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Divisor de tensão

Um divisor de tensão é um circuito simples de resistores em série. A tensão de saída é uma fração fixa da tensão de entrada. O fator de divisão é determinado por dois resistores. Escrito por Willy McAllister.

Um circuito de resistores em série muito comum e útil tem o apelido de divisor de tensão. Vamos fazer exercícios sobre como esse circuito funciona, e vocês verão de onde vem esse apelido.

Um divisor de tensão é algo parecido com isso:

Nosso objetivo é chegar a uma expressão que relacione a saída

v_{o u t}

à entrada

v_{i n}

. Um bom começo é encontrar a corrente através de

R1

R2

Hipótese: Suponha que uma corrente igual a $0$ ‍ está saindo do divisor. (Antes de terminarmos, vamos verificar o que acontece se essa suposição de corrente zero não for verdadeira).

Com essa suposição,

R1

R2

têm a mesma corrente, e podemos considerá-las como estando em série.

i_{1} = i_{2}

e por enquanto vamos chamá-la de

i

Para achar a corrente, vamos aplicar a Lei de Ohm e o que sabemos sobre resistores em série (lembrete: resistores em série se somam),

v = i R

Lei de Ohm

v_{i n} = i (R1 + R2)

Rearranjando para achar

i

i = v_{i n} \frac{1}{R1 + R2}

Calculamos a corrente

i

em função de

v_{i n}

e dos dois resistores.

Em seguida, escrevemos uma expressão para

v_{o u t}

usando a Lei de Ohm,

v_{o u t} = i R2

Podemos substituir

i

da equação anterior para chegar a

v_{o u t} = (v_{i n} \frac{1}{R1 + R2}) R2

e chegamos à equação do divisor de tensão:

A tensão de saída é igual à tensão de entrada vezes uma razão entre resistores: o resistor de baixo dividido pela soma dos resistores.

A razão estre os resistores é sempre menor que

1

para qualquer valor de

R1

R2

. Isso significa que

v_{o u t}

é sempre menor que

v_{i n}

. A tensão de entrada

v_{i n}

é reduzida para

v_{o u t}

por uma razão fixa determinada pelos valores dos resistores. É daí que o circuito tira o seu apelido: divisor de tensão.

Exemplo - use a equação do divisor de tensão para achar $v_{o u t}$ ‍

Queremos achar

v_{o u t}

usando a relação do divisor de tensão.

v_{o u t} = v_{i n} \frac{R2}{R1 + R2}

Inserimos os valores da tensão de entrada e dos resistores na equação, lembrando que a equação nos diz que o resistor de baixo,

R2

, vai no numerador.

v_{o u t} = 12 V \cdot \frac{3 k Ω}{1 k Ω + 3 k Ω}

v_{o u t} = 12 V \cdot \frac{3 k Ω}{4 k Ω}

v_{o u t} = 12 V \cdot \frac{3}{4} = 9 V

Vamos fazer uma ação opcional para verificar a corrente.

i = \frac{v_{i n}}{R 1 + R 2} = \frac{12 V}{1 k Ω + 3 k Ω} = \frac{12 V}{4 k Ω} = 3 mA

Agora sabemos qual a corrente, então podemos calcular qual a potência dissipada em nosso divisor de tensão,

p = i v = 3 mA \cdot 12 V = 36 mW

Sumário: Nosso divisor de tensão recebe uma entrada (nesse caso de

12 V

, mas poderia ser qualquer valor) e a diminui até criar uma tensão de saída que vale

3 / 4

da tensão de entrada. A razão

3 / 4

é determinada pela nossa escolha dos dois resistores. Enquanto

v_{i n}

estiver ligado, uma corrente de

3 mA

atravessa o divisor de tensão, que dissipa

12 V \times 3 mA = 36 mW

Problemas práticos com o divisor de tensão

Todos esses problemas usam este diagrama de circuito,

Problema 1

Seja

v_{i n} = 6 V

R 1 = 50 k Ω

, and

R 2 = 10 k Ω

Encontre $v_{o u t}$ ‍, a tensão através de $R 2$ ‍.

v_{o u t} =

V

Problema 2

Seja

R 1 = 90 k Ω

R 2 = 10 k Ω

,
e a tensão de saída

v_{o u t} = 1, 5 V

Ache $v_{i n}$ ‍.

v_{i n} =

V

Problema 3

Seja

v_{i n} = 5 V

v_{o u t} = 2 V

, e

R 1 = 30 k Ω

Ache $R 2$ ‍.

R 2 =

Ω

Problema 4 - Desafio

Seja

v_{i n} = 1 V

v_{o u t} = \frac{v_{i n}}{2}

Projete um divisor de tensão que dissipa $10 μ W$ ‍.

R 1 =

Ω

R 2 =

Ω

Desenhe um esquema do problema

v_{o u t} = v_{i n} \frac{R2}{R1 + R2}

Primeiro, determine a relação entre os resistores

R 1

R 2

quando

v_{o u t} = \frac{v_{i n}}{2}

Vamos fazer isso simbolicamente,

\frac{1}{2} v_{i n} = v_{i n} \frac{R2}{R1 + R2}

\frac{1}{2} = \frac{R2}{R1 + R2}

v_{i n}

é eliminado em ambos os lados

R1 + R2 = 2 R 2

R 1 = 2 R 2 - R 2

R 1 = R 2

Os dois resistores têm o mesmo valor.

Aplique a restrição de potência para descobrir a corrente permitida através do divisor,

p = i \cdot v

fórmula da potência em um resistor

10 μ W = i \cdot v_{i n} = i \cdot 1 V

i = \frac{10 μ W}{1 V}

i = 10 μ A

Dada esta corrente, mais a tensão de entrada fornecida pelo dado do problema, a resistência total do divisor deve ser,

R 1 + R 2 = \frac{v}{i}

R 1 + R 2 = \frac{1 V}{10 μ A} = \frac{1}{10 \times 10^{- 6}} = 1 \times 10^{5} = 100 k Ω

Sabemos que os resistores têm o mesmo valor, e agora sabemos a sua soma, logo

R 1 = R 2 = 50 k Ω

Reveja a hipótese (avançado)

Um divisor de tensão não faz nada de útil a não ser que sua saída seja conectada a alguma coisa. Você deve estar alerta ao que ocorre quando um divisor é conectado a uma carga. Se lembram que fizemos uma suposição inicial? Nós supusemos que a corrente que flui na saída era

0

. Isso nos permitiu tratar

R1

R2

como estando em série, e desenvolvemos a equação do divisor de tensão. Vamos ver o que acontece se a hipótese não é verdadeira.

Operando o divisor de tensão perto do centro da faixa

Para começarmos essa discussão, fazemos

R1 = R2

. Com os resistores casados, esperamos que

v_{o u t}

do divisor de tensão seja o ponto médio da faixa do divisor,

0, 5 v_{i n}

. Para acarretar algum fluxo de corrente para fora do divisor, conectamos um resistor

R_{L}

. O divisor ainda funciona? A nossa estória do divisor de tensão falha?

O resistor

R_{L}

age como uma carga na saída do divisor de tensão, significando ela acarreta um fluxo de corrente

i_{L}

. A presença de

R_{L}

significa que

R1

R2

não estão mais estritamente em série. Vamos fazer

R_{L}

bem grande, para tornar

i_{L}

bem pequena em relação a

i_{2}

. Seja

R_{L}

dez vezes maior que

R2

R_{L} = 10 R2

R2

R_{L}

estão em paralelo entre si. Junte os dois resistores paralelos usando a fórmula para resistores em paralelo para encontrar

R2 | | R_{L}

R2 | | R_{L} = \frac{R2 \cdot R_{L}}{R2 + R_{L}} = \frac{R2 \cdot 10 R2}{R2 + 10 R2} = \frac{10}{11} R2 = 0, 91 R2

Este é o nosso circuito do divisor de tensão com carga, redesenhado para mostrar a resistência equivalente de

R 2

em paralelo com

R_{L}

O resistor de carga

10 \times

tem o efeito de reduzir a resistência de baixo do divisor de tensão em cerca de

9 %

. Qual o impacto dessa carga adicional na tensão de saída do divisor? Sem a carga, a tensão de saída esperada é

0, 5 v_{i n}

. Agora calculamos a tensão de saída na presença de um resistor de carga.

v_{o u t} = v_{i n} \frac{0, 91 R 2}{R 1 + 0, 91 R 2}

Projetamos o nosso divisor com

R 1 = R 2

, então eles se cancelam,

v_{o u t} = v_{i n} \frac{0, 91}{1 + 0, 91}

v_{o u t} = v_{i n} \frac{0, 91}{1, 91} = 0, 48 v_{i n}

A tensão de saída cai para

48 %

da tensão de entrada. Quão grande foi o erro?

\frac{0, 48}{0, 50} = 0, 96 = 96 %

A tensão de saída real do divisor de tensão é

4 %

menor se comparada com a tensão esperada (Note que o erro na tensão de

4 %

é significativamente menor que a mudança de

9 %

na resistência). Um erro de poucos

%

é relevante? Cabe só a você decidir. Depende de quão preciso o seu divisor de tensão tem que ser para a sua aplicação.

A regra de ouro para se guardar dessa análise: Se a resistência efetiva da carga for

10 \times

maior que a do resistor de baixo no divisor de tensão, você terá "uma mão" de

%

de erro

(4 - 5 %)

na tensão de saída. Isso se mantém quando a tensão de saída é próxima ao ponto médio da faixa do divisor (na vizinhança de

v_{in} / 2

Operando o divisor de tensão perto dos seus limites

Se você projetar um divisor de tensão para operar perto dos seus limites, com a tensão de saída perto de

0

v_{in}

, o erro percentual na tensão de saída será diferente. Repetimos a análise com a saída em

90 %

10 %

da faixa do divisor. Mantemos o resistor de carga dez vezes maior que o resistor de baixo, de modo que a combinação paralela de

R 2

R_{L}

seja ainda

0, 91 R 2

Caso 1: $v_{o u t} = 90 %$ ‍ de $v_{i n}$ ‍

Seja

v_{o u t} = 90 %

v_{i n}

. A saída esperada é

0, 90 v_{i n}

Primeiro projetamos o divisor de tensão que nos dá a saída desejada. Encontramos

R 2

em função de

R 1

para um divisor de tensão de

90 %

\frac{v_{o u t}}{v_{i n}} = 0, 90 = \frac{R 2}{R 1 + R 2}

0, 90 (R 1 + R 2) = R 2

0, 90 R 1 = R 2 - 0, 90 R 2

0, 90 R 1 = 0, 10 R 2

R 2 = \frac{0, 90 R 1}{0, 10} = 9 R 1

R 2

9

vezes maior que

R 1

Agora carregamos o circuito com

R_{L}

e vemos como a tensão varia. A expressão que obtivemos para o divisor de tensão carregado é,

\frac{v_{o u t}}{v_{i n}} = \frac{0, 91 R 2}{R 1 + 0, 91 R 2}

Substituímos

R 2

por

9 R 1

\frac{v_{o u t}}{v_{i n}} = \frac{0, 91 (9 R 1)}{R 1 + 0, 91 (9 R 1)}

Todos os

R 1

's se cancelam, deixando,

\frac{v_{o u t}}{v_{i n}} = \frac{0, 91 (9)}{1 + 0, 91 (9)} = \frac{8, 19}{9, 19} = 0, 89

A tensão de saída real é

89 %

v_{i n}

em vez de

90 %

A tensão de saída real dividida pela saída esperada é,

\frac{0, 89}{0, 90} = 0, 99

Estão a saída real é menor que a esperada em apenas

1 %

Caso 2: $v_{o u t} = 10 %$ ‍ de $v_{i n}$ ‍

Seja

v_{o u t} = 10 %

v_{i n}

. A tensão de saída esperada é

0, 10 v_{i n}

Expresse

R 1

em função de

R 2

para um divisor de tensão

10 %

\frac{v_{o u t}}{v_{i n}} = 0, 10 = \frac{R 2}{R 1 + R 2}

0, 10 (R 1 + R 2) = R 2

0, 10 R 1 = R 2 - 0, 10 R 2

0, 10 R 1 = 0, 90 R 2

R 1 = \frac{0, 90 R 2}{0, 10} = 9 R 2

R 1

9

vezes maior que

R 2

Agora carregamos o circuito com

R_{L}

e calculamos a mudança na tensão de saída. A expressão obtida acima para o divisor de tensão carregado é,

\frac{v_{o u t}}{v_{i n}} = \frac{0, 91 R 2}{R 1 + 0, 91 R 2}

Substituímos

R 1

por

9 R 2

\frac{v_{o u t}}{v_{i n}} = \frac{0, 91 R 2}{9 R 2 + 0, 91 R 2}

Todos os

R 2

's se cancelam,

\frac{v_{o u t}}{v_{i n}} = \frac{0, 91}{9 + 0, 91} = \frac{0, 91}{9, 91} = 0, 092

A tensão de saída real é

9, 2 %

v_{i n}

em vez do esperado

10 %

A tensão de saída real dividida pela saída esperada é,

\frac{0, 092}{0, 10} = 0, 92

Então a tensão real difere de

8 %

da esperada. Isso é quase duas vezes o erro encontrado no divisor no centro da faixa do divisor.

Lições para um divisor de tensão carregado

Com um resistor de carga

10 \times R 2

conectado a um divisor de tensão:

Perto do centro, a tensão de saída é reduzida em $5 %$ ‍.
Perto do topo da faixa, o erro baixa substancialmente, para cerca de $1 %$ ‍.
Perto do parte inferior da faixa, o erro quase dobra se comparado com o do centro da faixa. A tensão de saída é 8% menor que a esperada.

Controlando o erro em um divisor de tensão carregado

Se o seu projeto requer que o erro seja significativamente menor, a carga precisa ser muito maior que

10 \times R2

, por exemplo um

10 \times

adicional ou mais. Você pode obter um

10 \times

adicional de duas formas. Aumentando a resistência da carga. Ou reprojetando o divisor de tensão para ter

R1

R2

menores, (ao custo de mais potência dissipada pelo divisor de tensão).

A tolerância dos resistores reais também impacta a precisão

Resistores reais sempre têm uma tolerância

\pm

nos seus valores. Se a precisão do divisor de tensão for crítica para a sua aplicação, utilize resistores com tolerâncias próximas, e verifique se o desempenho é aceitável analisando o divisor de tensão nos extremos de tolerância previstos.

O que é um apelido

Mencionamos no início que o apelido desse circuito é divisor de tensão. Em muitas situações, isso é exatamente o que ele faz. No entanto, mostramos que sob certas condições em que existe uma carga no divisor, a tensão de saída real é levemente menor que o valor previsto pela equação do divisor de tensão A lição: Chame o circuito pelo seu apelido; mas lebre-se que ele é apenas um apelido.

Resumo

Divisor de tensão:

v_{o u t} = v_{i n} \frac{R2}{R1 + R2}

onde

R2

é o resistor na parte inferior do divisor.

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Engenharia elétrica

Curso: Engenharia elétrica > Unidade 2

Exemplo - use a equação do divisor de tensão para achar vout‍

Problemas práticos com o divisor de tensão

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4 - Desafio

Reveja a hipótese (avançado)

Operando o divisor de tensão perto do centro da faixa

Operando o divisor de tensão perto dos seus limites

Caso 1: vout=90%‍ de vin‍

Caso 2: vout=10%‍ de vin‍

Lições para um divisor de tensão carregado

Controlando o erro em um divisor de tensão carregado

A tolerância dos resistores reais também impacta a precisão

O que é um apelido

Resumo

Quer participar da conversa?

Exemplo - use a equação do divisor de tensão para achar $v_{o u t}$ ‍

Caso 1: $v_{o u t} = 90 %$ ‍ de $v_{i n}$ ‍

Caso 2: $v_{o u t} = 10 %$ ‍ de $v_{i n}$ ‍