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Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2

Lição 4: Resposta natural e forçada

Resposta RC a um degrau

Como um circuito RC responde um degrau de tensão? Resolvemos a resposta total como a soma da resposta forçada e da natural. A resposta de degrau RC é um comportamento fundamental de todos os circuitos digitais. Escrito por Willy McAllister.

Vamos provocar um degrau abrupto de tensão num circuito resistor-capacitor

(RC)

e observar o que acontece com a tensão no capacitor.

Queremos achar a tensão

v (t)

no capacitor como função do tempo.

Quando algo muda em um circuito, como quando um interruptor fecha, as tensões e correntes nos elementos do circuito se ajustam às novas condições. Se a mudança é um degrau abrupto, como é o caso aqui, a resposta das tensões e correntes é chamada de resposta ao degrau. A resposta ao degrau é uma maneira comum de se dar um "pontapé" num circuito para ver o que ele faz. Ela nos diz muito sobre as propriedades do circuito.

O que estamos construindo

A resposta total de um circuito pode ser dividida em uma resposta forçada mais uma resposta natural. Estas respostas podem ser combinadas usando-se o princípio da superposição.

A resposta forçada é calculada com as fontes ligadas, mas com as condições iniciais (energia interna armazenada) definidas como zero.
A resposta natural é o que o circuito faz incluindo-se as condições iniciais, (tensão inicial nos capacitores ou corrente em indutores), mas com a entrada suprimida.

total = forçada + natural

Derivamos a resposta ao degrau de uma rede

R C

usando esse método das respostas natural e forçada:

v (t) = V_{S} + (V_{0} - V_{S}) e^{- t / RC}

V_{S}

é a amplitude do degrau de tensão.

V_{0}

é a tensão inicial no capacitor.

Ache a resposta ao degrau de $RC$ ‍

Estamos interessados na tensão no capacitor.

v

, em função do tempo. Começamos vendo o que ocorre quando a chave fecha. Em seguida pulamos no tempo para um tempo distante do atual, e imaginamos o que ocorre como o circuito termina. Finalmente, vemos o que acontece entre o fechamento da chave e um tempo distante do atual.

Estado inicial

Antes da chave fechar,

(t < 0)

, o esquema nos diz que existe um tensão inicial no capacitor:

v (0) = V_{0}

Sabemos que a corrente no circuito é

0

porque a chave está aberta. Essas são as condições iniciais do circuito.

Estado final

Se fecharmos a chave em

t = 0

, a corrente começará a fluir no circuito agora fechado. A corrente continuará a fluir enquanto houver um diferença de tensão no resistor.

Em algum momento no futuro, a tensão no capacitor,

v

, se tornará igual à da fonte de tensão,

V_{S}

. Quando isso acontecer, a tensão no resistor,

V_{S} - v

, será

0

, e a corrente cairá para

0

. Esse é o estado final do circuito.

Resumo: O circuito se inicia sem nenhuma corrente, e termina sem nenhuma corrente, mas a tensão (e a corrente) realizam algo entre o início e o fim.

Período transitório

Entre o estado inicial e o estado final a corrente e a tensão se adaptam às novas condições impostas pela fonte de tensão. Este é o chamado período transitório, no qual as coisas estão mudando. A mudança em

v

durante esse tempo é a resposta transitória do circuito

RC

. No nosso exemplo, o evento de se fechar a chave aplica um degrau de tensão ao circuito

RC

, e assim ele também é chamado de resposta ao degrau.

Vamos usar nosso conhecimento dos estados inicial e final, mais o que sabemos sobre

R

C

, para chegarmos a um entendimento preciso da resposta transitória.

Análise

Para iniciarmos a análise deste circuito, escrevemos uma equação da corrente para o nó superior direito usando a Lei de Kirschhoff das Correntes. Somamos as correntes fluindo para fora do nó:

\begin{array}{cccl} i_{R} & + & i_{C} & = 0 \\ \frac{v - V_{S}}{R} & + & C \frac{d v}{d t} & = 0 \end{array}

Podemos alterar isso para fazê-lo parecer com uma equação diferencial:

\frac{v}{R} - \frac{V_{S}}{R} + C \frac{d v}{d t} = 0

C \frac{d v}{d t} + \frac{v}{R} = \frac{V_{S}}{R}

\frac{d v}{d t} + \frac{v}{RC} = \frac{V_{S}}{RC}

Condição inicial:

v (0) = V_{0}

Esta é a equação diferencial que temos de resolver. O lado direito tem o termo

V_{S} / RC

. Isso não é

v

ou uma derivada de

v

. Por isso, dizemos que a equação é não-homogênea.

Resolver uma equação diferencial não-homogênea não é a coisa mais simples do mundo, então vamos criar uma estratégia.

Estratégia: encontrar a resposta natural e a forçada

As duas complicações (sinal de entrada e condições iniciais) tornam a solução de uma equação não-homogênea complicada, pois a matemática pode ser complexa. Nossa estratégia, como de costume, é dividir o problema em partes. Separamos um grande problema em dois problemas mais simples, pela separação da respostas forçada e natural. Resolvendo as respostas forçada e natural separadamente é mais simples do que ir em frente com a equação não-homogênea.

O que é resposta forçada? A resposta forçada é quando a saída (a tensão no o capacitor) vai acabar com o tempo depois que toda as energia armazenada tiver se dissipado. A resposta forçada faz isso ignorando a presença de elementos de armazenamento de energia (neste caso, ela ignora o capacitor e sua tensão inicial).

A resposta forçada não pode nos dizer o que acontece no início quando o interruptor é fechado, ou durante a transição para o estado final, porque ela ignora a energia armazenada. Para isso, precisamos da resposta natural.

A resposta natural nos diz o que o circuito faz com sua energia interna armazenada (a tensão inicial no capacitor) quando ela se dissipa. Ele faz isso ignorando a entrada forçada (a tensão degrau causada pelo fechamento do interruptor). O "destino" da resposta natural é sempre tensão zero e corrente zero.

No final combinamos as respostas forçada e natural para obtermos uma visão do conjunto. A resposta forçada se impõe sobre a resposta natural e dá um destino diferente de zero. Isto nos dá a resposta total.

Forçada mais natural é igual a superposição

A resposta forçada considera os entradas externas.
A resposta natural considera as condições iniciais internas.
Calculamos a resposta total ao somar as duas.
Este é o princípio da superposição em ação.

\begin{array}{clcc} \underset{―}{condições iniciais} & \underset{―}{Entradas} \\ resposta forçada & 0 & i n (t) \\ + & resposta natural & i.c.’s & 0 \\ = & \overset{―}{resposta total} & i.c.’s & i n (t) \end{array}

v_{t} = v_{f} + v_{n}

(Os subscritos

_{t}

_{f}

_{n}

designam as respostas total, forçada e natural).

Em matemática, o método é descrito com estes termos:

\begin{array}{clcc} \underset{―}{Condições iniciais} & \underset{―}{Entradas} \\ solução particular & 0 & e n (t) \\ + & solução homogênea & c.i.(s) & 0 \\ = & \overset{―}{solução completa} & c.i.(s) & e n (t) \end{array}

A solução homogênea também pode ser chamada de solução complementar.

Mais jargão: Nossa equação diferencial é uma equação diferencial ordinária diferencial não-homogênea de primeira-ordem com coeficientes-constantes. Quanta coisa!

Homogênea significa que os termos da equação contêm $v$ ‍ e/ou derivados de $v$ ‍ e nada mais. Ou seja, não há nenhum termo constante.
Não-homogênea significa que há algum termo além de $v$ ‍ ou derivados de $v$ ‍. É como a equação para o circuito $RC$ ‍ energizado.
Primeira-ordem significa que a derivada mais alta é a primeira derivada.
Coeficientes constantes significa que os valores dos componentes $(R, C, etc.)$ ‍ não variam com o tempo.
Ordinária significa que há apenas uma única variável independente, $t$ ‍.

Resolvendo um circuito energizado

O método para resolver um circuito energizado por uma fonte externa é:

Definir as condições iniciais como $0$ ‍ e resolver a resposta forçada.
Definir a entrada como $0$ ‍ e resolver a resposta natural,
Somar a resposta forçada à resposta natural para obter a resposta total.
Usar as condições iniciais para resolver qualquer constante.

Resposta forçada do circuito RC

A resposta forçada,

v_{f} (t)

, é a parte da resposta total causada diretamente pela entrada, enquanto assumimos que as condições iniciais são todas

0

. Esquecemos as condições iniciais por enquanto e procuramos uma solução para a equação diferencial não-homogênea. A solução para a resposta forçada geralmente é uma versão simplificada da entrada.

Antes de

t = 0

sabemos que a resposta forçada é zero, porque a fonte de tensão é desconectada do resistor e do capacitor.

Para

t > 0

a equação é:

\frac{d v_{f}}{d t} + \frac{v_{f}}{RC} = \frac{V_{S}}{RC}

Nosso enfoque é supor uma solução para a resposta forçada,

v_{f}

e testá-la. Para a resposta forçada, um bom palpite é algo semelhante à entrada. Uma vez que a entrada é uma constante para

t > 0

, vamos supor que a resposta forçada é também uma constante:

v_{f} = K_{f}

Substituímos na equação diferencial para

t > 0

para ver o que acontece:

\frac{d K_{f}}{d t} + \frac{K_{f}}{RC} = \frac{V_{S}}{RC}

A derivada inicial é

0

, nos deixando com:

\frac{K_{f}}{RC} = \frac{V_{S}}{RC}

Então a equação diferencial forçada se torna verdadeira se:

v_{f} = K_{f} = V_{S}

Esta é a nossa resposta forçada:

(Por coincidência, ela é exatamente como a entrada externa.)

Resposta natural do circuito RC

Agora podemos calcular a resposta natural. (Você pode rever a derivação em detalhes em resposta natural RC.) Para a resposta natural, podemos suprimir (desligar, definir como zero) a entrada e calcular o circuito em si.

Desligar a entrada significa que substituiremos a fonte de tensão por um curto-circuito. Quando suprimimos as entradas, o lado direito da equação diferencial não homogênea original torna-se

0

, transformando-a em uma equação diferencial homogênea (E nós sabemos como resolver estas equações).

\frac{d v_{n}}{d t} + \frac{v_{n}}{RC} = 0

Propomos uma solução para

v_{n}

sob a forma de uma exponencial com dois parâmetros ajustáveis e vamos testá-la.

v_{n} = K_{n} e^{s t}

Isto é inserido na equação diferencial homogênea.

s K_{n} e^{s t} + \frac{1}{RC} K_{n} e^{s t} = 0

Podemos fatorar o termo comum

K_{n} e^{s t}

K_{n} e^{s t} (s + \frac{1}{RC}) = 0

K_{n}

e^{s t}

são finitos,

K_{n} e^{s t}

nunca e torna

0

. Se algum dos dois se torna

0

, a resposta é trivial. No entanto, temos uma solução não-trivial se:

s + \frac{1}{RC} = 0

Isto é a chamada de equação característica do sistema

RC

. Vamos ver muito mais disso no futuro.

s = - \frac{1}{RC}

Isto nos dá a resposta natural:

v_{n} = K_{n} e^{- t / RC}

Resolver essa equação homogênea nos permitiu obter

s

e uma resposta natural. A resposta natural é uma propriedade do circuito

RC

, e não depende de alguma função de entrada. Ainda temos que descobrir

K_{n}

. Vamos fazer isso daqui a pouco, como parte da resposta total.

Resposta total = resposta forçada + resposta natural

A resposta forçada levou em conta o sinal de entrada.
A resposta natural levou em conta as condições internas iniciais.
Agora vamos juntá-las para obter a resposta total, que é engloba as duas.

v_{t} = v_{f} + v_{n}

v_{t} = V_{S} + K_{n} e^{- t / RC}

Usamos as condições iniciais para encontrar $K_{n}$ ‍

Este é o ponto onde usamos as condições iniciais para descobrir

K_{n}

. Sabemos a resposta total no tempo

t = 0

tem que ser

v_{t} = V_{0}

(a resposta total, não apenas a resposta natural). Vamos inserir o que sabemos sobre

t = 0

na equação resposta total:

V_{0} = V_{S} + K_{n} e^{- 0 / RC}

A expressão exponencial se torna

1

, e ficamos com:

V_{0} = V_{S} + K_{n}

K_{n} = V_{0} - V_{S}

Montamos a resposta total

Agora colocamos

V_{0} - V_{S}

na resposta total e obtemos:

v_{t} = V_{S} + (V_{0} - V_{S}) e^{- t / RC}

E isso é tudo. Esta é a resposta total a um degrau de tensão para uma combinação série

RC

Se o capacitor não tiver tensão inicial,

v (0) = 0

, a equação para a resposta total é:

v_{t} = V_{S} - V_{S} e^{- t / RC}

v_{t} = V_{S} (1 - e^{- t / RC})

Observações finais

O que a resposta forçada significa? A resposta forçada basicamente ignora tanto a energia armazenada no capacitor quanto a tensão inicial. A resposta forçada nos diz onde a tensão de saída vai terminar com o tempo após toda a energia armazenada se dissipar.

A resposta forçada não diz o que acontece no início, ou durante a transição para o estado final, porque ela ignora a energia armazenada.

A resposta natural nos diz o que um circuito isolado vai fazer, uma vez que a sua energia armazenada vai se dissipar. O "destino" da resposta natural é sempre zero. A resposta forçada dá à resposta natural um novo destino. No nosso exemplo, o novo destino era

V_{S}

Resumo

Falamos sobre como resolver um circuito resistor-capacitor acionado por uma tensão. Usamos a Lei de Kirchhoff das Correntes para criar uma equação diferencial que representa o circuito. Então resolvemos isso pelo método da resposta forçada e natural.

A resposta forçada é o que o circuito faz com as fontes ligadas, mas com as condições iniciais zeradas.
A resposta natural é o que o circuito faz incluindo as condições iniciais, mas com a entrada suprimida.
A resposta total é a soma da resposta forçada mais a resposta natural. Estas respostas podem ser combinadas usando-se o princípio da superposição.

resposta total = resposta forçada + resposta natural

Para uma rede

R C

série, a resposta ao degrau é:

v = V_{S} + (V_{0} - V_{S}) e^{- t / RC}

V_{S}

é o degrau de tensão e

V_{0}