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Força elétrica

A força elétrica existe entre cargas, como descrito pela Lei de Coulomb. Exemplo resolvido: linha de carga com q fora da extremidade. Escrito por Willy McAllister.
Nosso estudo de eletricidade começa com eletrostática e força eletrostática, uma das quatro forças fundamentais da natureza. Força eletrostática é descrita pela Lei de Coulomb. Nós usamos a Lei de Coulomb para resolver as forças criadas pelas configurações da carga.
Eletrostática lida com forças entre cargas. Estática significa que as cargas não estão se movendo, ou pelo menos não se movendo muito rápido.

Carga

Como sabemos que há uma coisa chamada carga? O conceito de carga vem da observação da natureza: nós observamos forças entre objetos. Carga elétrica é a propriedade dos objetos que leva a esta percepção de força. Como a gravidade, a força elétrica "age a distância", A ideia que uma força pode "agir a distância" é impressionante, mas é o que acontece na natureza.
As forças elétricas são muito grandes, muito maiores do que a força da gravidade. Ao contrário da gravidade, existem dois tipos de carga elétrica (enquanto que existe apenas um tipo de gravidade; gravidade só atrai).
Cargas opostas se atraem,
Cargas similares se repelem,

Força entre cargas: Lei de Coulomb da força elétrica

A Lei de Coulomb descreve muito bem esse fenômeno da natureza. A lei tem o seguinte formato,
F=Kq0q1r2r^
Onde
  • F é a força elétrica, direcionada em uma linha entre dois corpos carregados.
  • K é a constante de proporcionalidade que relaciona o lado esquerdo da equação (newtons) ao lado direito (coulombs e metros). Ela é necessária para fazer a resposta certa quando fazemos um experimento real.
  • q0 e q1 representam a quantidade de carga em cada corpo, em unidades de coulombs (a unidade do SI para carga).
  • r é a distância entre os corpos carregados.
  • r^ é o vetor de unidade variável que nos lembra os pontos de força ao longo da linha entre as duas cargas. Se as cargas são similares, a força é repulsiva; se as cargas são opostas, a força é atrativa.

A constante elétrica, ϵ0, a permissividade do espaço livre

K, a constante de proporcionalidade, frequentemente aparece neste formato,
K=14πϵ0
e a Lei de Coulomb é escrita deste modo,
F=14πϵ0q0q1r2r^
A letra grega ϵ0 é a constante elétrica, também conhecida como a permissividade do espaço livre, (espaço livre é o vácuo). A Lei de Coulomb descreve algo que acontece na natureza. A constante elétrica, ϵ0, descreve a configuração experimental e o sistema de unidades. "Condições experimentais" referem-se a medição F nos pontos de carga (ou algo que atua como um ponto de carga, como esferas carregadas). No sistema de unidades SI, ϵ0 é experimentalmente medido para ser,
ϵ0=8,854187817×1012 coulomb2/ newton-meter2
Esse valor de ϵ0 faz,
K=14πϵ0=14π8,854×1012=8,987×109
ou, para os propósitos da engenharia, nós arredondamos K para algo mais fácil de lembrar,
K=14πϵ0=9×109
As dimensões de K são: newton-metro2/coulomb2.

Exemplo: três pontos de carga

Para nosso primeiro exemplo, nós usamos a Lei de Coulomb para calcular a força em uma carga a partir de duas cargas próximas. Colocamos três cargas em um triângulo de vértices de 306090. q2, com o contorno escuro, é a nossa carga de teste.
Agora atribua valores para as cargas (coulombs) e distâncias (metros),

Ache a força (magnitude e direção) em q2, a carga de +3C.

Calcule a força entre cada par de cargas. Neste exemplo há dois vetores força para se pensar, {q0 to q2}, e {q1 to q2}. Os vetores força individuais estão em uma linha direta entre os pares de carga.
Para simplificar, vamos usar K como a constante de proporcionalidade. Aplique a Lei de Coulomb para calcular a força. Cuidamos da magnitude e ângulos separadamente. As magnitudes das forças são,
F=Kq0q1r2
F02=K43(3)2=K4força em q2 a partir de q0 (repele)
F12=K13(1)2=K3força em q2 a partir de q1 (atrai)
Nós resolvemos as magnitudes das forças emparelhadas.
O passo final é realizar a soma vetorial para obter a magnitude e a direção do vetor força final.
Os vetores força formam os lados de um triângulo retângulo 3-4-5.
A magnitude da força resultante é.
|F2|=K32+42=K5
Calcule o ângulo F2 contando os graus na horizontal, comece pela carga 4C,
Ângulos internos de nossos dois triângulos,
Os ângulos do triângulo 3-4-5 vem de, arcsen(4/5)=53,13 e arcsen(3/5)=36,86
Ao mesclar os triângulos, vemos como os ângulos se combinam (setas azuis):
O ângulo de 30 leva um sinal negativo, pois está girando em sentido horário, enquanto o ângulo de 36,9 fica com um sinal positivo, pois está girando em sentindo anti-horário.
F2=30+36,9=+6,9
Ao combinar a magnitude e o ângulo, a força F2 em q2 em newtons é,
F2=K56,9
F2=(9×109)56,9
F2=4,5×10106,9newtons

Exemplo: linha de carga com uma carga pontual na extremidade

Uma linha de carga com L metros de comprimento tem uma carga total de Q. Assuma que a carga total, Q, está uniformemente distribuída na linha. Um ponto de carga q está posicionado a a metros de uma das extremidades da linha.

Ache a força total em uma carga q posicionada fora da extremidade de uma linha de carga.

A linha contém uma carga total de Q coulombs. Vamos tentar resolver esse problema pensando na linha como um monte de pontos de carga individuais que estão sentados juntos um ao outro. Para calcular a força total da linha em q, nós somamos (integramos) as forças individuais em cada ponto de carga na linha.
Nós definimos a densidade da carga na linha como QL coulombs/metro.
A ideia de densidade de carga nos permite expressar a quantidade de carga, dQ, em um pequeno pedaço de linha, dx, como,
dQ=QLdx
dQ está perto o suficiente para ser um ponto de carga, o que nos permite aplicar a Lei de Coulomb. Podemos descobrir a direção da força imediatamente: A força em q de cada dQ está direcionada diretamente entre q e dQ. Direção resolvida, falta a magnitude da força,
dF=14πϵ0qdQx2
O numerador múltiplo das duas cargas, q e dQ; o denominador x é a distância entre as duas cargas.
Para encontrar a força total, some todas as forças em cada pequeno dQ integrando desde perto da extremidade da linha (a), até a outra extremidade (a+L).
F=aa+LdF=aa+L14πϵ0qdQx2
Essa equação inclui ambos x e dQ como variáveis. Para simplificar para uma única variável independente, elimine dQ ao substituí-lo com a expressão Q/Ldx de cima,
F=aa+L14πϵ0qQL1x2dx
Mova tudo o que não depende de x para fora da integral.
F=14πϵ0qQLaa+L1x2dx
E resolva a integral,
F=14πϵ0qQa(a+L)
Algumas considerações sobre a solução:
  • O numerador é o produto do teste de carga e da carga total na linha, o que faz sentido.
  • O denominador tem a forma distância2, criada pela combinação de distância da extremidade mais próxima e da extremidade mais distante da linha. A forma a(a+L) do denominador vem da geometria particular deste exemplo.
  • Se o ponto de carga q se move para longe da linha, L se torna insignificante comparado a a e o denominador se aproxima de a2. Então, em uma boa distância, a linha começa a se assemelhar a um ponto distante de carga e, como é de se esperar, a equação se aproxima da Lei de Coulomb para dois pontos de carga.
Nós faremos mais alguns problemas de eletrostática com pequenas cargas geométricas. Depois disso, a matemática fica mais complicada, então a estratégia comum com a geometria complexa se torna: quebrar a geometria em versões mais simples que nós já sabemos como fazer e, então, combinar as respostas.

Estratégias para aplicar a Lei de Coulomb

A Lei de Coulomb é uma boa escolha para situações com pontos de carga e/ou geometrias simétricas e simples, como linhas ou esferas de carga.
Visto que a Lei de Coulomb é baseada no emparelhamento de forças entre cargas, quando confrontada com múltiplos (ou mais que dois) pontos de carga,
  1. Resolva as forças entre cada par de cargas.
  2. Termine com um cálculo de vetor para combinar as forças emparelhadas numa única força resultante.
Para uma situação com carga distribuída, criativamente modele as cargas distribuídas como uma coleção de pontos de carga,
  1. Invente um pequeno dQ representando uma carga infinitesimal dentro da região de carga distribuída.
  2. Trabalhe as forças emparelhadas entre o ponto de carga e cada pequeno dQ.
  3. Resolva as forças com uma integral. Com esse vetor se obtém a força resultante.

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