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Engenharia elétrica

Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2

Lição 4: Resposta natural e forçada

Resposta natural RLC - derivação

Uma derivação formal da resposta natural do circuito RLC. Escrito por Willy McAllister.

Introdução

Vamos dar uma olhada profunda na resposta natural de um circuito resistor-indutor-capacitor

(RLC)

. Este é o último circuito que analisaremos com o tratamento da equação diferencial completa.

O circuito

RLC

é representativo de circuitos reais que nós realmente podemos construir, já que cada circuito real tem alguma resistência finita. Este circuito tem um comportamento complexo e rico que encontra aplicação em muitas áreas da engenharia elétrica.

O que estamos construindo

Nós vamos modelar o circuito

RLC

com uma equação diferencial linear de

2

ª ordem com a corrente,

i

, sendo uma variável independente:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

A equação característica resultante é:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Vamos encontrar as raízes da equação característica usando a fórmula de Bhaskara:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Substituindo as variáveis

α

ω_{o}

podemos escrever

s

de forma um pouco mais simples:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

onde

α = \frac{R}{2 L}

, e

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

α

é chamado de fator de amortecimento e

ω_{0}

é a frequência de ressonância.

Vamos resolver um exemplo de circuito

RLC

com valores de componentes específicos e descobrir como a corrente e as tensões se parecem.

Estratégia

Seguimos a mesma linha de raciocínio que usamos para resolver o circuito de segunda ordem LC em um artigo anterior.

Crie uma equação diferencial de segunda ordem com base nas equações de $i$ ‍- $v$ ‍ para os componentes $R$ ‍, $L$ ‍, e $C$ ‍. Usaremos a Lei de Kirchhoff das Tensões para construir a equação.
Chute uma solução de forma consciente. Como de costume, nosso palpite será uma função exponencial do tipo $K e^{s t}$ ‍.
Insira a solução proposta na equação diferencial. Os termos exponenciais serão fatorados, deixando-nos com uma equação característica na variável $s$ ‍.
Encontre as raízes da equação característica. Desta vez, precisaremos usar a fórmula quadrática para calcular as raízes.
Encontre as constantes ao calcular para as condições iniciais.
Celebre a solução.

Modele o circuito com uma equação diferencial

[notas sobre a atribuição de tensão]

Quando o interruptor é fechado, o circuito fica assim (agora com as tensões rotuladas no indutor e no resistor,

v_{L}

v_{R}

Para cada elemento individual, podemos escrever as equações de

i

v

v_{L} = L \frac{d i}{d t}

v_{R} = - i R

v_{C} = \frac{1}{C} \int - i d t

Podemos escrever a Lei de Kichhoff das Tensões (LKT), começando pelo canto inferior esquerdo e somando as tensões ao longo da malha no sentido horário. O indutor tem um aumento de tensão, enquanto o resistor e o capacitor sofrem uma queda de tensão.

+ v_{L} - v_{R} - v_{C} = 0

Substituindo os termos de

v

pelos termos correspondentes em função de

i

, temos:

L \frac{d i}{d t} + R i + \frac{1}{C} \int i d t = 0

Se quiséssemos, poderíamos atacar esta equação e tentar resolvê-la, mas o termo integral é estranho de se lidar. Podemos sumir com essa integral, se tirarmos a derivada da equação inteira.

\frac{d}{d t} [L \frac{d i}{d t} + R i + \frac{1}{C} \int i d t = 0]

Isto nos fornece a seguinte equação com uma derivada segunda, uma derivada primeira e um termo simples em

i

, tudo ainda continua igual a

0

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

Essa equação é chamada de equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem. É homogênea porque cada termo é relacionado ao

i

e seus derivados. É de segunda ordem porque a derivada mais alta é uma derivada de segunda ordem. É ordinária porque há apenas uma variável independente (sem derivadas parciais). Agora podemos resolver nossa equação diferencial.

Proponha uma solução

Tal como fizemos com problemas anteriores de resposta natural (RC, RL e LC), assumimos uma solução com uma forma exponencial. Funções exponenciais têm a incrível propriedade de que as derivadas se parecem muito com a função original. Quando você tem várias derivadas participando em uma equação diferencial, é realmente bom quando elas se parecem. Assumimos uma solução com este formato:

i (t) = K e^{s t}

K

é um parâmetro ajustável que representa a amplitude da corrente.

s

está no expoente ao lado de

t

, então ele deve representar algum tipo de frequência (

s

precisa estar em unidades de

1 / t

). Chamamos isto de frequência natural.

Tente a solução proposta

Em seguida, substitua a solução proposta na equação diferencial. Se a equação for verdadeira, então, nossa solução é vencedora.

L \frac{d^{2}}{d t^{2}} K e^{s t} + R \frac{d}{d t} K e^{s t} + \frac{1}{C} K e^{s t} = 0

Agora, vamos trabalhar sobre os termos com derivadas.

Termo do meio: A primeira derivada do termo

R

R \frac{d}{d t} K e^{s t} = s R K e^{s t}

Termo principal: tiramos a derivada do termo principal

K e^{s t}

duas vezes:

\frac{d}{d t} K e^{s t} = s K e^{s t}

\frac{d}{d t} s K e^{s t} = s^{2} K e^{s t}

logo, o termo principal se torna:

L \frac{d^{2}}{d t^{2}} K e^{s t} = s^{2} L K e^{s t}

Substitua-os de volta na equação diferencial:

s^{2} L K e^{s t} + s R K e^{s t} + \frac{1}{C} K e^{s t} = 0

Agora podemos fatorar o termo comum

K e^{s t}

K e^{s t} (s^{2} L + s R + \frac{1}{C}) = 0

Torne a equação verdadeira

Agora, vamos descobrir quantas maneiras existem para que possamos tornar esta equação verdadeira.

Nós poderíamos definir

K

como sendo

0

. O que implica em

i = 0

e que não estamos colocando nada dentro do circuito e obtendo nada dele. Definitivamente entediante.

O termo

e^{s t}

nunca se torna

0

, a não ser que

t

varie até

\infty

. É muito tempo daqui até lá. Isso nos fornece uma maneira interessante de validar a equação: se o termo com todos os

s

´s for zero.

s^{2} L + s R + \frac{1}{C} = 0

Isso se chama equação característica do circuito

LRC

Resolva as raízes da equação característica

Vamos encontrar valores de

s

que tornem verdadeira a equação característica. (Queremos encontrar as raízes da equação característica.)

Temos exatamente a ferramenta certa para isto, a fórmula quadrática:

Para qualquer equação quadrática:

a x^{2} + b x + c = 0

a fórmula quadrática nos fornece as raízes (os zeros da equação):

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Retornando para a equação característica, podemos substituir os nossos valores dos componentes do circuito para obter as raízes.

a = L

b = R

c = 1 / C

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Essa é a resposta para

s

, a frequência natural. Precisamos examinar um pouco mais para compreender o significado prático desta solução.

Nós podemos tornar a notação mais compacta, substituindo partes da expressão por duas novas variáveis,

α

ω_{o}

α = \frac{R}{2 L}

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Deixe-me escrever a equação característica da seguinte maneira

(

dividindo tudo por

L)

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Se usarmos

α

ω_{o}

, a equação característica pode ser reescrita como:

s^{2} + 2 α s + ω_{o}^{2} = 0

Podemos reformular a equação quadrática pela manipulação do denominador

2 L

até que ele esteja em cada termo no numerador:

s = - \frac{R}{2 L} \pm \sqrt{{(\frac{R}{2 L})}^{2} - (\frac{4 L / C}{4 L^{2}})}

O segundo termo sob a raiz quadrada se reduz a:

(\frac{4 L / C}{4 L^{2}}) = (\frac{4 L / C}{4 L^{2}}) = \frac{1}{LC}

E isto nos permite escrever

s

em termos de

α

ω_{o}

, ou seja:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

Nós sabemos que

s

é algum tipo de frequência (ele deve possuir

1 / t

como unidade). Isso significa que os dois termos que compõem

s

também são algum tipo de frequência.

$α$ ‍ é o chamado fator de amortecimento. Ele vai determinar quão rápido o sinal total reduz até zerar.
$ω_{o}$ ‍ é a chamada frequência de ressonância. Ela vai determinar quão rápido o sistema oscila. Esta é a mesma frequência de ressonância que nós encontramos na resposta natural do $LC$ ‍

Solução proposta, melhorada

A equação quadrática nos deu duas soluções para

s

, chamaremos elas de

s_{1}

s_{2}

. Precisamos incluir ambas na solução proposta. Então, nós atualizamos nossa solução proposta para ser uma combinação linear (a superposição) de dois termos exponenciais separados com quatro parâmetros ajustáveis:

i = K_{1} e^{s_{1} t} + K_{2} e^{s_{2} t}

s_{1}

s_{2}

são frequências naturais,

K_{1}

K_{2}

são termos de amplitude.

Circuito exemplo

Neste ponto, é útil fazer um exemplo específico com alguns valores de componentes reais, para ver como uma solução particular se sai. Aqui está o nosso circuito de exemplo:

A equação diferencial para o circuito

RLC

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

Com os valores dos componentes reais torna-se:

1 \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + 2 \frac{d i}{d t} + 5 i = 0

Como sempre, assumimos uma solução da forma:

i (t) = K e^{s t}

Realizamos a análise que fizemos acima, o que resulta nesta equação característica:

s^{2} + 2 s + 5 = 0

Solução para as raízes da equação característica com a fórmula quadrática:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Com os valores dos componentes reais:

s = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2}

s = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2}

s = - 1 \pm \frac{\sqrt{- 16}}{2}

s = - 1 \pm j 2

Engenheiros elétricos usam a letra

j

para indicar a unidade imaginária

\sqrt{- 1}

, uma vez que já usamos

i

para corrente.

Conseguimos uma resposta complexa, assim como fizemos com a resposta natural

LC

, só que desta vez a resposta complexa inclui tanto uma parte real quanto uma parte imaginária.

Resolver as raízes da equação característica nos deu duas respostas possíveis

s

, então a solução proposta para

i

é agora escrita como a superposição de dois diferentes termos exponenciais:

i = K_{1} e^{(- 1 + j 2) t} + K_{2} e^{(- 1 - j 2) t}

Os termos nos expoentes são conjugados de números complexos. Vamos trabalhar a maneira em que eles estão escritos. Nós podemos separar as partes reais e imaginárias dos expoentes:

i = K_{1} e^{- 1 t} e^{+ j 2 t} + K_{2} e^{- 1 t} e^{- j 2 t},

e fatorar o termo comum

e^{- 1 t}

i = e^{- t} (K_{1} e^{+ j 2 t} + K_{2} e^{- j 2 t})

Perceba como a parte real de

s

veio através do processo de fatoração para nos dar o termo principal, um decaimento exponencial,

e^{- t}

Os termos entre parênteses são uma soma de dois exponenciais imaginários onde os expoentes são conjugados de números complexos. Isso parece com o que vimos na resposta natural

LC

. Como fizemos antes, nós recorremos a fórmula de Euler para nos ajudar com estes termos.

Fórmula de Euler

Usando as expansões da série de Maclaurin para

e^{j x}

sen j x

, e

\cos j x

, é possível derivar a fórmula de Euler:

e^{+ j x} = \cos x + j sen x

e^{- j x} = \cos x - j sen x

No vídeo relacionado, sempre que Sal diz

i

, nós dizemos

j

Estas fórmulas nos permitem transformar

e^{i m a g i n á r i o}

em um número complexo normal.

Use a fórmula de Euler

Podemos usar a fórmula de Euler para transformar a soma

K_{1} e^{+ j 2 t} + K_{2} e^{- j 2 t}

para

K_{1} (\cos 2 t + j sen 2 t) + K_{2} (\cos 2 t - j sen 2 t) .

Multiplica-se pelas constantes

K_{1}

K_{2}

K_{1} \cos 2 t + j K_{1} sen 2 t + K_{2} \cos 2 t - j K_{2} sen 2 t,

e agrupa os termos do cosseno e os termos do seno:

(K_{1} + K_{2}) \cos 2 t + j (K_{1} - K_{2}) sen 2 t

Sem desordenar a equação, podemos simplificar sua aparência se substituirmos os

K

's desconhecidos por

A

's desconhecidos. Sendo

A_{1} = (K_{1} + K_{2})

, e

A_{2} = j (K_{1} - K_{2}

A expressão anterior se torna:

A_{1} \cos 2 t + A_{2} sen 2 t

E agora colocamos isso de volta em nossa solução proposta:

i = e^{- t} (A_{1} \cos 2 t + A_{2} sen 2 t)

Até aqui, tudo bem. Em seguida, precisamos descobrir

A_{1}

A_{2}

usando as condições iniciais.

Encontre as condições iniciais

Para uma equação de segunda ordem, você precisa de duas condições iniciais para obter uma solução completa: uma para a variável independente,

i

, e outra para sua primeira derivada,

d i / d t

Se determinarmos

i

d i / d t

em um instante específico, podemos descobrir

A_{1}

A_{2}

Encontrar as condições iniciais para

RLC

é praticamente o mesmo do circuito LC. Só temos de levar em conta o resistor.

Aqui está o que sabemos sobre

t = 0^{-}

(o instante logo antes do interruptor ser fechado):

O interruptor está aberto, então $i (0^{-}) = 0$ ‍
A tensão inicial do capacitor é especificada: $v_{C} (0^{-}) = V_{0}$ ‍.

t = 0^{+}

é o instante logo após o interruptor fechar, nosso objetivo é encontrar

i (0^{+})

d i / d t (0^{+})

. Nós conhecemos algumas propriedades dos indutores e capacitores que nos dizem o que acontece quando o interruptor se fecha, passando de

t = 0^{-}

t = 0^{+}

A corrente no indutor não pode variar instantaneamente, logo $i (0^{+}) = i (0^{-}) = 0$ ‍
A tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, logo $v_{C} (0^{+}) = v_{C} (0^{-}) = V_{0}$ ‍

Agora nós já conhecemos uma condição inicial,

i (0^{+}) = 0

, e conhecemos algo sobre a tensão, mas não conhecemos

d i / d t (0^{+})

Vamos lá, em busca da segunda condição inicial,

d i / d t (0^{+})

. Toda vez que eu vejo

d i / d t

isso me faz lembrar a equação

i

v

do indutor. Se pudermos descobrir a tensão que passa pelo indutor, podemos determinar

d i / d t

. Vamos fazer isso pelo processo de eliminação.

A Lei de Kirchhoff das Tensões na malha é:

+ v_{L} - v_{R} - v_{C} = 0

Visto que

i (0^{+}) = 0

, isso significa que a tensão através do resistor,

v_{R}

, tem que ser

0

. Também sabemos que a tensão no capacitor é

v_{C} = V_{0}

. Vamos preencher a equação LKT com estes valores:

v_{L} - 0 - V_{0} = 0

E agora conhecemos a tensão no indutor em

t = 0^{+}

v_{L} = V_{0}

Podemos usar isto para derivar

d i / d t

usando a equação

i

v

do indutor.

v_{L} (0^{+}) = L \frac{d i}{d t} (0^{+})

10 = 1 \frac{d i}{d t} (0^{+})

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = 10 A / sec

No instante logo após fechar o interruptor, a corrente na bobina possui uma taxa de variação inicial de

10

amperes por segundo.

Encontre as constantes $A_{1}$ ‍ e $A_{2}$ ‍ usando as condições iniciais

Como um lembrete, a nossa solução proposta é:

i = e^{- t} (A_{1} \cos 2 t + A_{2} sen 2 t)

e as condições iniciais são:

i (0^{+}) = 0

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = 10

Se calcularmos

i

t = 0

, podemos encontrar uma das constantes

A

. Inserir

t = 0

i = 0

na solução proposta:

0 = e^{- 0} (A_{1} \cos 2 \cdot 0 + A_{2} sen 2 \cdot 0)

0 = 1 (A_{1} \cos 0 + A_{2} sen 0)

0 = (A_{1} \cdot 1 + A_{2} \cdot 0)

A_{1} = 0

A_{1} = 0

, então o termo cosseno sai da solução. Uma constante a menos, só falta uma. Nossa solução proposta agora é:

i = A_{2} e^{- t} sen 2 t

Vamos então determinar

A_{2}

usando a segunda condição inicial:

Precisamos de uma equação para a derivada de

i

. Onde podemos descobrir isso? Que tal pegar a derivada da solução proposta?

\frac{d i}{d t} = \frac{d}{d t} (A_{2} e^{- t} sen 2 t)

A solução proposta é o produto de duas funções, então para calcular sua derivada, usamos a regra do produto

{(f g)}^{'} = f^{'} g + f g^{'}

Identifique as duas partes do produto e suas derivações:

f = A_{2} e^{- t} g = \sin 2 t

f^{'} = - A_{2} e^{- t} g^{'} = 2 \cos 2 t

Monte as peças de acordo com a regra do produto:

\frac{d i}{d t} = - A_{2} e^{- t} sen 2 t + A_{2} e^{- t} 2 \cos 2 t

\frac{d i}{d t} = A_{2} e^{- t} (2 \cos 2 t - sen 2 t)

Podemos avaliar esta expressão em

t = 0^{+}

10 = A_{2} e^{- 0} (2 \cos 0 - sen 0)

10 = A_{2} \cdot 1 \cdot (2 - 0) = 2 A_{2}

A_{2} = 5

Solução para corrente

E finalmente, depois de muito trabalho duro, a solução para a corrente é:

i = 5 e^{- t} sen 2 t

O gráfico de

i

como uma função do tempo se parece com isto:

Quando o interruptor é fechado, a corrente sofre um grande impulso positivo e assume o formato da primeira concavidade de uma onda senoidal. A onda senoidal rapidamente desaparece depois de algumas oscilações, pois a energia do sistema se dissipa rapidamente sob a forma de calor conforme a carga vai e vem pelo resistor.

O papel da "fricção", neste exemplo, interpretado pelo valor do resistência, representa uma taxa de dissipação de energia razoavelmente alta. A corrente visivelmente muda de sinal somente duas vezes antes de ir a zero.

Este é um exemplo de uma solução sub-amortecida. Vamos apresentar este termo descritivo na próxima seção.

Resolver as tensões

Há apenas uma corrente no circuito. Agora que sabemos a resposta natural da corrente, podemos encontrar a resposta natural das três tensões.

Tensão do resistor

Usamos a Lei de Ohm para encontrar a tensão no resistor:

(

há um sinal de

-

pois

i

está ao contrário em relação a

v_{R})

v_{R} = - i R

v_{R} = - 5 e^{- t} sen 2 t \cdot 2 Ω

v_{R} = - 10 e^{- t} \sin 2 t

Tensão do indutor

O tensão no indutor surge da equação

i

v

do indutor:

v_{L} = L \frac{d i}{d t}

v_{L} = 1 \cdot \frac{d}{d t} (5 e^{- t} \sin 2 t)

[mostrar os passos da derivada]

v_{L} = - 5 e^{- t} (\sin 2 t - 2 \cos 2 t)

Tensão do capacitor

Para encontrar a tensão no capacitor, podemos usar a forma integral da equação

i

v

do capacitor:

(

mais um outro sinal de

-

extra, pois o sentido de

i

é contrário ao de

v_{C})

v_{C} = \frac{1}{C} \int - i d t

v_{C} = \frac{1}{1 / 5} \int - 5 e^{- t} \sin 2 t d t

[mostrar a integração]

v_{C} = 5 e^{- t} (\sin 2 t + 2 \cos 2 t)

Aqui estão todas as três tensões plotadas juntas:

[Uma outra maneira de determinar a tensão do capacitor usando a LKT.]

Resumo

O circuito

RLC

é o equivalente eletrônico de um pêndulo oscilante com atrito. O circuito pode ser modelado por essa equação diferencial linear de

2

a-ordem:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

A equação característica resultante é:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Vamos encontrar as raízes da equação característica usando a fórmula quadrática:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}