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Engenharia elétrica
Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2
Lição 4: Resposta natural e forçada- Equações i-v do capacitor
- Um capacitor integra a corrente
- Equação i-v do capacitor em ação
- Equações do indutor
- Tensão Reversa no Indutor (1 de 2)
- Tensão Reversa no Indutor (2 de 2)
- Equação i-v do indutor em ação
- Resposta natural RC - intuição
- Resposta natural RC - derivação
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- Resposta natural RC
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Equação i-v do indutor em ação
Olhamos para as equações i-v dos indutores e notamos como é importante dar à corrente do indutor um caminho para circular. Escrito por Willy McAllister.
O indutor é um dos elementos de circuito ideais. Vamos por uma equação corrente-tensão do indutor para funcionar e aprender mais sobre como um indutor se comporta.
O que estamos construindo
Neste artigo:
- Vamos explorar a forma derivada e a forma integral da equação do indutor i-v:
v, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction i, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, T, end superscript, v, start text, d, end text, t, plus, i, start subscript, 0, end subscript
- Criamos circuitos simples conectando um indutor a uma fonte de corrente, fonte de tensão, e um interruptor.
- Aprendemos por que um indutor atua como um curto circuito se a corrente é constante.
- Aprendemos por que a corrente em um indutor não pode mudar instantaneamente.
- Quando um indutor está conectado a um interruptor, existe um paradoxo quando o disjuntor é aberto. Para onde vai a corrente do indutor?
- Mostramos como proteger componentes sensíveis das altas tensões geradas por um indutor.
Equações i-v dos indutores
v, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction i, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, T, end superscript, v, start text, d, end text, t, plus, i, start subscript, 0, end subscript
Estas são a forma derivada e a forma integral das equações do indutor.
start text, L, end text é a indutância, uma propriedade física do indutor.
start text, L, end text é o fator de escala para a relação entre v e d, i, slash, d, t.
start text, L, end text determina o valor de v que é gerado por um determinado valor de d, i, slash, d, t.
start text, L, end text é o fator de escala para a relação entre v e d, i, slash, d, t.
start text, L, end text determina o valor de v que é gerado por um determinado valor de d, i, slash, d, t.
i, start subscript, 0, end subscript é a corrente inicial no indutor, em t, equals, 0.
A tensão no indutor é proporcional à variação da corrente.
Quando aprendemos sobre resistores, a Lei de Ohm nos disse que a tensão sobre um resistor é proporcional a corrente através do resistor: v, equals, i, start text, R, end text.
Agora nós temos um indutor com sua equação i-v : v, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction.
Isto nos diz que a tensão sobre o indutor é proporcional a variação da corrente através do indutor.
Para resistores do mundo real, aprendemos a tomar cuidado para tensão e a corrente não ficarem tão grandes, para que o resistor físico possa suportá-las.
Para indutores do mundo real, temos que ter o cuidado para tensão e a variação de corrente não ficarem tão grandes, para que o indutor físico possa suportá-las. Isso pode ser complicado, visto que é muito fácil criar uma mudança muito grande de corrente se você abre ou fecha um interruptor. Mais tarde neste artigo mostraremos como projetar para essa situação.
Indutor e fonte de corrente
A primeira coisa que iremos ver é um indutor conectado a uma fonte de corrente ideal.
A fonte de corrente fornece uma corrente constante ao indutor, i, equals, start text, I, end text, por exemplo, i, equals, 2, start text, m, A, end text. Qual é a tensão sobre o indutor?
A equação do indutor nos diz que:
Isso nos diz que a tensão sobre o indutor é proporcional à taxa de variação da corrente através do indutor.
Uma vez que a fonte de corrente fornece uma corrente constante, a taxa de variação, ou inclinação, da corrente é 0.
start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, equals, start fraction, d, 2, divided by, d, t, end fraction, equals, 0 (todos sabem que 2 não muda com o tempo)
Portanto, a tensão no o indutor é:
Se uma corrente constante flui em um indutor, então d, i, slash, d, t, equals, 0, então há uma tensão nula sobre o indutor.
Tensão nula significa que um indutor com uma corrente constante se parece um curto circuito, o mesmo que um simples fio.
Mesmo se a corrente for muito grande, como 100, start text, A, end text, se ela é constante, a tensão sobre um indutor ainda é 0 volts.
Indutor e fonte de tensão
Agora vamos conectar um indutor a uma fonte de tensão ideal constante e ver o que a equação do indutor nos diz.
Vamos ser mais específicos e dizer que start text, V, end text, equals, 3, start text, V, end text e start text, L, end text, equals, 10, start text, m, H, end text.
Se substituirmos esses valores na equação do indutor teremos:
ou, resolvendo para d, i, slash, d, t:
Isso significa que a corrente através do indutor terá uma inclinação crescente de 300, start text, a, m, p, e, r, e, s, end text, slash, start text, s, e, g, u, n, d, o, end text.
Isso é surpreendente, mas é o que a equação diz. não é preciso dizer que isso não é um circuito prático. Nós só o construímos em nossas mentes para podermos ver o que acontece com uma tensão constante. Se construirmos esse circuito, a corrente iria crescer até nossa fonte de tensão do mundo real não conseguir acompanhar a demanda por mais corrente. Mas durante um curto espaço de tempo, é como indutores reais trabalham.
Uma tensão constante sobre um indutor resulta em uma corrente com uma inclinação constante.
Indutor e um interruptor
Agora testaremos a forma integral da equação do indutor ao analisarmos esse circuito com um interruptor.
O circuito tem uma fonte de tensão em série com nosso indutor de 10, start text, m, H, end text, além de um interruptor de botão (push button). O terminal superior do indutor está em um valor constante 3, start text, V, end text acima do terra. A tensão no indutor é v, start subscript, start text, L, end text, end subscript. Vamos denominar a tensão no disjuntor: v, start subscript, start text, p, b, end text, end subscript. Essa é também a tensão no terminal inferior do indutor.
Pressionamos o botão em t, equals, 0, o que fecha o circuito e permite que a corrente flua. Vamos determinar a corrente start color #11accd, i, end color #11accd através do indutor, dessa vez usando a forma integral da equação do indutor.
Antes do interruptor ser pressionado
Assumiremos que a corrente inicial através do indutor é zero: i, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 0 porque antes de t, equals, 0 o interruptor não foi pressionado e o circuito estava aberto.
Depois do interruptor ser pressionado
Apertamos o botão do interruptor no instante t, equals, 0.
No momento que pressionamos o interruptor, v, start subscript, start text, p, b, end text, end subscript vai para 0, start text, V, end text. Os plus, 3, start text, V, end text da fonte estão agora conectados ao indutor, e a corrente começa a fluir. A corrente começa em 0 e gradualmente cresce enquanto o indutor integra sua tensão de acordo com a equação do indutor:
O limite t na integral é o tempo que o interruptor foi mantido pressionado. Enquanto o interruptor for pressionado, o indutor integra a tensão e a corrente continua a aumentar.
Podemos inserir os valores das variáveis que conhecemos, start text, L, end text e v:
Essa integral resulta apenas em x. Calculamos x entre os limites 0 e t
Essa é a equação de uma linha, válida enquanto o disjuntor estiver pressionado. A inclinação da linha é:
Enquanto a chave estiver fechada, a corrente no indutor aumenta 300 amperes por segundo. Toda essa energia se armazena no campo magnético do indutor.
Como em um exemplo explícito vamos calcular isso para um instante de tempo: 0, comma, 002 segundos left parenthesis, 2, start text, m, s, end text, right parenthesis depois que o disjuntor é pressionado, a corrente aumentará para 300, dot, 0, comma, 002, equals, 0, comma, 6, start text, A, end text ou 600, start text, m, A, end text.
A corrente gradualmente sobe (ou desce) na medida em que um indutor integra sua tensão ao longo do tempo.
Este é o mesmo resultado que obtemos usando a forma derivada da equação do indutor.
Provavelmente devemos desligar o interruptor em algum momento.
Liberando o interruptor
Digamos que liberamos o botão em t, equals, 2, start text, m, s, end text e o interruptor se abre. Vamos descobrir o que acontece revendo a forma derivada da equação do indutor:
Quando liberamos o botão, esperamos que a corrente instantaneamente mude de 600, start text, m, A, end text para 0, start text, m, A, end text. Mas espere um pouco. Isso significa que i muda de um valor finito para 0 amps num tempo 0.
A derivada da corrente, d, i, slash, d, t, é left parenthesis, 0, minus, 600, right parenthesis, slash, 0, ou infinito!
A equação do indutor prevê que v será infinito! Isso pode acontecer? Não, não pode. A corrente em um indutor não pode mudar instantaneamente porque isso implica em que iria existir uma tensão infinita, que não vai acontecer. Essa relutância em mudar é devida à energia armazenada no campo magnético do indutor.
A corrente em um indutor não muda (não mudará) instantaneamente.
Temos um enigma em nossas mãos. Abrimos o interruptor enquanto a corrente fluía no indutor. O disjuntor aberto significa que não há por onde a corrente fluir. O que acontece com o a corrente do indutor que insiste em fluir?
O que acontece em um circuito ideal?
Isso está complicado. Temos toda a corrente e a tensão que queremos, mas esta situação quebra os modelos ideais porque criamos um combate impossível: a corrente tem que ser zero e finita ao mesmo tempo. Atingimos os limites de nossos modelos ideais. Isso confunde as coisas.
O que acontece em um circuito real?
Quando o interruptor abre em t, equals, 2, start text, m, s, end text, esperamos que a corrente mude de 600, start text, m, A, end text para 0, start text, m, A, end text num tempo 0. Não vamos ser gananciosos. Vamos dizer que é possível o interruptor levar 1, mu, start text, s, e, c, end text para ir de fechado para aberto. A tensão que deveríamos ver sobre o indutor é:
A tensão no indutor fica enorme! O terminal plus do indutor está plus, 3 volts acima do terra. O sinal minus em v, start subscript, start text, L, end text, end subscript significa que o terminal negativo do indutor está 6000 volts acima do terminal positivo.
Isso faz com que v, start subscript, start text, p, b, end text, end subscript, equals, 3, plus, 6000, equals, plus, 6003, start text, v, o, l, t, s, end text.
Isso realmente acontece?
Quando a tensão fica tão alta assim o que realmente acontece é que uma centelha acontece no espaço de ar entre os contatos do botão. A energia no campo magnético é liberada em uma breve explosão brilhante de luz. De fato, se você quer gerar uma centelha, essa é uma das melhores maneiras de fazê-la.
Em uma versão da vida real de nosso circuito exemplo, uma centelha começa por volta de 3000 volts. Se você tem um interruptor fisicamente forte, ele pode suportar a centelha. Mas se o interruptor é frágil (como se você usa um transistor como um interruptor), há uma boa chance de que a alta tensão irá destruí-lo.
Nosso paradoxo: Como pode haver uma corrente de indutor finita ao mesmo tempo em que um circuito é aberto? Na vida real, o paradoxo é resolvido pelo indutor ganhando e o circuito aberto perdendo. O interruptor aberto foi compelido a não ser aberto durante a centelha.
Você pode parar de ler por aqui se quiser. Você tem um bom entendimento de como funcionam as duas formas de equação do indutor. Essa próxima seção opcional descreve como projetar em torno do pico de tensão de um indutor.
Para obtermos o máximo desta descrição, é bom se você está familiarizado com o funcionamento de um diodo. Um diodo conduz corrente em uma direção, mas não na direção oposta.
Como evitamos ter nosso circuito destruído pelo pico de tensão de um indutor? Ao projetar um circuito com um indutor chaveado, podemos pensar adiante e nos certificarmos de que a corrente tem sempre um caminho por onde fluir.
Dar à corrente um caminho por onde fluir
O problema que enfrentamos com indutores é que eles não gostam de repentinos circuitos abertos. Aqui está uma maneira de lidar com o desafio do projeto: fornecer um caminho alternativo para a corrente.
Se adicionarmos um diodo em paralelo com o indutor, ele resolve o problema do pico de tensão de uma forma elegante. O diodo fornece um caminho para a corrente do indutor quando o interruptor abre, evitando faíscas e danos.
A primeira coisa a se observar é a direção que o diodo assume: sua seta de corrente direta está apontando para cima. A corrente fluirá somente para acima através do diodo.
Antes que o interruptor seja fechado, não há corrente fluindo em nenhum lugar, então há 0 volts através do indutor e do diodo. v, start subscript, start text, p, b, end text, end subscript tem um valor de 3, start text, V, end text.
Feche o interruptor
Quando o interruptor é fechado, a corrente flui através do indutor e do interruptor, tal como fez sem o diodo:
Libere o interruptor
Agora liberamos o botão do interruptor e ele abre. O diodo realiza algo inteligente para nós. Antes, quando não havia diodo, o interruptor aberto produziu em v, start subscript, start text, p, b, end text, end subscript um pico de tensão positiva enorme.
Com o diodo no circuito, quando o interruptor abre, há uma grande d, i, slash, d, t, que faz v, start subscript, start text, p, b, end text, end subscript rapidamente seguir em direção a um valor positivo, como ocorreu sem o diodo.
O diodo provê um caminho para o indutor deixar sua corrente continuar a fluir, sem a necessidade de uma centelha entre os contatos do interruptor. A característica i-v do diodo impede que a tensão fique muito maior que isso. v, start subscript, start text, p, b, end text, end subscript sobe para 3, comma, 7 volts ou talvez um pouco mais. O diodo grampeia a tensão neste valor, evitando o temido arco. Tudo funcionou a contento.
Na vida real, a corrente do indutor, start color #11accd, i, end color #11accd, circula através do diodo enquanto for necessário até que a resistência da fiação do indutor dissipe a energia como calor. O diodo impede uma centelha enorme de tensão indutiva e protege os componentes adjacentes.
Resumo
A corrente em um indutor não muda instantaneamente
Quando a corrente é constante, um indutor se parece com um curto-circuito.
Tenha cuidado ao fazer circuitos com um indutor. Um repentina mudança na corrente, como uma abertura de um interruptor, interrompendo um caminho da corrente, resulta na derivada da corrente, d, i, slash, d, t, se tornar muito grande. A equação do indutor nos diz que pode haver uma grande tensão gerada através do indutor.
Uma maneira de lidar com a tensão potencialmente destrutiva de um indutor é projetar um caminho para a corrente, para você não ter uma grande d, i, slash, d, t. Mostramos como adicionar um diodo para fornecer um caminho da corrente e grampear a tensão do indutor num valor aceitável quando um interruptor é aberto.
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