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Engenharia elétrica
Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2
Lição 4: Resposta natural e forçada- Equações i-v do capacitor
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Resposta natural RLC - variações
A resposta natural RLC cai em três categorias: superamortecido, criticamente amortecido e subamortecido. Escrito por Willy McAllister.
Introdução
A resposta natural de um circuito resistor-indutor-capacitor pode assumir três diferentes formas, dependendo dos valores do componentes utilizados.
Em dois artigos anteriores, abordamos uma descrição intuitiva de como o se comporta, e fizemos uma derivação formal em que modelamos o circuito com uma equação diferencial de segunda ordem e resolvemos um circuito exemplo específico. Neste artigo, vamos analisar a equação característica e dar nomes às várias soluções.
O que estamos construindo
A equação característica do é:
Vamos encontrar as raízes da equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo as variáveis e podemos escrever de forma um pouco mais simples:
onde,
Existem três formas de soluções distintas para , a depender da relação entre e :
- amortecimento supercrítico,
, que é a soma de duas exponenciais decrescentes - amortecimento crítico,
, que dá vezes uma exponencial decrescente - amortecimento subcrítico,
, que é uma senóide de amplitude decrescente
Modelando e resolvendo o circuito - revisão
Em um artigo anterior, criamos e resolvemos uma equação diferencial de segunda ordem modelando o circuito . Esta equação se parece com essa:
Nós propusemos uma solução com uma forma exponencial (que funcionou muito bem para nós), e chegamos a equação característica com essa fórmula:
Nós resolvemos em função de , as raízes da equação característica do circuito , usando a fórmula de Bhaskara,
Substituindo as variáveis e escrevemos de forma um pouco mais simples:
onde
e
Nós reescrevemos a solução proposta para a seguinte forma,
Vamos agora olhar em detalhes a função de , as raízes da equação característica do circuito , e seu impacto na solução de .
Solução exata
Caso se deseje uma solução exata para valores específicos de , , e , podemos fazer um cálculo semelhante a aquele feito no circuito exemplo do artigo anterior. Uma outra alternativa é colocar os parâmetros do circuito em um simulador para nos ajudar a encontrar um resultado.
Amortecimento supercrítico, crítico, subcrítico
Podemos ter uma ideia da riqueza da resposta natural do circuito olhando as três possíveis respostas de forma qualitativa.
A solução de depende do sinal resultante da subtração que ocorre dentro da raiz quadrada na equação:
As raízes podem ser:
relação | sinal de | apelido | |
---|---|---|---|
amortecimento supercrítico | 2 raízes reais | ||
amortecimento crítico | 2 raízes repetidas | ||
amortecimento subcrítico | 2 raízes complexas |
A resposta resultante de :
relação | sinal de | denominação | |
---|---|---|---|
amortecimento supercrítico | 2 exponenciais decrescentes | ||
amortecimento crítico | |||
amortecimento subcrítico | seno de amplitude decrescente |
Caso seu estudo da engenharia te leve a conhecer a Teoria de Controle, esses termos são usados para descrever o comportamento de sistemas dinâmicos. Por exemplo, o movimento de um braço robótico pode ser descrito por uma equação diferencial de segunda ordem. Se você comandar seu robô para pegar um objeto rapidamente, você pode descrever o movimento da mão do robô usando essas palavras.
Vamos olhar as três possíveis respostas com um pouco mais de detalhe.
amortecimento supercrítico
Sob esta condição, o termo é pequeno em relação a , então sabemos que a expressão dentro da raiz quadrada resultará positiva. Também sabemos que a expressão da raiz quadrada será menor do que . Isso significa que será dois números reais, ambos negativos.
(Convença-se que e serão ambos negativos.)
A corrente será a sobreposição de duas exponenciais reais que decaem até zero.
Diz-se que o circuito está com amortecimento super crítico pois as duas exponenciais sobrepostas estão levando a corrente para zero.
O circuito será supercrítico caso a parte resistiva seja grande comparada com a frequência de ressonância.
amortecimento crítico
O limite entre o amortecimento subcrítico e supercrítico é quando . O fator de amortecimento e a frequência de ressonância estão em equilíbrio, e os termos dentro da raiz quadrada resultam em . As raízes da equação característica, , são dois números reais idênticos, as raízes repetidas:
Resolver uma equação diferencial de segunda ordem com raízes repetidas é um pouco complicado. Não vou fazer a derivação aqui, mas vou pedir que você assista a um ótimo vídeo sobre resolução de raízes repetidas. Bem-vindo(a) de volta. Com raízes repetidas, a resposta é um termo exponencial multiplicado por .
Denomina-se a resposta do circuito como criticamente amortecida.
amortecimento subcrítico
Quando o é menor que o , a raiz quadrada tem um número negativo dentro, e o sai como dois números complexos conjugados, com partes reais e imaginárias. O circuito exemplo em que trabalhamos no artigo Derivação da resposta natural do RLC é um sistema de amortecimento subcrítico.
A corrente se assemelha a uma onda senoidal que diminui com o passar do tempo. Pense no som que um sino faz quando você o toca. O som do sino é liberado e enfraquece com o passar do tempo. Isso é um sistema mecânico de amortecimento subcrítico de segunda ordem. Para circuitos elétricos de segunda ordem, nós pegamos emprestado o termo que dizemos que o sistema com amortecimento subcrítico "toca" em uma frequência de aproximadamente
Se deixarmos a resistência ficar muito pequena até chegar a , então se torna zero e se torna . O circuito se torna uma configuração pura. Quando analisamos a resposta natural do circuito LC, obtivemos uma onda senoidal que durava para sempre. (Na vida real, o nunca é , portanto, sempre há uma perda de energia. Um sino não toca para sempre.)
O primeiro exemplo de circuito que trabalhamos mais cedo nesse artigo tinha e
Nós não iremos repetir a solução, mas aqui estão algumas observações usando a notação e .
O fator de amortecimento é
A frequência ressonante, é
Olhando para os termos dentro da raiz quadrada:
Resumo
O circuito é o equivalente eletrônico de um pêndulo oscilante com atrito.
O circuito pode ser modelado por essa equação diferencial linear de a-ordem:
A equação característica resultante é:
Vamos encontrar as raízes da equação característica usando a fórmula quadrática:
Substituindo as variáveis e escrevemos de forma um pouco mais simples:
onde
e
Dependendo do tamanho relativo de e , nós obtemos três formas diferentes da solução:
- amortecimento supercrítico,
, que é a soma de duas exponenciais decrescentes - amortecimento crítico,
, que é vezes uma exponencial decrescente - amortecimento subcrítico,
, que é uma senoide de amplitude decrescente
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