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Engenharia elétrica

Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2

Lição 4: Resposta natural e forçada

Resposta natural RLC - variações

A resposta natural RLC cai em três categorias: superamortecido, criticamente amortecido e subamortecido. Escrito por Willy McAllister.

Introdução

A resposta natural de um circuito resistor-indutor-capacitor left parenthesis, start text, R, L, C, right parenthesis, end text pode assumir três diferentes formas, dependendo dos valores do componentes utilizados.

Em dois artigos anteriores, abordamos uma descrição intuitiva de como o start text, R, L, C, end text se comporta, e fizemos uma derivação formal em que modelamos o circuito com uma equação diferencial de segunda ordem e resolvemos um circuito exemplo específico. Neste artigo, vamos analisar a equação característica e dar nomes às várias soluções.

O que estamos construindo

A equação característica do start text, R, L, C, end text é:

s, squared, plus, start fraction, start text, R, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction, s, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, equals, 0

Vamos encontrar as raízes da equação característica usando a fórmula de Bhaskara:

s, equals, start fraction, minus, start text, R, end text, plus minus, square root of, start text, R, end text, squared, minus, 4, start text, L, end text, slash, start text, C, end text, end square root, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction

Substituindo as variáveis alpha e omega, start subscript, o, end subscript podemos escrever s de forma um pouco mais simples:

s, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root

onde,

alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction, comma omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction

alpha é chamado de fator de amortecimento e omega, start subscript, 0, end subscript é a frequência de ressonância.

Existem três formas de soluções distintas para i, left parenthesis, t, right parenthesis, a depender da relação entre alpha e omega, start subscript, 0, end subscript:

amortecimento supercrítico, alpha, is greater than, omega, start subscript, 0, end subscript, que é a soma de duas exponenciais decrescentes
amortecimento crítico, alpha, equals, omega, start subscript, 0, end subscript, que dá t vezes uma exponencial decrescente
amortecimento subcrítico, alpha, is less than, omega, start subscript, 0, end subscript, que é uma senóide de amplitude decrescente

Modelando e resolvendo o circuito - revisão

Em um artigo anterior, criamos e resolvemos uma equação diferencial de segunda ordem modelando o circuito start text, R, L, C, end text. Esta equação se parece com essa:

start text, L, end text, start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start text, R, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, i, equals, 0

Nós propusemos uma solução com uma forma exponencial (que funcionou muito bem para nós), e chegamos a equação característica com essa fórmula:

Nós resolvemos em função de s, as raízes da equação característica do circuito start text, R, L, C, end text, usando a fórmula de Bhaskara,

Substituindo as variáveis alpha e omega, start subscript, o, end subscript escrevemos s de forma um pouco mais simples:

s, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root

onde alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction, comma e omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction

alpha é chamado de fator de amortecimento, e omega, start subscript, 0, end subscript é chamado de frequência de ressonância.

Nós reescrevemos a solução proposta para a seguinte forma,

i, equals, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, s, start subscript, 1, end subscript, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, s, start subscript, 2, end subscript, t, end superscript

Vamos agora olhar em detalhes a função de s, as raízes da equação característica do circuito start text, R, L, C, end text, e seu impacto na solução de i.

Solução exata

Caso se deseje uma solução exata para valores específicos de start text, R, end text, start text, L, end text, e start text, C, end text, podemos fazer um cálculo semelhante a aquele feito no circuito exemplo do artigo anterior. Uma outra alternativa é colocar os parâmetros do circuito em um simulador para nos ajudar a encontrar um resultado.

Amortecimento supercrítico, crítico, subcrítico

Podemos ter uma ideia da riqueza da resposta natural do circuito olhando as três possíveis respostas de forma qualitativa.

A solução de s depende do sinal resultante da subtração que ocorre dentro da raiz quadrada na equação:

s, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root

As raízes podem ser:

relação	sinal de alpha, squared, minus, omega, squared	apelido	s
alpha, is greater than, omega, start subscript, o, end subscript	plus	amortecimento supercrítico	2 raízes reais
alpha, equals, omega, start subscript, o, end subscript	0	amortecimento crítico	2 raízes repetidas
alpha, is less than, omega, start subscript, o, end subscript	minus	amortecimento subcrítico	2 raízes complexas

A resposta resultante de i, left parenthesis, t, right parenthesis:

relação	sinal de alpha, squared, minus, omega, squared	denominação	i, left parenthesis, t, right parenthesis
alpha, is greater than, omega, start subscript, o, end subscript	plus	amortecimento supercrítico	2 exponenciais decrescentes
alpha, equals, omega, start subscript, o, end subscript	0	amortecimento crítico	t, dot exponencial decrescente
alpha, is less than, omega, start subscript, o, end subscript	minus	amortecimento subcrítico	seno de amplitude decrescente

Caso seu estudo da engenharia te leve a conhecer a Teoria de Controle, esses termos são usados para descrever o comportamento de sistemas dinâmicos. Por exemplo, o movimento de um braço robótico pode ser descrito por uma equação diferencial de segunda ordem. Se você comandar seu robô para pegar um objeto rapidamente, você pode descrever o movimento da mão do robô usando essas palavras.

Vamos olhar as três possíveis respostas com um pouco mais de detalhe.

alpha, squared, minus, omega, squared, is greater than, 0 amortecimento supercrítico

Sob esta condição, o termo omega, start subscript, o, end subscript, squared é pequeno em relação a alpha, squared, então sabemos que a expressão dentro da raiz quadrada resultará positiva. Também sabemos que a expressão da raiz quadrada será menor do que alpha. Isso significa que s será dois números reais, ambos negativos.

s, start subscript, 1, comma, 2, end subscript, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root

s, start subscript, 1, end subscript, equals, minus, start text, n, u, with, \', on top, m, e, r, o, space, r, e, a, l, end text, start subscript, 1, end subscript e s, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, start text, n, u, with, \', on top, m, e, r, o, space, r, e, a, l, end text, start subscript, 2, end subscript

(Convença-se que s, start subscript, 1, end subscript e s, start subscript, 2, end subscript serão ambos negativos.)

A corrente será a sobreposição de duas exponenciais reais que decaem até zero.

i, equals, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, minus, start text, r, e, a, l, end text, start subscript, 1, end subscript, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, start text, r, e, a, l, end text, start subscript, 2, end subscript, t, end superscript

Diz-se que o circuito está com amortecimento super crítico pois as duas exponenciais sobrepostas estão levando a corrente para zero. O circuito será supercrítico caso a parte resistiva seja grande comparada com a frequência de ressonância.

[Exemplo de amortecimento supercrítico]

alpha, squared, minus, omega, squared, equals, 0 amortecimento crítico

O limite entre o amortecimento subcrítico e supercrítico é quando alpha, equals, omega, start subscript, o, end subscript. O fator de amortecimento e a frequência de ressonância estão em equilíbrio, e os termos dentro da raiz quadrada resultam em 0. As raízes da equação característica, s, são dois números reais idênticos, as raízes repetidas:

s, start subscript, 1, comma, 2, end subscript, equals, minus, alpha, plus minus, start cancel, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root, end cancel, start superscript, 0, end superscript

s, start subscript, 1, comma, 2, end subscript, equals, minus, alpha

Resolver uma equação diferencial de segunda ordem com raízes repetidas é um pouco complicado. Não vou fazer a derivação aqui, mas vou pedir que você assista a um ótimo vídeo sobre resolução de raízes repetidas. Bem-vindo(a) de volta. Com raízes repetidas, a resposta é um termo exponencial multiplicado por t.

i, equals, start fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, divided by, start text, L, end text, end fraction, t, e, start superscript, minus, alpha, t, end superscript

Denomina-se a resposta do circuito como criticamente amortecida.

[Exemplo do amortecimento crítico]

alpha, squared, minus, omega, squared, is less than, 0 amortecimento subcrítico

Quando o alpha é menor que o omega, start subscript, o, end subscript, a raiz quadrada tem um número negativo dentro, e o s sai como dois números complexos conjugados, com partes reais e imaginárias. O circuito exemplo em que trabalhamos no artigo Derivação da resposta natural do RLC é um sistema de amortecimento subcrítico.

A corrente se assemelha a uma onda senoidal que diminui com o passar do tempo. Pense no som que um sino faz quando você o toca. O som do sino é liberado e enfraquece com o passar do tempo. Isso é um sistema mecânico de amortecimento subcrítico de segunda ordem. Para circuitos elétricos de segunda ordem, nós pegamos emprestado o termo que dizemos que o sistema com amortecimento subcrítico "toca" em uma frequência de aproximadamente omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction, point

[por que aproximado?]

Se deixarmos a resistência ficar muito pequena até chegar a 0, então alpha, equals, start text, R, end text, slash, 2, start text, L, end text se torna zero e s, start subscript, 1, comma, 2, end subscript se torna omega, start subscript, o, end subscript. O circuito se torna uma configuração start text, L, C, end text pura. Quando analisamos a resposta natural do circuito LC, obtivemos uma onda senoidal que durava para sempre. (Na vida real, o start text, R, end text nunca é 0, portanto, sempre há uma perda de energia. Um sino não toca para sempre.)

O primeiro exemplo de circuito que trabalhamos mais cedo nesse artigo tinha start text, R, end text, equals, 2, \Omega, comma, start text, L, end text, equals, 1, start text, H, end text, comma e start text, C, end text, equals, 1, slash, 5, start text, F, end text, point

Nós não iremos repetir a solução, mas aqui estão algumas observações usando a notação alpha e omega, start subscript, o, end subscript.

O fator de amortecimento alpha é

alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction, equals, start fraction, 2, divided by, 2, dot, 1, end fraction, equals, 1

A frequência ressonante, omega, start subscript, o, end subscript é

omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 1, dot, 1, slash, 5, end square root, end fraction, equals, square root of, 5, end square root

Olhando para os termos dentro da raiz quadrada:

alpha, squared, minus, omega, squared, equals, 1, squared, minus, square root of, 5, end square root, squared, equals, minus, 4, equals um número negativo, o qual nós vimos que leva à solução de um seno decaindo. Portanto, nós poderíamos descrever o exemplo de circuito como um sistema de amortecimento subcrítico.

Resumo

O circuito start text, R, L, C, end text é o equivalente eletrônico de um pêndulo oscilante com atrito. O circuito pode ser modelado por essa equação diferencial linear de 2a-ordem:

A equação característica resultante é:

Vamos encontrar as raízes da equação característica usando a fórmula quadrática:

Substituindo as variáveis alpha e omega, start subscript, o, end subscript escrevemos s de forma um pouco mais simples:

s, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root

Dependendo do tamanho relativo de alpha e omega, start subscript, o, end subscript, nós obtemos três formas diferentes da solução:

amortecimento supercrítico, alpha, is greater than, omega, start subscript, 0, end subscript, que é a soma de duas exponenciais decrescentes
amortecimento crítico, alpha, equals, omega, start subscript, 0, end subscript, que é t vezes uma exponencial decrescente
amortecimento subcrítico, alpha, is less than, omega, start subscript, 0, end subscript, que é uma senoide de amplitude decrescente

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Erick Barrientos
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O que estamos construindo

Modelando e resolvendo o circuito - revisão

Solução exata

Amortecimento supercrítico, crítico, subcrítico

α2−ω2>0\alpha^2 - \omega^2 > 0\quadα2−ω2>0alpha, squared, minus, omega, squared, is greater than, 0 amortecimento supercrítico

α2−ω2=0\alpha^2 - \omega^2 = 0 \quadα2−ω2=0alpha, squared, minus, omega, squared, equals, 0 amortecimento crítico

α2−ω2<0\alpha^2 - \omega^2 <0\quadα2−ω2<0alpha, squared, minus, omega, squared, is less than, 0 amortecimento subcrítico

Resumo

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alpha, squared, minus, omega, squared, is greater than, 0 amortecimento supercrítico

alpha, squared, minus, omega, squared, equals, 0 amortecimento crítico

alpha, squared, minus, omega, squared, is less than, 0 amortecimento subcrítico