Resposta natural RLC - intuição

Neste artigo, nós teremos um olhar intuitivo à resposta natural de um circuito resistor-indutor-capacitor $(\text{RLC)}$left parenthesis, start text, R, L, C, right parenthesis, end text. Este é o último circuito que vamos analisar com o tratamento de equação diferencial completa, o que vamos fazer em dois artigos subsequentes.

O circuito $\text{RLC}$start text, R, L, C, end text é representativo de circuitos reais que nós realmente podemos construir, já que cada circuito real tem alguma resistência finita. Este circuito tem um comportamento complexo e rico que encontra aplicação em muitas áreas da engenharia elétrica.

Para entender a resposta natural $\text{RLC}$start text, R, L, C, end text em um sentido intuitivo, pensamos em como a carga se move em torno do circuito ao longo do tempo. Se colocarmos uma carga inicial no capacitor e, em seguida, fecharmos o interruptor, essa carga será jogada para trás e para a frente de uma placa do capacitor para a outra, passando pelo indutor e resistor em ambas as direções. Cada ciclo de oscilação será um pouco menor do que o anterior, pois a energia é perdida quando a carga em movimento aquece o resistor.

O circuito elétrico $\text{RLC}$start text, R, L, C, end text possui um análogo mecânico: o pêndulo balançando. Esta é uma boa maneira de vislumbrar o que está acontecendo no circuito.

Para esta discussão, suponha que o valor do resistor é relativamente pequeno, de alguns poucos ohms. Esta previsão é semelhante a que fizemos para a resposta natural LC. Desta vez, nós adicionamos um pequeno resistor, o que é mais representativo de circuitos reais.

Digamos que o capacitor possui uma tensão inicial, $V_0$V, start subscript, 0, end subscript, o que significa que ele está armazenando alguma carga, $q$q. Suponha que a carga foi colocada lá por um circuito externo, não mostrado. Dado que o interruptor está aberto, não há nenhuma corrente inicial na bobina e nenhuma corrente no capacitor ou no resistor também. Logo, a carga está lá parada no capacitor sem fazer nada.

O que acontecerá quando o interruptor fechar e deixarmos o circuito fazer "o que quiser"? Esse comportamento é o que chamamos de resposta natural. Nós vamos explicar isto acompanhando o que acontece com a carga, $q$q.

A quantidade de $q$q é definida pelo produto da tensão inicial no capacitor e o valor do capacitor, $q = \text C\, v_\text C$q, equals, start text, C, end text, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript. No começo, todas as cargas ainda estão paradas no capacitor. A quantidade total de carga, $q$q, é constante, isso não varia durante a resposta natural. (Nós podemos rastreá-la onde estiver observando a tensão sobre o capacitor.)

Quando dizemos "colocar uma carga no capacitor," queremos dizer que colocamos uma certa quantidade $+q$plus, q na placa superior e exatamente a mesma quantidade $-q$minus, q na placa inferior, criando uma separação de carga. Ao final da resposta natural, toda essa carga terá fluido e encontrado uma carga de sinal oposto para se unir, ficando neutra. A carga não desaparece, mas a separação da carga sim.

Ao elaborar nossa previsão, achamos $+q$plus, q, e sabemos que a mesma quantidade $-q$minus, q está se movendo na direção oposta. Tente "imaginar" o movimento da carga enquanto continuamos esta discussão.

Agora, fechamos o interruptor e deixamos o circuito $\text{RLC}$start text, R, L, C, end text ter seu comportamento "natural".

O indutor inicia com uma corrente $0$0 e $0$0 volts de tensão. O resistor também possui corrente $0$0, então, pela Lei de Ohm, há $0$0 volts de tensão no resistor.

O interruptor, ao ser fechado de repente, fornece um percurso fechado para que a carga $+$plus na placa superior "procure" a carga $-$minus na placa inferior (e vice-versa, não mostrado).

De repente o indutor e o resistor juntos "enxergam" a tensão do capacitor, $v_\text C = \text V_0$v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript. Esta tensão criará uma corrente no indutor e no resistor. De onde vem essa corrente? Vem da carga no capacitor, claro. A carga é puxada pela força elétrica de atração em direção à carga oposta na outra placa.

O resistor possui agora uma corrente passando em si e a Lei de Ohm nos diz que haverá uma queda de tensão em $\text R$start text, R, end text. Assumimos que $\text R$start text, R, end text era pequeno, então a queda de tensão também será pequena. Não obstante, o resistor se aquece um pouco conforme se dissipa um pouco de energia.

O indutor possui uma corrente, que então começa a armazenar energia no seu campo magnético circundante. Essa energia armazenada vai voltar para fora do campo magnético em breve. (A tensão sobre o indutor é um pouco menor do que $v_\text C$v, start subscript, start text, C, end text, end subscript devido a pequena queda de tensão no resistor).

No capacitor acima, a corrente flui para fora da placa superior, segue através do resistor, do indutor e ao redor da placa inferior do capacitor. Se $q$q está decrescendo, então $q=\text C\,v$q, equals, start text, C, end text, v nos diz que $v$v também deve estar decrescendo.

Eventualmente, chegamos a um estado em que a carga na placa superior é a mesma da placa inferior. A tensão no capacitor cai, então, para $0$0.

Sobre o indutor há uma corrente fluindo, ainda que a tensão seja $0$0 ou próxima desse valor. A energia armazenada no campo magnético do indutor tende a manter a corrente fluindo. (A corrente não cai abruptamente para $0$0 quando a tensão chega a $0$0. Indutores "não permitem" mudanças bruscas na corrente acontecerem.)

Mesmo depois que a tensão cai a $0$0, a corrente no indutor continua a mover a carga da placa superior do capacitor para a inferior. Agora, há mais carga positiva na placa inferior que na superior, então, a tensão, na verdade, muda de sinal e se torna negativa.

Na medida em que a carga se acumula na placa inferior, ela reage contra a chegada de nova carga da corrente do indutor (repulsão eletrostática). A corrente no indutor declina e começa a cair em direção a $0$0.

Depois de algum tempo, a tensão vai chegar a um valor de pico negativo. A tensão será negativa e um pouco menos do que a original $v_\text C(0)$v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, right parenthesis, na qual o capacitor iniciou. Lembra-se do resistor? Está drenando energia do circuito, assim o pico de tensão negativa não é tão alto quanto o ponto de partida. A carga para de se mover por um breve momento quando a tensão atinge o pico, então a corrente cai para $0$0.

A imagem anterior é quase idêntica àquela inicial. A corrente voltou a zero e a tensão está no seu valor de pico (um pouco menos). O pico é o negativo do valor inicial. Podemos voltar ao começo dessa história e repeti-la, exceto a carga se movendo da placa inferior do capacitor de volta para a superior. Este é o resultado final de um ciclo completo:

No final de um ciclo, estamos onde i, mas com iniciamos, mas com alguma energia removida do sistema. A carga continuará a ser lançada para cima e para baixo entre as placas do capacitor superior e inferior, perdendo um pouco de energia a cada vez, até que o sistema eventualmente venha ao repouso.

O circuito $\text{LC}$start text, L, C, end text é análogo a um oscilador mecânico, o pêndulo balançando sem atrito. O circuito $\text{RLC}$start text, R, L, C, end text possui um análogo mecânico semelhante. A adição do resistor ao $\text{RLC}$start text, R, L, C, end text é equivalente a adicionar o atrito ao ponto de pivô do pêndulo ou a resistência do ar para fazer o pêndulo dissipar a energia e reduzir o movimento até parar.

Conforme um pêndulo oscila para frente e para trás, o atrito dissipa a energia e cada balanço fica curto e mais curto até que o pêndulo finalmente pare de se mover. Se o atrito for baixo, o pêndulo oscila durante muito tempo antes que pare. Se for muito alto, o pêndulo pode fazer apenas um movimento até a posição inferior mais baixa e parar. Para um valor preciso de atrito, o pêndulo cairá até a posição inferior mais baixa o mais rápido que puder, sem ir além e voltar.

Nosso circuito $\text{RLC}$start text, R, L, C, end text irá exibir os mesmos tipos de comportamento, conforme sua corrente e sua tensão sobem e descem. (Outro bom análogo mecânico é um peso pendurado em uma mola. Se você puxar o peso para baixo e soltá-lo, seu movimento de subida e descida é semelhante ao do pêndulo para trás e para a frente.)

Você se lembra que assumimos que o resistor era relativamente pequeno? Uma pequena resistência permite que o sistema balance para frente e para trás por um tempo. O que acha que vai acontecer se o resistor for maior? (Dica: quanto tempo um pêndulo balançaria se houvesse mais atrito no rolamento?)

Nos dois próximos artigos vamos descobrir precisamente como o $\text{RLC}$start text, R, L, C, end text funciona quando fazemos uma derivação formal da resposta natural. Nós seremos capazes de prever a frequência de oscilação e veremos o quão rapidamente o sinal desaparece.

Nós seguimos a carga se movendo em torno de um circuito $\text{RLC}$start text, R, L, C, end text ao longo do tempo. Começamos com uma carga no capacitor e fechamos o interruptor. A carga fluiu para trás e para a frente de uma placa do capacitor para a outra, passando através do indutor e resistor nas duas direções.

Ao passar através do indutor, a corrente armazena energia no campo magnético em torno do indutor. A energia retorna ao circuito ao movimentar a carga.

Cada ciclo de oscilação é um pouco menor que o anterior, pelo aquecimento do resistor causado pela perda de energia ao movimentar a carga.

O pêndulo balançando é um análogo mecânico do circuito eléctrico $\text{RLC}$start text, R, L, C, end text. Ele o ajuda a vislumbrar o que está acontecendo no circuito.