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Engenharia elétrica
Curso: Engenharia elétrica > Unidade 5
Lição 2: Campos, potencial e tensãoPlano de carga
Exemplo avançado: campo elétrico gerado por uma placa infinita uniformemente carregada. Escrito por Willy McAllister.
Exemplo: Campo elétrico perto de um plano de carga
Vamos investigar a próxima configuração interessante de carga, o campo elétrico perto de um plano de carga.
O resultado mostrará que o campo elétrico perto de um plano de carga infinito é independente da distância do plano (o campo não diminui).
Imagine que temos um plano de carga infinito.
A carga total no plano é obviamente infinita, mas o parâmetro importante é a quantidade de carga por área, a densidade de carga, sigma, start text, left parenthesis, C, end text, slash, start text, m, end text, squared, right parenthesis.
Qual o campo elétrico devido ao plano numa distância start text, a, end text do plano?
Exploramos a simetria do problema para configurar algumas variáveis:
- a é uma linha perpendicular do plano até o local da nossa carga de teste, q.
- Imagine um aro de carga no plano, centrado ao redor de onde a toca o plano. O raio do aro é r, e sua espessura infinitesimal é start text, d, end text, r.
- start text, d, end text, Q é uma região infinitesimal de carga em uma seção do aro.
- Linha ell vai do local de start text, d, end text, Q para o local da carga de teste.
- start text, d, end text, E é o campo elétrico no ponto q criado por start text, d, end text, Q.
Sabemos qual o campo na posição q devido a start text, d, end text, Q; é a definição do campo criado por uma carga pontual,
Para calcular o campo elétrico para todo o plano, temos que fazer duas integrações:
- uma primeira integração é para varrer start text, d, end text, Q ao redor do seu aro para obter a contribuição ao campo de um aro particular, e
- uma segunda integração para adicionar as contribuições de todos os aros possíveis (de raio zero até raio infinito).
Varra ao redor do aro para obter a contribuição do campo de um aro particular
A construção do aro nos permite habilmente chegar à primeira integral. Todas as partes da argola estão à mesma distância ell de q, então cada start text, d, end text, Q cria mesma quantidade de campo em q. A simetria nos diz a contribuição total do campo de todos os start text, d, end text, Q em uma argola tem que apontar diretamente para fora do plano, ao longo da linha a. Por quê? Porque qualquer componente lateral do campo de um start text, d, end text, Q específico é cancelado pelo start text, d, end text, Q no lado oposto do aro. A porção do campo elétrico na "direção de a", start text, d, end text, E, start subscript, a, end subscript é relacionada a start text, d, end text, E,
Que resulta nisso para start text, d, end text, E, start subscript, a, end subscript, o campo de uma única carga pontual start text, d, end text, Q,
Em seguida, expressamos a contribuição do campo de um aro inteiro start text, d, end text, E, start subscript, a, r, o, end subscript,
start text, d, end text, Q, start subscript, a, r, o, end subscript é a carga total contida em um aro, a soma dos pontos individuais start text, d, end text, Q que compõem o aro. Isso pode ser computado sem se calcular uma integral. A carga total em um aro é a densidade de carga do plano, sigma, vezes a área do aro,
O campo elétrico na posição de q criado pelo aro com raio r, contendo a carga start text, Q, end text, start subscript, a, r, o, end subscript é,
Agora sabemos o campo resultante se um aro.
Integre as contribuições de todos os aros possíveis
O próximo passo é somar todos os aros possíveis. Infelizmente, não podemos sair resolvendo essa integral. Assim como fizemos no exemplo de linha de carga, fazemos uma mudança de variável, de start text, d, end text, r para start text, d, end text, theta.
Depois da mudança de variável, o diagrama pode ser redesenhado em função de start text, d, end text, theta e theta,
e a equação do campo para um aro se torna,
o que pode ser simplificado um pouco mais,
Algo muito interessante aconteceu. Como resultado da mudança de variável e do cancelamento, todos os r e os a desapareceram! Espere. O quê?! Na expressão resultante para start text, d, end text, E, start subscript, a, r, o, end subscript, NÂO há qualquer dependência da distância. Impressionante.
Quase no fim. Estamos prontos para realizar a integração,
onde E é o campo elétrico total de todos os aros. Substituindo para start text, d, end text, E, start subscript, a, r, o, end subscript,
Quais são os limites dos ângulos na integração? O menor aro possível é quando r é zero; ell coincide com a, e theta é zero. O maior aro é quando r é infinito; a linha ell vem de lá do horizonte em qualquer direção, e theta é 90, degrees ou pi, slash, 2 radianos. Então os limites da integração vão de theta, equals, 0, start text, space, p, a, r, a, space, end text, pi, slash, 2 radianos.
O campo elétrico perto de um plano infinito é,
E, equals, start fraction, sigma, divided by, 2, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction start text, n, e, w, t, o, n, s, slash, c, o, u, l, o, m, b, end text
Conclusão
Este é o campo elétrico (a força sobre uma carga unitária positiva) perto de um plano. Surpreendentemente, a expressão do campo não contém nenhum termo referente á distância, então o campo de um plano não diminui com a distância!. Para esse plano de carga infinito imaginário, não importa se você esta a um milímetro ou um quilômetro de distância do plano, o campo elétrico é o mesmo.
Este exemplo foi para um plano de carga infinito. No mundo físico tal coisa não existe, mas o resultado se aplica muito bem a planos reais, desde que o plano seja grande se comparado com a e a posição não é muito perto da borda do plano.
Revisão
Usando a noção de campo elétrico, a técnica de análise é,
- A carga cria um campo elétrico.
- O campo elétrico atua localmente em uma carga de teste.
Resumindo os três exemplos de campo elétrico trabalhados até agora,
| Campo devido a | decresce com |
|---|---|
| carga pontual | 1, slash, r, squared |
| linha de carga | 1, slash, r, start superscript, 1, end superscript |
| plano de carga | 1, slash, r, start superscript, 0, end superscript |
Essas três configurações de carga são um conjunto de ferramentas úteis para predizer o campo elétrico em várias situações práticas.
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