If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Plano de carga

Exemplo avançado: campo elétrico gerado por uma placa infinita uniformemente carregada. Escrito por Willy McAllister.

Exemplo: Campo elétrico perto de um plano de carga

Vamos investigar a próxima configuração interessante de carga, o campo elétrico perto de um plano de carga.
O resultado mostrará que o campo elétrico perto de um plano de carga infinito é independente da distância do plano (o campo não diminui).
Imagine que temos um plano de carga infinito.
A carga total no plano é obviamente infinita, mas o parâmetro importante é a quantidade de carga por área, a densidade de carga, σ(C/m2).

Qual o campo elétrico devido ao plano numa distância a do plano?

Exploramos a simetria do problema para configurar algumas variáveis:
  • a é uma linha perpendicular do plano até o local da nossa carga de teste, q.
  • Imagine um aro de carga no plano, centrado ao redor de onde a toca o plano. O raio do aro é r, e sua espessura infinitesimal é dr.
  • dQ é uma região infinitesimal de carga em uma seção do aro.
  • Linha vai do local de dQ para o local da carga de teste.
  • dE é o campo elétrico no ponto q criado por dQ.
Sabemos qual o campo na posição q devido a dQ; é a definição do campo criado por uma carga pontual,
dE=14πϵ0dQ2
Para calcular o campo elétrico para todo o plano, temos que fazer duas integrações:
  • uma primeira integração é para varrer dQ ao redor do seu aro para obter a contribuição ao campo de um aro particular, e
  • uma segunda integração para adicionar as contribuições de todos os aros possíveis (de raio zero até raio infinito).

Varra ao redor do aro para obter a contribuição do campo de um aro particular

A construção do aro nos permite habilmente chegar à primeira integral. Todas as partes da argola estão à mesma distância de q, então cada dQ cria mesma quantidade de campo em q. A simetria nos diz a contribuição total do campo de todos os dQ em uma argola tem que apontar diretamente para fora do plano, ao longo da linha a. Por quê? Porque qualquer componente lateral do campo de um dQ específico é cancelado pelo dQ no lado oposto do aro. A porção do campo elétrico na "direção de a", dEa é relacionada a dE,
dEa=dEcosθ
Que resulta nisso para dEa, o campo de uma única carga pontual dQ,
dEa=14πϵ0dQ2cosθ
Em seguida, expressamos a contribuição do campo de um aro inteiro dEaro,
dEaro=14πϵ0dQaro2cosθ
dQaro é a carga total contida em um aro, a soma dos pontos individuais dQ que compõem o aro. Isso pode ser computado sem se calcular uma integral. A carga total em um aro é a densidade de carga do plano, σ, vezes a área do aro,
dQaro=σ(2πrdr)
O campo elétrico na posição de q criado pelo aro com raio r, contendo a carga Qaro é,
dEaro=14πϵ0σ2πrdr2cosθ
Agora sabemos o campo resultante se um aro.

Integre as contribuições de todos os aros possíveis

O próximo passo é somar todos os aros possíveis. Infelizmente, não podemos sair resolvendo essa integral. Assim como fizemos no exemplo de linha de carga, fazemos uma mudança de variável, de dr para dθ.
Depois da mudança de variável, o diagrama pode ser redesenhado em função de dθ e θ,
e a equação do campo para um aro se torna,
dEaro=σ2ϵ0tanθcosθdθ
o que pode ser simplificado um pouco mais,
dEaro=σ2ϵ0senθdθ
Algo muito interessante aconteceu. Como resultado da mudança de variável e do cancelamento, todos os r e os a desapareceram! Espere. O quê?! Na expressão resultante para dEaro, NÂO há qualquer dependência da distância. Impressionante.
Quase no fim. Estamos prontos para realizar a integração,
E=todosarosdEaro
onde E é o campo elétrico total de todos os aros. Substituindo para dEaro,
E=tetasσ2ϵ0senθdθ
Quais são os limites dos ângulos na integração? O menor aro possível é quando r é zero; coincide com a, e θ é zero. O maior aro é quando r é infinito; a linha vem de lá do horizonte em qualquer direção, e θ é 90 ou π/2 radianos. Então os limites da integração vão de θ=0 para π/2 radianos.
E=0π/2σ2ϵ0senθdθ
E=σ2ϵ0cosθ|0+π/2=σ2ϵ0(01)
O campo elétrico perto de um plano infinito é,
E=σ2ϵ0 newtons/coulomb

Conclusão

Este é o campo elétrico (a força sobre uma carga unitária positiva) perto de um plano. Surpreendentemente, a expressão do campo não contém nenhum termo referente á distância, então o campo de um plano não diminui com a distância!. Para esse plano de carga infinito imaginário, não importa se você esta a um milímetro ou um quilômetro de distância do plano, o campo elétrico é o mesmo.
Este exemplo foi para um plano de carga infinito. No mundo físico tal coisa não existe, mas o resultado se aplica muito bem a planos reais, desde que o plano seja grande se comparado com a e a posição não é muito perto da borda do plano.

Revisão

Usando a noção de campo elétrico, a técnica de análise é,
  1. A carga cria um campo elétrico.
  2. O campo elétrico atua localmente em uma carga de teste.
Resumindo os três exemplos de campo elétrico trabalhados até agora,
Campo devido adecresce com
carga pontual1/r2
linha de carga1/r1
plano de carga1/r0
Essas três configurações de carga são um conjunto de ferramentas úteis para predizer o campo elétrico em várias situações práticas.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.