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Resposta natural RLC - derivação

Uma derivação formal da resposta natural do circuito RLC.  Escrito por Willy McAllister.

Introdução

Vamos dar uma olhada profunda na resposta natural de um circuito resistor-indutor-capacitor (RLC). Este é o último circuito que analisaremos com o tratamento da equação diferencial completa.
O circuito RLC é representativo de circuitos reais que nós realmente podemos construir, já que cada circuito real tem alguma resistência finita. Este circuito tem um comportamento complexo e rico que encontra aplicação em muitas áreas da engenharia elétrica.
O circuito para a resposta natural RLC.

O que estamos construindo

Nós vamos modelar o circuito RLC com uma equação diferencial linear de 2ª ordem com a corrente, i, sendo uma variável independente:
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
A equação característica resultante é:
s2+RLs+1LC=0
Vamos encontrar as raízes da equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
s=R±R24L/C2L
Substituindo as variáveis α e ωo podemos escrever s de forma um pouco mais simples:
s=α±α2ωo2
onde α=R2L, e ωo=1LC
α é chamado de fator de amortecimento e ω0 é a frequência de ressonância.
Vamos resolver um exemplo de circuito RLC com valores de componentes específicos e descobrir como a corrente e as tensões se parecem.

Estratégia

Seguimos a mesma linha de raciocínio que usamos para resolver o circuito de segunda ordem LC em um artigo anterior.
  1. Crie uma equação diferencial de segunda ordem com base nas equações de i-v para os componentes R, L, e C. Usaremos a Lei de Kirchhoff das Tensões para construir a equação.
  2. Chute uma solução de forma consciente. Como de costume, nosso palpite será uma função exponencial do tipo Kest.
  3. Insira a solução proposta na equação diferencial. Os termos exponenciais serão fatorados, deixando-nos com uma equação característica na variável s.
  4. Encontre as raízes da equação característica. Desta vez, precisaremos usar a fórmula quadrática para calcular as raízes.
  5. Encontre as constantes ao calcular para as condições iniciais.
  6. Celebre a solução.

Modele o circuito com uma equação diferencial

Condições do circuito logo antes de fechar o interruptor: A corrente é 0 e o capacitor é carregado até uma tensão inicial V0 volts.
Quando o interruptor é fechado, o circuito fica assim (agora com as tensões rotuladas no indutor e no resistor, vL e vR).
Condições do circuito logo depois que o interruptor é fechado. Ainda temos que encontrar a corrente e a tensão em t=0+. Resolvemos isto na seção intitulada Encontre as condições iniciais.
Para cada elemento individual, podemos escrever as equações de i-v.
vL=Ldidt
vR=iR
vC=1Cidt
Podemos escrever a Lei de Kichhoff das Tensões (LKT), começando pelo canto inferior esquerdo e somando as tensões ao longo da malha no sentido horário. O indutor tem um aumento de tensão, enquanto o resistor e o capacitor sofrem uma queda de tensão.
+vLvRvC=0
Substituindo os termos de v pelos termos correspondentes em função de i, temos:
Ldidt+Ri+1Cidt=0
Se quiséssemos, poderíamos atacar esta equação e tentar resolvê-la, mas o termo integral é estranho de se lidar. Podemos sumir com essa integral, se tirarmos a derivada da equação inteira.
ddt[Ldidt+Ri+1Cidt=0]
Isto nos fornece a seguinte equação com uma derivada segunda, uma derivada primeira e um termo simples em i, tudo ainda continua igual a 0.
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
Essa equação é chamada de equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem. É homogênea porque cada termo é relacionado ao i e seus derivados. É de segunda ordem porque a derivada mais alta é uma derivada de segunda ordem. É ordinária porque há apenas uma variável independente (sem derivadas parciais). Agora podemos resolver nossa equação diferencial.

Proponha uma solução

Tal como fizemos com problemas anteriores de resposta natural (RC, RL e LC), assumimos uma solução com uma forma exponencial. Funções exponenciais têm a incrível propriedade de que as derivadas se parecem muito com a função original. Quando você tem várias derivadas participando em uma equação diferencial, é realmente bom quando elas se parecem. Assumimos uma solução com este formato:
i(t)=Kest
K é um parâmetro ajustável que representa a amplitude da corrente.
s está no expoente ao lado de t, então ele deve representar algum tipo de frequência (s precisa estar em unidades de 1/t). Chamamos isto de frequência natural.

Tente a solução proposta

Em seguida, substitua a solução proposta na equação diferencial. Se a equação for verdadeira, então, nossa solução é vencedora.
Ld2dt2Kest+RddtKest+1CKest=0
Agora, vamos trabalhar sobre os termos com derivadas.
Termo do meio: A primeira derivada do termo R é
RddtKest=sRKest
Termo principal: tiramos a derivada do termo principal Kest duas vezes:
ddtKest=sKest
ddtsKest=s2Kest
logo, o termo principal se torna:
Ld2dt2Kest=s2LKest
Substitua-os de volta na equação diferencial:
s2LKest+sRKest+1CKest=0
Agora podemos fatorar o termo comum Kest.
Kest(s2L+sR+1C)=0

Torne a equação verdadeira

Agora, vamos descobrir quantas maneiras existem para que possamos tornar esta equação verdadeira.
Nós poderíamos definir K como sendo 0. O que implica em i=0 e que não estamos colocando nada dentro do circuito e obtendo nada dele. Definitivamente entediante.
O termo est nunca se torna 0, a não ser que t varie até . É muito tempo daqui até lá. Isso nos fornece uma maneira interessante de validar a equação: se o termo com todos os s´s for zero.
s2L+sR+1C=0
Isso se chama equação característica do circuito LRC.

Resolva as raízes da equação característica

Vamos encontrar valores de s que tornem verdadeira a equação característica. (Queremos encontrar as raízes da equação característica.)
Temos exatamente a ferramenta certa para isto, a fórmula quadrática:
Para qualquer equação quadrática: ax2+bx+c=0,
a fórmula quadrática nos fornece as raízes (os zeros da equação):
x=b±b24ac2a
Retornando para a equação característica, podemos substituir os nossos valores dos componentes do circuito para obter as raízes. a=L, b=R e c=1/C.
s=R±R24L/C2L
Essa é a resposta para s, a frequência natural. Precisamos examinar um pouco mais para compreender o significado prático desta solução.
Nós podemos tornar a notação mais compacta, substituindo partes da expressão por duas novas variáveis, α e ωo.
α=R2L
ωo=1LC
Deixe-me escrever a equação característica da seguinte maneira (dividindo tudo por L):
s2+RLs+1LC=0
Se usarmos α e ωo, a equação característica pode ser reescrita como:
s2+2αs+ωo2=0
Podemos reformular a equação quadrática pela manipulação do denominador 2L até que ele esteja em cada termo no numerador:
s=R2L±(R2L)2(4L/C4L2)
O segundo termo sob a raiz quadrada se reduz a:
(4L/C4L2)=(4L/C4L2)=1LC
E isto nos permite escrever s em termos de α e ωo, ou seja:
s=α±α2ωo2
Nós sabemos que s é algum tipo de frequência (ele deve possuir 1/t como unidade). Isso significa que os dois termos que compõem s também são algum tipo de frequência.
  • α é o chamado fator de amortecimento. Ele vai determinar quão rápido o sinal total reduz até zerar.
  • ωo é a chamada frequência de ressonância. Ela vai determinar quão rápido o sistema oscila. Esta é a mesma frequência de ressonância que nós encontramos na resposta natural do LC

Solução proposta, melhorada

A equação quadrática nos deu duas soluções para s, chamaremos elas de s1 e s2. Precisamos incluir ambas na solução proposta. Então, nós atualizamos nossa solução proposta para ser uma combinação linear (a superposição) de dois termos exponenciais separados com quatro parâmetros ajustáveis:
i=K1es1t+K2es2t
s1 e s2 são frequências naturais,
K1 e K2 são termos de amplitude.

Circuito exemplo

Neste ponto, é útil fazer um exemplo específico com alguns valores de componentes reais, para ver como uma solução particular se sai. Aqui está o nosso circuito de exemplo:
Exemplo de resposta natural RLC. O capacitor tem uma tensão inicial de 10 volts. Não há nenhuma corrente fluindo no indutor no momento em que o interruptor é fechado.
A equação diferencial para o circuito RLC é
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
Com os valores dos componentes reais torna-se:
1d2idt2+2didt+5i=0
Como sempre, assumimos uma solução da forma: i(t)=Kest
Realizamos a análise que fizemos acima, o que resulta nesta equação característica:
s2+2s+5=0
Solução para as raízes da equação característica com a fórmula quadrática:
s=R±R24L/C2L
Com os valores dos componentes reais:
s=2±224152
s=2±4202
s=1±162
s=1±j2
Engenheiros elétricos usam a letra j para indicar a unidade imaginária 1, uma vez que já usamos i para corrente.
Conseguimos uma resposta complexa, assim como fizemos com a resposta natural LC, só que desta vez a resposta complexa inclui tanto uma parte real quanto uma parte imaginária.
Resolver as raízes da equação característica nos deu duas respostas possíveis s, então a solução proposta para i é agora escrita como a superposição de dois diferentes termos exponenciais:
i=K1e(1+j2)t+K2e(1j2)t
Os termos nos expoentes são conjugados de números complexos. Vamos trabalhar a maneira em que eles estão escritos. Nós podemos separar as partes reais e imaginárias dos expoentes:
i=K1e1te+j2t+K2e1tej2t,
e fatorar o termo comum e1t:
i=et(K1e+j2t+K2ej2t)
Perceba como a parte real de s veio através do processo de fatoração para nos dar o termo principal, um decaimento exponencial, et.
Os termos entre parênteses são uma soma de dois exponenciais imaginários onde os expoentes são conjugados de números complexos. Isso parece com o que vimos na resposta natural LC. Como fizemos antes, nós recorremos a fórmula de Euler para nos ajudar com estes termos.

Fórmula de Euler

Usando as expansões da série de Maclaurin para ejx, senjx, e cosjx, é possível derivar a fórmula de Euler:
e+jx=cosx+jsenx
e
ejx=cosxjsenx
No vídeo relacionado, sempre que Sal diz i, nós dizemos j.
Estas fórmulas nos permitem transformar eimaginário em um número complexo normal.

Use a fórmula de Euler

Podemos usar a fórmula de Euler para transformar a soma
K1e+j2t+K2ej2t
para
K1(cos2t+jsen2t)+K2(cos2tjsen2t).
Multiplica-se pelas constantes K1 e K2:
K1cos2t+jK1sen2t+K2cos2tjK2sen2t,
e agrupa os termos do cosseno e os termos do seno:
(K1+K2)cos2t+j(K1K2)sen2t
Sem desordenar a equação, podemos simplificar sua aparência se substituirmos os K's desconhecidos por A's desconhecidos. Sendo A1=(K1+K2), e A2=j(K1K2).
A expressão anterior se torna:
A1cos2t+A2sen2t
E agora colocamos isso de volta em nossa solução proposta:
i=et(A1cos2t+A2sen2t)
Até aqui, tudo bem. Em seguida, precisamos descobrir A1 e A2 usando as condições iniciais.

Encontre as condições iniciais

Para uma equação de segunda ordem, você precisa de duas condições iniciais para obter uma solução completa: uma para a variável independente, i, e outra para sua primeira derivada, di/dt.
Se determinarmos i e di/dt em um instante específico, podemos descobrir A1 e A2.
Encontrar as condições iniciais para RLC é praticamente o mesmo do circuito LC. Só temos de levar em conta o resistor.
Aqui está o que sabemos sobre t=0 (o instante logo antes do interruptor ser fechado):
Condições do circuito logo antes de fechar o interruptor. Em t=0,
a corrente é 0 e a tensão inicial no capacitor é vC=10V.
  • O interruptor está aberto, então i(0)=0
  • A tensão inicial do capacitor é especificada: vC(0)=V0.
Se t=0+ é o instante logo após o interruptor fechar, nosso objetivo é encontrar i(0+) e di/dt(0+). Nós conhecemos algumas propriedades dos indutores e capacitores que nos dizem o que acontece quando o interruptor se fecha, passando de t=0 a t=0+:
  • A corrente no indutor não pode variar instantaneamente, logo i(0+)=i(0)=0
  • A tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, logo vC(0+)=vC(0)=V0
Condições do circuito logo depois do interruptor ser fechado, em t=0+. i(0+)=0 e vC(0+)=10V.
Agora nós já conhecemos uma condição inicial, i(0+)=0, e conhecemos algo sobre a tensão, mas não conhecemos di/dt(0+).
Vamos lá, em busca da segunda condição inicial, di/dt(0+). Toda vez que eu vejo di/dt isso me faz lembrar a equação i-v do indutor. Se pudermos descobrir a tensão que passa pelo indutor, podemos determinar di/dt. Vamos fazer isso pelo processo de eliminação.
A Lei de Kirchhoff das Tensões na malha é:
+vLvRvC=0
Visto que i(0+)=0, isso significa que a tensão através do resistor, vR, tem que ser 0. Também sabemos que a tensão no capacitor é vC=V0. Vamos preencher a equação LKT com estes valores:
vL0V0=0
E agora conhecemos a tensão no indutor em t=0+:
vL=V0
Podemos usar isto para derivar di/dt usando a equação i-v do indutor.
vL(0+)=Ldidt(0+)
10=1didt(0+)
didt(0+)=10A/sec
No instante logo após fechar o interruptor, a corrente na bobina possui uma taxa de variação inicial de 10 amperes por segundo.

Encontre as constantes A1 e A2 usando as condições iniciais

Como um lembrete, a nossa solução proposta é:
i=et(A1cos2t+A2sen2t)
e as condições iniciais são:
i(0+)=0
didt(0+)=10
Se calcularmos i em t=0, podemos encontrar uma das constantes A . Inserir t=0 e i=0 na solução proposta:
0=e0(A1cos20+A2sen20)
0=1(A1cos0+A2sen0)
0=(A11+A20)
A1=0
A1=0, então o termo cosseno sai da solução. Uma constante a menos, só falta uma. Nossa solução proposta agora é:
i=A2etsen2t
Vamos então determinar A2 usando a segunda condição inicial:
Precisamos de uma equação para a derivada de i. Onde podemos descobrir isso? Que tal pegar a derivada da solução proposta?
didt=ddt(A2etsen2t)
A solução proposta é o produto de duas funções, então para calcular sua derivada, usamos a regra do produto
(fg)=fg+fg
Identifique as duas partes do produto e suas derivações:
f=A2etg=sin2t
f=A2etg=2cos2t
Monte as peças de acordo com a regra do produto:
didt=A2etsen2t+A2et2cos2t
didt=A2et(2cos2tsen2t)
Podemos avaliar esta expressão em t=0+:
10=A2e0(2cos0sen0)
10=A21(20)=2A2
A2=5

Solução para corrente

E finalmente, depois de muito trabalho duro, a solução para a corrente é:
i=5etsen2t
O gráfico de i como uma função do tempo se parece com isto:
A resposta natural de um circuito RLC, R=2Ω, L=1H, and C=15F. As curvas mais claras representam ±5et, as envoltórias da onda senoidal em decaimento.
Quando o interruptor é fechado, a corrente sofre um grande impulso positivo e assume o formato da primeira concavidade de uma onda senoidal. A onda senoidal rapidamente desaparece depois de algumas oscilações, pois a energia do sistema se dissipa rapidamente sob a forma de calor conforme a carga vai e vem pelo resistor.
O papel da "fricção", neste exemplo, interpretado pelo valor do resistência, representa uma taxa de dissipação de energia razoavelmente alta. A corrente visivelmente muda de sinal somente duas vezes antes de ir a zero.
Este é um exemplo de uma solução sub-amortecida. Vamos apresentar este termo descritivo na próxima seção.

Resolver as tensões

Há apenas uma corrente no circuito. Agora que sabemos a resposta natural da corrente, podemos encontrar a resposta natural das três tensões.

Tensão do resistor

Usamos a Lei de Ohm para encontrar a tensão no resistor: (há um sinal de pois i está ao contrário em relação a vR)
vR=iR
vR=5etsen2t2Ω
vR=10etsin2t

Tensão do indutor

O tensão no indutor surge da equação i-v do indutor:
vL=Ldidt
vL=1ddt(5etsin2t)
vL=5et(sin2t2cos2t)

Tensão do capacitor

Para encontrar a tensão no capacitor, podemos usar a forma integral da equação i-v do capacitor: (mais um outro sinal de extra, pois o sentido de i é contrário ao de vC)
vC=1Cidt
vC=11/55etsin2tdt
vC=5et(sin2t+2cos2t)
Aqui estão todas as três tensões plotadas juntas:

Resumo

O circuito RLC é o equivalente eletrônico de um pêndulo oscilante com atrito. O circuito pode ser modelado por essa equação diferencial linear de 2a-ordem:
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
A equação característica resultante é:
s2+RLs+1LC=0
Vamos encontrar as raízes da equação característica usando a fórmula quadrática:
s=R±R24L/C2L
Substituindo as variáveis α e ωo escrevemos s de forma um pouco mais simples:
s=α±α2ωo2
onde α=R2L e ωo=1LC
Terminamos por resolver um circuito de exemplo cujos componentes produziram uma corrente (e tensões) que oscila algumas vezes.
As raízes da equação característica podem assumir tanto formas reais quanto complexas, dependendo do dimensão relativa de α e ωo. No próximo artigo, descreveremos estas três formas em maiores detalhes:
  • amortecimento supercrítico, α>ω0, que é a soma de duas exponenciais decrescentes
  • amortecimento crítico, α=ω0, que é uma t exponencial decrescente
  • amortecimento subcrítico, α<ω0, que é uma senóide de amplitude decrescente

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