Conteúdo principal

Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2

Lição 4: Resposta natural e forçada

Equação i-v do indutor em ação

Olhamos para as equações i-v dos indutores e notamos como é importante dar à corrente do indutor um caminho para circular. Escrito por Willy McAllister.

O indutor é um dos elementos de circuito ideais. Vamos por uma equação corrente-tensão do indutor para funcionar e aprender mais sobre como um indutor se comporta.

O que estamos construindo

Neste artigo:

Vamos explorar a forma derivada e a forma integral da equação do indutor $i$ ‍- $v$ ‍:

$v = L \frac{d i}{d t}$ ‍ $i = \frac{1}{L} \int_{0}^{T} v d t + i_{0}$ ‍

Criamos circuitos simples conectando um indutor a uma fonte de corrente, fonte de tensão, e um interruptor.
Aprendemos por que um indutor atua como um curto circuito se a corrente é constante.
Aprendemos por que a corrente em um indutor não pode mudar instantaneamente.
Quando um indutor está conectado a um interruptor, existe um paradoxo quando o disjuntor é aberto. Para onde vai a corrente do indutor?
Mostramos como proteger componentes sensíveis das altas tensões geradas por um indutor.

Equações $i$ ‍- $v$ ‍ dos indutores

v = L \frac{d i}{d t}

i = \frac{1}{L} \int_{0}^{T} v d t + i_{0}

Estas são a forma derivada e a forma integral das equações do indutor.

L

é a indutância, uma propriedade física do indutor.

L

é o fator de escala para a relação entre

v

d i / d t

L

determina o valor de

v

que é gerado por um determinado valor de

d i / d t

i_{0}

é a corrente inicial no indutor, em

t = 0

v = L \frac{d i}{d t}

d

é a notação de cálculo para 'diferencial', ou "uma pequena mudança em ...". Por exemplo,

d t

significa 'uma pequena mudança no tempo'. Quando você vê em uma proporção, como

d i / d t

, isso significa que, "uma pequena mudança em

i

(corrente) para cada pequena mudança no tempo." Uma expressão como

d i / d t

é chamada de derivada. Essa derivada é a inclinação da corrente quando ela é plotada contra o tempo.

A tensão no indutor é proporcional à variação da corrente.

Quando aprendemos sobre resistores, a Lei de Ohm nos disse que a tensão sobre um resistor é proporcional a corrente através do resistor:

v = i R

Agora nós temos um indutor com sua equação

i

v

v = L \frac{d i}{d t}

Isto nos diz que a tensão sobre o indutor é proporcional a variação da corrente através do indutor.

Para resistores do mundo real, aprendemos a tomar cuidado para tensão e a corrente não ficarem tão grandes, para que o resistor físico possa suportá-las. Para indutores do mundo real, temos que ter o cuidado para tensão e a variação de corrente não ficarem tão grandes, para que o indutor físico possa suportá-las. Isso pode ser complicado, visto que é muito fácil criar uma mudança muito grande de corrente se você abre ou fecha um interruptor. Mais tarde neste artigo mostraremos como projetar para essa situação.

Indutor e fonte de corrente

A primeira coisa que iremos ver é um indutor conectado a uma fonte de corrente ideal.

A fonte de corrente fornece uma corrente constante ao indutor,

i = I

, por exemplo,

i = 2 mA

. Qual é a tensão sobre o indutor?

A equação do indutor nos diz que:

v = L \frac{d i}{d t}

Isso nos diz que a tensão sobre o indutor é proporcional à taxa de variação da corrente através do indutor.

Uma vez que a fonte de corrente fornece uma corrente constante, a taxa de variação, ou inclinação, da corrente é

0

\frac{d i}{d t} = \frac{d 2}{d t} = 0

(todos sabem que

2

não muda com o tempo)

Portanto, a tensão no o indutor é:

v = L \cdot 0

v = 0

Se uma corrente constante flui em um indutor, então $d i / d t = 0$ ‍, então há uma tensão nula sobre o indutor.

Tensão nula significa que um indutor com uma corrente constante se parece um curto circuito, o mesmo que um simples fio.

Mesmo se a corrente for muito grande, como

100 A

, se ela é constante, a tensão sobre um indutor ainda é

0

volts.

Indutor e fonte de tensão

Agora vamos conectar um indutor a uma fonte de tensão ideal constante e ver o que a equação do indutor nos diz.

Vamos ser mais específicos e dizer que

V = 3 V

L = 10 mH

Se substituirmos esses valores na equação do indutor teremos:

v = L \frac{d i}{d t}

3 = 10 mH \cdot \frac{d i}{d t}

ou, resolvendo para

d i / d t

\frac{d i}{d t} = \frac{3}{10 \times 10^{- 3}} = 300 amperes / seg

Isso significa que a corrente através do indutor terá uma inclinação crescente de

300 amperes / segundo

Isso é surpreendente, mas é o que a equação diz. não é preciso dizer que isso não é um circuito prático. Nós só o construímos em nossas mentes para podermos ver o que acontece com uma tensão constante. Se construirmos esse circuito, a corrente iria crescer até nossa fonte de tensão do mundo real não conseguir acompanhar a demanda por mais corrente. Mas durante um curto espaço de tempo, é como indutores reais trabalham.

Uma tensão constante sobre um indutor resulta em uma corrente com uma inclinação constante.

Indutor e um interruptor

Agora testaremos a forma integral da equação do indutor ao analisarmos esse circuito com um interruptor.

O circuito tem uma fonte de tensão em série com nosso indutor de

10 mH

, além de um interruptor de botão (push button). O terminal superior do indutor está em um valor constante

3 V

acima do terra. A tensão no indutor é

v_{L}

. Vamos denominar a tensão no disjuntor:

v_{pb}

. Essa é também a tensão no terminal inferior do indutor.

Pressionamos o botão em

t = 0

, o que fecha o circuito e permite que a corrente flua. Vamos determinar a corrente

i

através do indutor, dessa vez usando a forma integral da equação do indutor.

Antes do interruptor ser pressionado

Assumiremos que a corrente inicial através do indutor é zero:

i (0) = 0

porque antes de

t = 0

o interruptor não foi pressionado e o circuito estava aberto.

Depois do interruptor ser pressionado

Apertamos o botão do interruptor no instante

t = 0

No momento que pressionamos o interruptor,

v_{pb}

vai para

0 V

. Os

+ 3 V

da fonte estão agora conectados ao indutor, e a corrente começa a fluir. A corrente começa em

0

e gradualmente cresce enquanto o indutor integra sua tensão de acordo com a equação do indutor:

i (t) = \frac{1}{L} \int_{0}^{t} v (x) d x + i (0)

A expressão dentro da integral,

v (x) d x

parece um pouco estranha.

x

está nos fazendo um favor por assumir o papel de tempo instantâneo, enquanto

t

é o tempo total que o botão foi pressionado. A razão que nós precisamos de

x

(ou qualquer outro nome de variável além de

t

) é porque nós queremos que a variável

t

seja o limite superior da integral definida.

x

desaparecerá quando nós calcularmos a integral definida, nos deixando com uma corrente em função do tempo total.

x

é chamado de a variável fictícia de integração.

O limite

t

na integral é o tempo que o interruptor foi mantido pressionado. Enquanto o interruptor for pressionado, o indutor integra a tensão e a corrente continua a aumentar.

Podemos inserir os valores das variáveis que conhecemos,

L

v

i (t) = \frac{1}{10 mH} \int_{0}^{t} 3 d x + 0

Essa integral resulta apenas em

x

. Calculamos

x

entre os limites

0

t

i (t) = \frac{3 V}{10 mH} x |_{0}^{t}

i (t) = \frac{3 V}{10 mH} [t - 0]

i (t) = \frac{3 V}{10 mH} t

Essa é a equação de uma linha, válida enquanto o disjuntor estiver pressionado. A inclinação da linha é:

\frac{3 V}{0, 010 H} = 300 amps/segundo

Enquanto a chave estiver fechada, a corrente no indutor aumenta

300

amperes por segundo. Toda essa energia se armazena no campo magnético do indutor.

Como em um exemplo explícito vamos calcular isso para um instante de tempo:

0, 002

segundos

(2 ms)

depois que o disjuntor é pressionado, a corrente aumentará para

300 \cdot 0, 002 = 0, 6 A

600 mA

A corrente gradualmente sobe (ou desce) na medida em que um indutor integra sua tensão ao longo do tempo.

Este é o mesmo resultado que obtemos usando a forma derivada da equação do indutor.

Provavelmente devemos desligar o interruptor em algum momento.

Liberando o interruptor

Digamos que liberamos o botão em

t = 2 ms

e o interruptor se abre. Vamos descobrir o que acontece revendo a forma derivada da equação do indutor:

v = L \frac{d i}{d t}

Quando liberamos o botão, esperamos que a corrente instantaneamente mude de

600 mA

para

0 mA

. Mas espere um pouco. Isso significa que

i

muda de um valor finito para

0

amps num tempo

0

A derivada da corrente,

d i / d t

, é

(0 - 600) / 0

, ou infinito!

A equação do indutor prevê que

v

será infinito! Isso pode acontecer? Não, não pode. A corrente em um indutor não pode mudar instantaneamente porque isso implica em que iria existir uma tensão infinita, que não vai acontecer. Essa relutância em mudar é devida à energia armazenada no campo magnético do indutor.

Indutância é análoga a massa ou inércia em um sistema mecânico. A energia no campo magnético de um indutor não permite que a corrente mude instantaneamente, assim como a massa do carro tende a resistir a mudanças na velocidade. Um carro não pode ser parado ou ligado instantaneamente. Um indutor é basicamente uma versão elétrica da Primeira Lei de Newton do Movimento (A Lei de Inércia): Um corpo em movimento tende a ficar em movimento.

A corrente em um indutor não muda (não mudará) instantaneamente.

Temos um enigma em nossas mãos. Abrimos o interruptor enquanto a corrente fluía no indutor. O disjuntor aberto significa que não há por onde a corrente fluir. O que acontece com o a corrente do indutor que insiste em fluir?

O que acontece em um circuito ideal?

Isso está complicado. Temos toda a corrente e a tensão que queremos, mas esta situação quebra os modelos ideais porque criamos um combate impossível: a corrente tem que ser zero e finita ao mesmo tempo. Atingimos os limites de nossos modelos ideais. Isso confunde as coisas.

O que acontece em um circuito real?

Quando o interruptor abre em

t = 2 ms

, esperamos que a corrente mude de

600 mA

para

0 mA

num tempo

0

. Não vamos ser gananciosos. Vamos dizer que é possível o interruptor levar

1 μ sec

para ir de fechado para aberto. A tensão que deveríamos ver sobre o indutor é:

v_{L} = L \frac{d i}{d t}

v_{L} = 10 mH \cdot \frac{(0 - 600 mA)}{1 μ seg} = 10 \times 10^{- 3} \cdot \frac{- 600 \times 10^{- 3}}{10^{- 6}}

v_{L} = - 6.000 volts!!

A tensão no indutor fica enorme! O terminal

+

do indutor está

+ 3

volts acima do terra. O sinal

-

v_{L}

significa que o terminal negativo do indutor está

6000

volts acima do terminal positivo.

Isso faz com que

v_{pb} = 3 + 6000 = + 6003 volts

Isso realmente acontece?

Quando a tensão fica tão alta assim o que realmente acontece é que uma centelha acontece no espaço de ar entre os contatos do botão. A energia no campo magnético é liberada em uma breve explosão brilhante de luz. De fato, se você quer gerar uma centelha, essa é uma das melhores maneiras de fazê-la.

Embora o ar seja normalmente um ótimo isolante, uma tensão alta pode colapsar o ar. Quando o campo elétrico está por volta de

3000

volts sobre um espaço de ar de of

1

milímetro, o ar se torna parcialmente condutivo. Se a tensão sobe, o ar colapsa completamente e se torna condutivo. O campo elétrico é forte o suficiente para arrancar elétrons de moléculas de oxigênio e nitrogênio. É quando uma faísca elétrica ou arcos atravessam o espaço.

Fonte: Wikipedia Colapso elétrico

Em uma versão da vida real de nosso circuito exemplo, uma centelha começa por volta de

3000

volts. Se você tem um interruptor fisicamente forte, ele pode suportar a centelha. Mas se o interruptor é frágil (como se você usa um transistor como um interruptor), há uma boa chance de que a alta tensão irá destruí-lo.

Nosso paradoxo: Como pode haver uma corrente de indutor finita ao mesmo tempo em que um circuito é aberto? Na vida real, o paradoxo é resolvido pelo indutor ganhando e o circuito aberto perdendo. O interruptor aberto foi compelido a não ser aberto durante a centelha.

Você não precisa ter medo de indutores, mas você deveria respeitá-los. Indutores são dispositivos que armazenam energia, assim como os capacitores são dispositivos de armazenamento de energia. Se você liberar a energia de uma só vez, pode haver um boom!

Fontes de corrente e indutores podem parecer especialmente perigosos, mas não mais do que outros dispositivos. Isto acontece pela nossa falta de familiaridade com fontes de corrente, já que elas não são tão comuns como as fontes de tensão. A maioria de nós sabe que é uma má ideia dar um curto-circuito numa fonte de tensão. Não enfie um garfo em uma tomada de parede ou você vai receber uma tonelada de corrente. Também é uma má ideia dar um curto-circuito em um capacitor energizado, desde que, a curto prazo, um capacitor atua como uma fonte de tensão.

Fontes de corrente são o oposto de fontes de tensão. Eles se saem bem com um curto-circuito, mas não gostam de ser um circuito aberto. Um indutor com uma corrente fluindo age muito como uma fonte de corrente. Se você abre um indutor que está armazenando uma grande quantidade de energia, você recebe uma tonelada de tensão. Pode parecer estranho pensar que um circuito aberto pode causar problemas, mas ele pode quando indutores estão envolvidos. O circuito indutor e interruptor discutidos aqui é o lugar mais comum onde isso se torna um problema significativo.

Você pode parar de ler por aqui se quiser. Você tem um bom entendimento de como funcionam as duas formas de equação do indutor. Essa próxima seção opcional descreve como projetar em torno do pico de tensão de um indutor.

Para obtermos o máximo desta descrição, é bom se você está familiarizado com o funcionamento de um diodo. Um diodo conduz corrente em uma direção, mas não na direção oposta.

Como evitamos ter nosso circuito destruído pelo pico de tensão de um indutor? Ao projetar um circuito com um indutor chaveado, podemos pensar adiante e nos certificarmos de que a corrente tem sempre um caminho por onde fluir.

Dar à corrente um caminho por onde fluir

O problema que enfrentamos com indutores é que eles não gostam de repentinos circuitos abertos. Aqui está uma maneira de lidar com o desafio do projeto: fornecer um caminho alternativo para a corrente.

Se adicionarmos um diodo em paralelo com o indutor, ele resolve o problema do pico de tensão de uma forma elegante. O diodo fornece um caminho para a corrente do indutor quando o interruptor abre, evitando faíscas e danos.

A primeira coisa a se observar é a direção que o diodo assume: sua seta de corrente direta está apontando para cima. A corrente fluirá somente para acima através do diodo.

Antes que o interruptor seja fechado, não há corrente fluindo em nenhum lugar, então há

0

volts através do indutor e do diodo.

v_{pb}

tem um valor de

3 V

Feche o interruptor

Quando o interruptor é fechado, a corrente flui através do indutor e do interruptor, tal como fez sem o diodo:

Qual é a tensão através do diodo, quando o interruptor é fechado?

v_{L} =

V

O diodo está polarizado direta ou inversamente?

Qual é a corrente aproximada do diodo?

Corrente do diodo

\approx

A

Libere o interruptor

Agora liberamos o botão do interruptor e ele abre. O diodo realiza algo inteligente para nós. Antes, quando não havia diodo, o interruptor aberto produziu em

v_{pb}

um pico de tensão positiva enorme.

Com o diodo no circuito, quando o interruptor abre, há uma grande

d i / d t

, que faz

v_{pb}

rapidamente seguir em direção a um valor positivo, como ocorreu sem o diodo.

Quando $v_{pb}$ ‍ cresce acima de $3$ ‍ volts mais algo como $0, 7$ ‍ volts, o que acontece com o diodo?

O diodo provê um caminho para o indutor deixar sua corrente continuar a fluir, sem a necessidade de uma centelha entre os contatos do interruptor. A característica

i

v

do diodo impede que a tensão fique muito maior que isso.

v_{pb}

sobe para

3, 7

volts ou talvez um pouco mais. O diodo grampeia a tensão neste valor, evitando o temido arco. Tudo funcionou a contento.

Na vida real, a corrente do indutor,

i

, circula através do diodo enquanto for necessário até que a resistência da fiação do indutor dissipe a energia como calor. O diodo impede uma centelha enorme de tensão indutiva e protege os componentes adjacentes.

Resumo

A corrente em um indutor não muda instantaneamente

Quando a corrente é constante, um indutor se parece com um curto-circuito.

Tenha cuidado ao fazer circuitos com um indutor. Um repentina mudança na corrente, como uma abertura de um interruptor, interrompendo um caminho da corrente, resulta na derivada da corrente,

d i / d t

, se tornar muito grande. A equação do indutor nos diz que pode haver uma grande tensão gerada através do indutor.

Uma maneira de lidar com a tensão potencialmente destrutiva de um indutor é projetar um caminho para a corrente, para você não ter uma grande

d i / d t

. Mostramos como adicionar um diodo para fornecer um caminho da corrente e grampear a tensão do indutor num valor aceitável quando um interruptor é aberto.

Quer participar da conversa?

Entrar

Classificar por:

Nenhuma postagem por enquanto.

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Engenharia elétrica