Resposta natural RLC - intuição

Neste artigo, nós teremos um olhar intuitivo à resposta natural de um circuito resistor-indutor-capacitor $(\text{RLC)}$‍. Este é o último circuito que vamos analisar com o tratamento de equação diferencial completa, o que vamos fazer em dois artigos subsequentes.

O circuito $\text{RLC}$‍ é representativo de circuitos reais que nós realmente podemos construir, já que cada circuito real tem alguma resistência finita. Este circuito tem um comportamento complexo e rico que encontra aplicação em muitas áreas da engenharia elétrica.

Para entender a resposta natural $\text{RLC}$‍ em um sentido intuitivo, pensamos em como a carga se move em torno do circuito ao longo do tempo. Se colocarmos uma carga inicial no capacitor e, em seguida, fecharmos o interruptor, essa carga será jogada para trás e para a frente de uma placa do capacitor para a outra, passando pelo indutor e resistor em ambas as direções. Cada ciclo de oscilação será um pouco menor do que o anterior, pois a energia é perdida quando a carga em movimento aquece o resistor.

O circuito elétrico $\text{RLC}$‍ possui um análogo mecânico: o pêndulo balançando. Esta é uma boa maneira de vislumbrar o que está acontecendo no circuito.

Para esta discussão, suponha que o valor do resistor é relativamente pequeno, de alguns poucos ohms. Esta previsão é semelhante a que fizemos para a resposta natural LC. Desta vez, nós adicionamos um pequeno resistor, o que é mais representativo de circuitos reais.

Digamos que o capacitor possui uma tensão inicial, $V_0$‍, o que significa que ele está armazenando alguma carga, $q$‍. Suponha que a carga foi colocada lá por um circuito externo, não mostrado. Dado que o interruptor está aberto, não há nenhuma corrente inicial na bobina e nenhuma corrente no capacitor ou no resistor também. Logo, a carga está lá parada no capacitor sem fazer nada.

O que acontecerá quando o interruptor fechar e deixarmos o circuito fazer "o que quiser"? Esse comportamento é o que chamamos de resposta natural. Nós vamos explicar isto acompanhando o que acontece com a carga, $q$‍.

A quantidade de $q$‍ é definida pelo produto da tensão inicial no capacitor e o valor do capacitor, $q=\text{C}{v}_{\text{C}}$‍. No começo, todas as cargas ainda estão paradas no capacitor. A quantidade total de carga, $q$‍, é constante, isso não varia durante a resposta natural. (Nós podemos rastreá-la onde estiver observando a tensão sobre o capacitor.)

Quando dizemos "colocar uma carga no capacitor," queremos dizer que colocamos uma certa quantidade $+q$‍ na placa superior e exatamente a mesma quantidade $-q$‍ na placa inferior, criando uma separação de carga. Ao final da resposta natural, toda essa carga terá fluido e encontrado uma carga de sinal oposto para se unir, ficando neutra. A carga não desaparece, mas a separação da carga sim.

Ao elaborar nossa previsão, achamos $+q$‍, e sabemos que a mesma quantidade $-q$‍ está se movendo na direção oposta. Tente "imaginar" o movimento da carga enquanto continuamos esta discussão.

Agora, fechamos o interruptor e deixamos o circuito $\text{RLC}$‍ ter seu comportamento "natural".

O indutor inicia com uma corrente $0$‍ e $0$‍ volts de tensão. O resistor também possui corrente $0$‍, então, pela Lei de Ohm, há $0$‍ volts de tensão no resistor.

O interruptor, ao ser fechado de repente, fornece um percurso fechado para que a carga $+$‍ na placa superior "procure" a carga $-$‍ na placa inferior (e vice-versa, não mostrado).

De repente o indutor e o resistor juntos "enxergam" a tensão do capacitor, $v_{\text{C}}={\text{V}}_0$‍. Esta tensão criará uma corrente no indutor e no resistor. De onde vem essa corrente? Vem da carga no capacitor, claro. A carga é puxada pela força elétrica de atração em direção à carga oposta na outra placa.

O resistor possui agora uma corrente passando em si e a Lei de Ohm nos diz que haverá uma queda de tensão em $\text{R}$‍. Assumimos que $\text{R}$‍ era pequeno, então a queda de tensão também será pequena. Não obstante, o resistor se aquece um pouco conforme se dissipa um pouco de energia.

O indutor possui uma corrente, que então começa a armazenar energia no seu campo magnético circundante. Essa energia armazenada vai voltar para fora do campo magnético em breve. (A tensão sobre o indutor é um pouco menor do que $v_{\text{C}}$‍ devido a pequena queda de tensão no resistor).

No capacitor acima, a corrente flui para fora da placa superior, segue através do resistor, do indutor e ao redor da placa inferior do capacitor. Se $q$‍ está decrescendo, então $q=\text{C}v$‍ nos diz que $v$‍ também deve estar decrescendo.

Eventualmente, chegamos a um estado em que a carga na placa superior é a mesma da placa inferior. A tensão no capacitor cai, então, para $0$‍.

Sobre o indutor há uma corrente fluindo, ainda que a tensão seja $0$‍ ou próxima desse valor. A energia armazenada no campo magnético do indutor tende a manter a corrente fluindo. (A corrente não cai abruptamente para $0$‍ quando a tensão chega a $0$‍. Indutores "não permitem" mudanças bruscas na corrente acontecerem.)

Mesmo depois que a tensão cai a $0$‍, a corrente no indutor continua a mover a carga da placa superior do capacitor para a inferior. Agora, há mais carga positiva na placa inferior que na superior, então, a tensão, na verdade, muda de sinal e se torna negativa.

Na medida em que a carga se acumula na placa inferior, ela reage contra a chegada de nova carga da corrente do indutor (repulsão eletrostática). A corrente no indutor declina e começa a cair em direção a $0$‍.

Depois de algum tempo, a tensão vai chegar a um valor de pico negativo. A tensão será negativa e um pouco menos do que a original $v_{\text{C}}(0)$‍, na qual o capacitor iniciou. Lembra-se do resistor? Está drenando energia do circuito, assim o pico de tensão negativa não é tão alto quanto o ponto de partida. A carga para de se mover por um breve momento quando a tensão atinge o pico, então a corrente cai para $0$‍.

A imagem anterior é quase idêntica àquela inicial. A corrente voltou a zero e a tensão está no seu valor de pico (um pouco menos). O pico é o negativo do valor inicial. Podemos voltar ao começo dessa história e repeti-la, exceto a carga se movendo da placa inferior do capacitor de volta para a superior. Este é o resultado final de um ciclo completo:

No final de um ciclo, estamos onde i, mas com iniciamos, mas com alguma energia removida do sistema. A carga continuará a ser lançada para cima e para baixo entre as placas do capacitor superior e inferior, perdendo um pouco de energia a cada vez, até que o sistema eventualmente venha ao repouso.

O circuito $\text{LC}$‍ é análogo a um oscilador mecânico, o pêndulo balançando sem atrito. O circuito $\text{RLC}$‍ possui um análogo mecânico semelhante. A adição do resistor ao $\text{RLC}$‍ é equivalente a adicionar o atrito ao ponto de pivô do pêndulo ou a resistência do ar para fazer o pêndulo dissipar a energia e reduzir o movimento até parar.

Conforme um pêndulo oscila para frente e para trás, o atrito dissipa a energia e cada balanço fica curto e mais curto até que o pêndulo finalmente pare de se mover. Se o atrito for baixo, o pêndulo oscila durante muito tempo antes que pare. Se for muito alto, o pêndulo pode fazer apenas um movimento até a posição inferior mais baixa e parar. Para um valor preciso de atrito, o pêndulo cairá até a posição inferior mais baixa o mais rápido que puder, sem ir além e voltar.

Nosso circuito $\text{RLC}$‍ irá exibir os mesmos tipos de comportamento, conforme sua corrente e sua tensão sobem e descem. (Outro bom análogo mecânico é um peso pendurado em uma mola. Se você puxar o peso para baixo e soltá-lo, seu movimento de subida e descida é semelhante ao do pêndulo para trás e para a frente.)

Você se lembra que assumimos que o resistor era relativamente pequeno? Uma pequena resistência permite que o sistema balance para frente e para trás por um tempo. O que acha que vai acontecer se o resistor for maior? (Dica: quanto tempo um pêndulo balançaria se houvesse mais atrito no rolamento?)

Nos dois próximos artigos vamos descobrir precisamente como o $\text{RLC}$‍ funciona quando fazemos uma derivação formal da resposta natural. Nós seremos capazes de prever a frequência de oscilação e veremos o quão rapidamente o sinal desaparece.

Nós seguimos a carga se movendo em torno de um circuito $\text{RLC}$‍ ao longo do tempo. Começamos com uma carga no capacitor e fechamos o interruptor. A carga fluiu para trás e para a frente de uma placa do capacitor para a outra, passando através do indutor e resistor nas duas direções.

Ao passar através do indutor, a corrente armazena energia no campo magnético em torno do indutor. A energia retorna ao circuito ao movimentar a carga.

Cada ciclo de oscilação é um pouco menor que o anterior, pelo aquecimento do resistor causado pela perda de energia ao movimentar a carga.

O pêndulo balançando é um análogo mecânico do circuito eléctrico $\text{RLC}$‍. Ele o ajuda a vislumbrar o que está acontecendo no circuito.