Resposta natural LC - derivação - 2

no vídeo anterior nós chegamos nessa equação diferencial que descreve como funciona um circuito do tipo lc e agora chegou a hora de resolvermos essa equação de segunda ordem ea técnica que nós vamos usar é a mesma que usávamos lá nas equações diferenciais de primeira ordem que é procurar uma função em termos de que faz com que essa equação fique verdadeira então é meio que chutar alguma função substituir a nossa equação e torcer para funcionar se funcionar a gente ganha agora se não resolver a gente vai ter que pensar em alguma outra estratégia que continuamos nessa sequência até que chegue a um resultado que de fato funciona pela minha experiência em derivadas diferenciais qual seria o melhor tipo de chute pra esse tipo de equação bom veja que nós temos aqui uma soma de coisas que tem como resultado o número 10 para ficar mais fácil é o sino ou reescrever essa fórmula que dividindo tudo por ele temos de 2 e dt quadrado mais um sobre lc z igual a zero então olha só o que eu tenho aqui é e x algum fator que de alguma maneira vai anular todo esse tema aqui que representa a segunda derivada de em relação ao tempo ou seja esses dois temos aqui tem que ter o mesmo formato tempo todo para celular e tem uma função que eu conheço que quando eu vou derivando ela meio que não muda muito e essa função é exponencial então o chute que eu vou dar mais e é baseado no seguinte a função que gere a minha corrente em relação ao tempo vai ser alguma constante que multiplica pela exponencial do tempo * um fator de que escalar isso aqui o kaká é um parâmetro que fala pra gente dá a amplitude ou seja qual o tamanho do sinal que nós temos enquanto o s vejam que é se existe é o argumento da nossa exponencial sabendo que nosso argumento não pode ter uma unidade significa que s vezes te tem que ser um número puro como t com certeza é tempo logo o nosso s ele tem que ser alguma coisa do tipo 1 sobre a unidade de tempo que a gente está usando e quando eu tenho o inverso do tempo eu estou falando de uma freqüência em particular vamos usar aqui frequências de rádio am anos por segundo então essa que vai ser uma freqüência natural com tudo esclarecido vamos voltar a nossa função vamos tentar substituir e por aqui e ver se vai funcionar então vamos lá pra isso vamos ganhar algum espaço aqui substituindo se eu tenho aqui a segunda derivada de em relação ao tempo vamos fazer essa levada pra começar vamos tirar a primeira derivada de ir em relação a ter como i é essa função no nosso chute vamos fazer a derivada de cá vezes é a st em relação ao tempo o resultado dessa primeira derivada é o seguinte as c k vezes s z elevado a st lembra regrinha da cadeia aqui ou seja chegamos também uma esposa e se ao como resultado essa foi a primeira de elevada mas como nós queremos a segunda derivada de em relação ao tempo agora nós temos que fazer a derivada deste resultado a segunda derivada dessa função é fazer a derivada dsk e elevado st dt então novamente aplicando a regra na cadeia teremos e elevado a st veja constante apesar da elevada dessa função ou seja que vai ficar s quadrado cá agora que nós sabemos quem é a segunda derivada do nosso chute vamos substituir esse valor aqui então a segunda derivada de é esse quadrado cá elevado a st mas um sobre lc vezes e e quem ali mesmo essa função talvez sca que multiplica elevado a st isso tudo é igual a zero veja que temos aqui um fator comum tcheca vezes elevadores teó temos nas duas parcelas dessa soma então bora fazer a faturação ficamos aqui conca vezes elevado a st como fator comum que multiplica o que restou aqui ficou s quadrado mas um sobre lc igual a zero muito bem quais parâmetros aqui que nós temos a nossa equação aparece aqui ks lc como lc são constantes que estão atrelados ao nosso circuito nec é o valor do doutor e do capacitor nos sobra descobrir quem são os valores de caê s que vão fazer esse produto ser igual a zero uma coisa que daria certo é fazer caiu a zero pois teríamos 10 vezes esse termo todo ficaria 0 a 0 ea funcionar a equação mas isso seria um sinal com zero de amplitude ou seja eu não estou colocando nada no circuito porque é chato pra caramba vamos ver se a gente consegue alguma coisa mais interessante procurando aqui algo mais interessante será que a gente consegue fazer e elevado o st ficar igual a zero exponencial a zero acho que não é bom se o nosso tempo fosse infinito e oeci fosse um número negativo no infinito seria zero para eu acho que seria demorado demais chegar no tempo infinito né então vamos procurar outra coisa para a gente se apoia portanto que não sobra aqui é ver quando o que está nesse parentes é igual a zero então veja o que será que acontece quando é esse quadrado mas um sobre lc igual a zero o que podemos fazer para tornar isso ficou a zero essa aqui é o que a gente chama de equação característica e vamos ver o que nós conseguimos obter quando resolvemos a tal da equação característica é isso vamos ganhar um pouquinho mais de espaço o primeiro passo para resolver isso é muito difícil não é falar que essa é o quadrado é igual a menos 1 sobre lc logo é se vai ser a raiz quadrada de -1 sobre lc eita olha que apareceu aqui estamos aí com uma raiz quadrada de um número negativo e aí o que vai acontecer o que vai acontecer é que nós teremos com o resultado o número imaginário podemos reescrever isso aqui como a raiz quadrada de -1 vezes a raiz quadrada de um sobre lc isso aqui vai dar pra mim dois resultados o primeiro vou chamar de s1 que vai ser j lembra que j é como nós engenheiros eletricistas falamos da unidade imaginária então j refere se a raiz quadrada de -1 logo s1 rj vezes raiz de um sobre lc e o nosso s2 vai ser o oposto disso - j vez a raiz de um sobre lc essas são as duas possibilidades que nós temos para resolver a nossa equação bom ficar escrevendo esse negócio aqui é muito chato né porque é um negócio muito grande então vou dar um apelido pra ele eu vou chamar de ômega 0 esse raízes de um sobre lc esse símbolo aqui ó é a letra grega ômega minúscula tá se quisermos falar da maiúscula a maiúscula é essa aqui a gente usa lá o ons a menos que o geralmente a gente usa para falar dessa coisinha aqui raiz de um sobre lc então veja como isso aqui vai ajudar a gente economiza um pouquinho de grafite o nosso é se um for chamar dj ômega 0 o s2 é ficar como - j ômega 0 ok vamos usar essa notação daqui pra frente mas lembre se que é apenas uma substituição estamos usando o 60 ao invés de escrever tudo isso veja bem nós temos aqui duas raízes que podem fazer nossa equação diferencial será mas eu não sei qual que vai servir pode ser uma pode ser a outra pode ser as duas ou até uma sobreposição delas por isso aqui vou fazer uma sobreposição e combinar essas raízes para ver se uma proposta válida a dissolução começando aqui e igual a uma constante k1 vezes é elevado a s1 vezes te mas k 2 vezes e elevado um s2000 existem substituindo s pelas soluções que nós temos aqui eu diria que é igual a cada um vezes e elevado a j ômega 0t mais k 2 vezes - j o 60 t e essa aqui é a nossa proposta de solução para a nossa equação muito bem encontramos aí os valores de sp a nossa proposta de solução agora nós temos que trabalhar no carro e no próximo vídeo nós vamos usar as condições iniciais para tentar descobrir os valores para cá que funcionaram na nossa equação até a próxima