Willy McAllister.

Vamos provocar um degrau abrupto de tensão num circuito resistor-capacitor left parenthesis, start text, R, C, end text, right parenthesis e observar o que acontece com a tensão no capacitor.

Queremos achar a tensão start color #ff9c39, v, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #ff9c39 no capacitor como função do tempo.

Quando algo muda em um circuito, como quando um interruptor fecha, as tensões e correntes nos elementos do circuito se ajustam às novas condições. Se a mudança é um degrau abrupto, como é o caso aqui, a resposta das tensões e correntes é chamada de resposta ao degrau. A resposta ao degrau é uma maneira comum de se dar um "pontapé" num circuito para ver o que ele faz. Ela nos diz muito sobre as propriedades do circuito.

O que estamos construindo

A resposta total de um circuito pode ser dividida em uma resposta forçada mais uma resposta natural. Estas respostas podem ser combinadas usando-se o princípio da superposição.

A resposta forçada é calculada com as fontes ligadas, mas com as condições iniciais (energia interna armazenada) definidas como zero.
A resposta natural é o que o circuito faz incluindo-se as condições iniciais, (tensão inicial nos capacitores ou corrente em indutores), mas com a entrada suprimida.

total = forçada + natural

Derivamos a resposta ao degrau de uma rede start text, R, end text, start text, C, end text usando esse método das respostas natural e forçada:

v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, plus, left parenthesis, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, minus, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, right parenthesis, e, start superscript, minus, t, slash, start text, R, C, end text, end superscript

start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript é a amplitude do degrau de tensão.
start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript é a tensão inicial no capacitor.

Ache a resposta ao degrau de start text, R, C, end text

Estamos interessados na tensão no capacitor. v, em função do tempo. Começamos vendo o que ocorre quando a chave fecha. Em seguida pulamos no tempo para um tempo distante do atual, e imaginamos o que ocorre como o circuito termina. Finalmente, vemos o que acontece entre o fechamento da chave e um tempo distante do atual.

Estado inicial

Antes da chave fechar, left parenthesis, t, is less than, 0, right parenthesis, o esquema nos diz que existe um tensão inicial no capacitor: v, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript.

Sabemos que a corrente no circuito é 0 porque a chave está aberta. Essas são as condições iniciais do circuito.

Estado final

Se fecharmos a chave em t, equals, 0, a corrente começará a fluir no circuito agora fechado. A corrente continuará a fluir enquanto houver um diferença de tensão no resistor.

Em algum momento no futuro, a tensão no capacitor, v, se tornará igual à da fonte de tensão, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript. Quando isso acontecer, a tensão no resistor, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, minus, v, será 0, e a corrente cairá para 0. Esse é o estado final do circuito.

Resumo: O circuito se inicia sem nenhuma corrente, e termina sem nenhuma corrente, mas a tensão (e a corrente) realizam algo entre o início e o fim.

Período transitório

Entre o estado inicial e o estado final a corrente e a tensão se adaptam às novas condições impostas pela fonte de tensão. Este é o chamado período transitório, no qual as coisas estão mudando. A mudança em v durante esse tempo é a resposta transitória do circuito start text, R, C, end text. No nosso exemplo, o evento de se fechar a chave aplica um degrau de tensão ao circuito start text, R, C, end text, e assim ele também é chamado de resposta ao degrau.

Vamos usar nosso conhecimento dos estados inicial e final, mais o que sabemos sobre start text, R, end text e start text, C, end text, para chegarmos a um entendimento preciso da resposta transitória.

Análise

Para iniciarmos a análise deste circuito, escrevemos uma equação da corrente para o nó superior direito usando a Lei de Kirschhoff das Correntes. Somamos as correntes fluindo para fora do nó:

\begin{array}{cccl} i_\text R &+ &i_\text C &= 0 \\ \\ \dfrac{v - \text V_\text S}{\text R} &+ &\text C\,\dfrac{dv}{dt} &= 0 & \end{array}

Podemos alterar isso para fazê-lo parecer com uma equação diferencial:

start fraction, v, divided by, start text, R, end text, end fraction, minus, start fraction, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, divided by, start text, R, end text, end fraction, plus, start text, C, end text, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction, equals, 0

start text, C, end text, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, v, divided by, start text, R, end text, end fraction, equals, start fraction, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, divided by, start text, R, end text, end fraction

start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, v, divided by, start text, R, C, end text, end fraction, equals, start fraction, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, divided by, start text, R, C, end text, end fraction

Condição inicial:v, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

Esta é a equação diferencial que temos de resolver. O lado direito tem o termo start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, slash, start text, R, C, end text. Isso não é v ou uma derivada de v. Por isso, dizemos que a equação é não-homogênea.

Resolver uma equação diferencial não-homogênea não é a coisa mais simples do mundo, então vamos criar uma estratégia.

Estratégia: encontrar a resposta natural e a forçada

As duas complicações (sinal de entrada e condições iniciais) tornam a solução de uma equação não-homogênea complicada, pois a matemática pode ser complexa. Nossa estratégia, como de costume, é dividir o problema em partes. Separamos um grande problema em dois problemas mais simples, pela separação da respostas forçada e natural. Resolvendo as respostas forçada e natural separadamente é mais simples do que ir em frente com a equação não-homogênea.

O que é resposta forçada? A resposta forçada é quando a saída (a tensão no o capacitor) vai acabar com o tempo depois que toda as energia armazenada tiver se dissipado. A resposta forçada faz isso ignorando a presença de elementos de armazenamento de energia (neste caso, ela ignora o capacitor e sua tensão inicial).

A resposta forçada não pode nos dizer o que acontece no início quando o interruptor é fechado, ou durante a transição para o estado final, porque ela ignora a energia armazenada. Para isso, precisamos da resposta natural.

A resposta natural nos diz o que o circuito faz com sua energia interna armazenada (a tensão inicial no capacitor) quando ela se dissipa. Ele faz isso ignorando a entrada forçada (a tensão degrau causada pelo fechamento do interruptor). O "destino" da resposta natural é sempre tensão zero e corrente zero.

No final combinamos as respostas forçada e natural para obtermos uma visão do conjunto. A resposta forçada se impõe sobre a resposta natural e dá um destino diferente de zero. Isto nos dá a resposta total.

Forçada mais natural é igual a superposição

A resposta forçada considera os entradas externas.
A resposta natural considera as condições iniciais internas.
Calculamos a resposta total ao somar as duas.
Este é o princípio da superposição em ação.

\begin{array}{c l c c} && \underline{\text{condições iniciais}}& \underline{\text{Entradas}} \\ & \text{resposta forçada} & 0 & {in(t)} \\ + &\text{resposta natural} & \text{i.c.'s} & 0 \\ = & \overline{\text{resposta total}\phantom{xxx}} & \text{i.c.'s} & {in(t)} \end{array}

v, start subscript, t, end subscript, equals, v, start subscript, f, end subscript, plus, v, start subscript, n, end subscript

(Os subscritos start subscript, t, end subscript, start subscript, f, end subscript e start subscript, n, end subscript designam as respostas total, forçada e natural).

[Outros nomes para a mesma coisa.]

Resolvendo um circuito energizado

O método para resolver um circuito energizado por uma fonte externa é:

Definir as condições iniciais como 0 e resolver a resposta forçada.
Definir a entrada como 0 e resolver a resposta natural,
Somar a resposta forçada à resposta natural para obter a resposta total.
Usar as condições iniciais para resolver qualquer constante.

Resposta forçada do circuito RC

A resposta forçada, start color #e07d10, v, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #e07d10, é a parte da resposta total causada diretamente pela entrada, enquanto assumimos que as condições iniciais são todas 0. Esquecemos as condições iniciais por enquanto e procuramos uma solução para a equação diferencial não-homogênea. A solução para a resposta forçada geralmente é uma versão simplificada da entrada.

Antes de t, equals, 0 sabemos que a resposta forçada é zero, porque a fonte de tensão é desconectada do resistor e do capacitor.

Para t, is greater than, 0 a equação é:

start fraction, d, v, start subscript, f, end subscript, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, v, start subscript, f, end subscript, divided by, start text, R, C, end text, end fraction, equals, start fraction, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, divided by, start text, R, C, end text, end fraction

Nosso enfoque é supor uma solução para a resposta forçada, v, start subscript, f, end subscript e testá-la. Para a resposta forçada, um bom palpite é algo semelhante à entrada. Uma vez que a entrada é uma constante para t, is greater than, 0, vamos supor que a resposta forçada é também uma constante:

v, start subscript, f, end subscript, equals, K, start subscript, f, end subscript

Substituímos na equação diferencial para t, is greater than, 0 para ver o que acontece:

start fraction, d, K, start subscript, f, end subscript, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, K, start subscript, f, end subscript, divided by, start text, R, C, end text, end fraction, equals, start fraction, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, divided by, start text, R, C, end text, end fraction

A derivada inicial é 0, nos deixando com:

start fraction, K, start subscript, f, end subscript, divided by, start text, R, C, end text, end fraction, equals, start fraction, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, divided by, start text, R, C, end text, end fraction

Então a equação diferencial forçada se torna verdadeira se:

v, start subscript, f, end subscript, equals, K, start subscript, f, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript

Esta é a nossa resposta forçada:

(Por coincidência, ela é exatamente como a entrada externa.)

Resposta natural do circuito RC

Agora podemos calcular a resposta natural. (Você pode rever a derivação em detalhes em resposta natural RC.) Para a resposta natural, podemos suprimir (desligar, definir como zero) a entrada e calcular o circuito em si.

Desligar a entrada significa que substituiremos a fonte de tensão por um curto-circuito. Quando suprimimos as entradas, o lado direito da equação diferencial não homogênea original torna-se 0, transformando-a em uma equação diferencial homogênea (E nós sabemos como resolver estas equações).

start fraction, d, v, start subscript, n, end subscript, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, v, start subscript, n, end subscript, divided by, start text, R, C, end text, end fraction, equals, 0

Propomos uma solução para v, start subscript, n, end subscript sob a forma de uma exponencial com dois parâmetros ajustáveis e vamos testá-la.

v, start subscript, n, end subscript, equals, K, start subscript, n, end subscript, e, start superscript, s, t, end superscript

Isto é inserido na equação diferencial homogênea.

s, K, start subscript, n, end subscript, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, C, end text, end fraction, K, start subscript, n, end subscript, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0

Podemos fatorar o termo comum K, start subscript, n, end subscript, e, start superscript, s, t, end superscript:

K, start subscript, n, end subscript, e, start superscript, s, t, end superscript, left parenthesis, s, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, C, end text, end fraction, right parenthesis, equals, 0

Se K, start subscript, n, end subscript e e, start superscript, s, t, end superscript são finitos, K, start subscript, n, end subscript, e, start superscript, s, t, end superscript nunca e torna 0. Se algum dos dois se torna 0, a resposta é trivial. No entanto, temos uma solução não-trivial se:

s, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, C, end text, end fraction, equals, 0

Isto é a chamada de equação característica do sistema start text, R, C, end text. Vamos ver muito mais disso no futuro.

s, equals, minus, start fraction, 1, divided by, start text, R, C, end text, end fraction

Isto nos dá a resposta natural:

v, start subscript, n, end subscript, equals, K, start subscript, n, end subscript, e, start superscript, minus, t, slash, start text, R, C, end text, end superscript

Resolver essa equação homogênea nos permitiu obter s e uma resposta natural. A resposta natural é uma propriedade do circuito start text, R, C, end text, e não depende de alguma função de entrada. Ainda temos que descobrir K, start subscript, n, end subscript. Vamos fazer isso daqui a pouco, como parte da resposta total.

Resposta total = resposta forçada + resposta natural

A resposta forçada levou em conta o sinal de entrada.
A resposta natural levou em conta as condições internas iniciais.
Agora vamos juntá-las para obter a resposta total, que é engloba as duas.

v, start subscript, t, end subscript, equals, v, start subscript, f, end subscript, plus, v, start subscript, n, end subscript

v, start subscript, t, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, plus, K, start subscript, n, end subscript, e, start superscript, minus, t, slash, start text, R, C, end text, end superscript

Usamos as condições iniciais para encontrar K, start subscript, n, end subscript

Este é o ponto onde usamos as condições iniciais para descobrir K, start subscript, n, end subscript. Sabemos a resposta total no tempo t, equals, 0 tem que ser v, start subscript, t, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript (a resposta total, não apenas a resposta natural). Vamos inserir o que sabemos sobre t, equals, 0 na equação resposta total:

start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, plus, K, start subscript, n, end subscript, e, start superscript, minus, 0, slash, start text, R, C, end text, end superscript

A expressão exponencial se torna 1, e ficamos com:

start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, plus, K, start subscript, n, end subscript

K, start subscript, n, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, minus, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript

Montamos a resposta total

Agora colocamos start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, minus, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript na resposta total e obtemos:

v, start subscript, t, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, plus, left parenthesis, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, minus, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, right parenthesis, e, start superscript, minus, t, slash, start text, R, C, end text, end superscript

E isso é tudo. Esta é a resposta total a um degrau de tensão para uma combinação série start text, R, C, end text.

Se o capacitor não tiver tensão inicial, v, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 0, a equação para a resposta total é:

v, start subscript, t, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, minus, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, e, start superscript, minus, t, slash, start text, R, C, end text, end superscript

v, start subscript, t, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, left parenthesis, 1, minus, e, start superscript, minus, t, slash, start text, R, C, end text, end superscript, right parenthesis

Observações finais

O que a resposta forçada significa? A resposta forçada basicamente ignora tanto a energia armazenada no capacitor quanto a tensão inicial. A resposta forçada nos diz onde a tensão de saída vai terminar com o tempo após toda a energia armazenada se dissipar.

A resposta forçada não diz o que acontece no início, ou durante a transição para o estado final, porque ela ignora a energia armazenada.

A resposta natural nos diz o que um circuito isolado vai fazer, uma vez que a sua energia armazenada vai se dissipar. O "destino" da resposta natural é sempre zero. A resposta forçada dá à resposta natural um novo destino. No nosso exemplo, o novo destino era start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript.

Resumo

Falamos sobre como resolver um circuito resistor-capacitor acionado por uma tensão. Usamos a Lei de Kirchhoff das Correntes para criar uma equação diferencial que representa o circuito. Então resolvemos isso pelo método da resposta forçada e natural.

A resposta forçada é o que o circuito faz com as fontes ligadas, mas com as condições iniciais zeradas.
A resposta natural é o que o circuito faz incluindo as condições iniciais, mas com a entrada suprimida.
A resposta total é a soma da resposta forçada mais a resposta natural. Estas respostas podem ser combinadas usando-se o princípio da superposição.

resposta total = resposta forçada + resposta natural

Para uma rede start text, R, end text, start text, C, end text série, a resposta ao degrau é:

v, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, plus, left parenthesis, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, minus, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, right parenthesis, e, start superscript, minus, t, slash, start text, R, C, end text, end superscript

start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript é o degrau de tensão e start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript é a tensão inicial no capacitor.

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