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Prova: Campo de uma placa infinita (parte 1)

Transcrição de vídeo

neste vídeo vamos estudar o campo elétrico criado por um plano infinito uniformemente carregado e porque vamos fazer isso uma porque aprendemos que o campo elétrico é uniforme e ele é muito utilizado na composição de capacitores de placas paralelas e o livro de física diz que esse campo elétrico é uniforme nós vamos aqui provar isso ea base para provar isso é descobrir o que é a carga em um plano infinito carregado vamos aqui representar lateralmente um plano infinito carregado digamos que tenhamos uma visão lateral do plano infinito digamos que este plano tem uma densidade de carga sigma lembrando que essa densidade cargo em clubes por unidade de área ou seja se igual carga por área antes de nos aprofundarmos na matemática se você está vendo este vídeo pela playlist de cálculo pode ser interessante revisar a playlist de física que leva até ele e vai ficar mais fácil para você por outro lado se você está assistindo este vídeo a partir da playlist de física e não assistiu aos de cálculo ainda você não deveria assistir este vídeo agora porque ele vai exigir de você alguns conhecimentos que estão na playlist de cálculo então vamos lá temos aqui o plano infinito carregado lembrando que esta é uma visão uma vista lateral e vamos supor aqui uma carga pontual que vamos destacar aqui uma pequena área do meu plano e vamos pensar sobre o efeito resultante que esta área causará na nossa carga pontual que primeiro vamos considerar que esta carga que está a uma altura h a partir do campo este é o ponto que fica exatamente abaixo da carga e vamos considerar que esta distância que é r a partir disso qual é então esta distância que eu vou indicar aqui em cor de rosa para isso podemos utilizar o teorema de pitágoras e calcular a hipotenusa deste triângulo retângulo pela teorema de pitágoras a hipotenusa vai ser a raiz quadrada da soma dos quadrados dos catetos portanto a raiz quadrada de r ao quadrado mais h ao quadrado essa é a distância entre a área destacada ea nossa carga de teste vamos agir agora um pouco intuitivamente se esta carga é positiva e o plano carregado também encarregado positivamente então a força eletrostática desta área sobre a carga vai apontar para fora da área com esta direcção e este sentido ou seja planta radialmente para fora da área sobre a carga que se eu pegar uma outra área que a mesma distância desse ponto a força resultante a força elétrica resultante sobre a carga que a partir desta área vai ser exatamente esta que o que podemos observar já que a densidade de carga em todo o plano infinity é constante e é simétrico em todas as direções e sentidos as componentes horizontais ou melhor dizendo os componentes paralelas ao plano vão se cancelar observe aqui na vista superior do nosso plano infinito tenho aqui o plano infinito lembre se de que ele é infinito em todas as direções aqui este ponto seria carga aqui na vista superior não identificamos mas ela está a uma altura h do plano infinito esse ponto em cor de rosa representa aquela pequena área do plano que destacamos antes aqui esse outro ponto é outra região zinha que o havia indicado ambas a mesma distância da projeção ortogonal da carga sobre o plano e as componentes paralelas ao plano das forças eletrostáticas sobre a carga que provenientes das áreas indicadas vão se cancelar da mesma forma se eu tomar outra pequena região do plano infinito eo ponto simétrico em relação à projeção da carga que sobre o plano as componentes paralelas ao plano vão também se cancelar com isso a conclusão que temos é que a força eletrostática resultante sobre a carga aqui aponta para cima perpendicularmente à direção do plano infinito então a ideia que era inicialmente você perceber que todas as componentes paralelas ao plano sobre a carga que se cancelam isso porque há infinitos pontos em todas as direções no entorno da projeção da carga que sobre o plano todos simetricamente distribuídos e por isso as componentes paralelas ao plano se cancelam tendo isso o que nós vamos ter que colocar foco sobre as componentes perpendiculares à direção do plano entre aspas verticais aqui nesta situação vamos analisar novamente este ponto e vamos dizer que sobre a carga que existe ali um campo elétrico e um nesta direção vamos agora olhar para a componente vertical vamos chamar de componente y deste campo elétrico e um e qual seria essa componente se eu souber qual é este ângulo teta aqui eu posso verificar que a componente y do campo elétrico e um vai ser justamente o 1 vezes o cosseno de teta lembre se de que o cosseno de um ângulo o cateto adjacente ele dividido pelo poder usa portanto a hipótese lusa vezes o cosseno do ângulo é igual ao cateto adjacente esse ângulo então se eu quero a componente y a componente vertical do campo e um naquele ponto da carga aqui basta multiplicar lo pelo cosseno desse ângulo teta e como eu descubro que ângulo teto é esse observe que aqui temos ângulos opostos pelo vértice então aqui esse ângulo também até tam e da tribo numa trilha básica nós sabemos que o cosseno de teta é o cateto adjacente a ele dividido pelo poder usá observa que o cateto adjacente atleta que o h ea hipotenusa é esse segmento rosa que a raiz quadrada dh o quadrado mas é um quadrado então que nós conseguimos aqui é o fato de que a componente y do campo elétrico devido a esta pequena região do nosso plano é infinito e vamos chamar aqui de y 11 é igual a magnitude do campo elétrico e 11 vezes o cosseno do ângulo teta e isso fica igual ao campo elétrico e um vezes agora o cosseno de teta é o cateto adjacente sobre poder usa neste triângulo aqui em que conhecemos h&r h é o cateto adjacente sobre a hipótese lusa que a raiz quadrada dh o quadrado mas é o quadrado ou seja agora se eu souber a magnitude do campo elétrico e um basta colocar aqui e eu sei obter a componente vertical desse campo elétrico naquele ponto e com isso nós conseguimos a componente vertical não só do campo elétrico e relativo a este ponto mas do anel que tem como centro a projeção da carga que sobre o plano infinito passando por esse ponto em que destacamos aqui vou desenhar aqui para ficar mais claro aqui está o meu plano infinito novamente lembre se de que ele é infinito em todas as direções e aqui eu tenho a carga que flutuando algum lugar do espaço a uma altura h do nosso plano esta pequena região pode ser por exemplo este ponto aqui e eu vou desenhar um anel com raio na projeção da carga que sobre o nosso plano infinito ou seja todos estes pontos do anel que estou desenhando estão à mesma distância da nossa carga aqui então vamos agora olhar para a componente y entendendo que y ea direção perpendicular ao plano infinito da força elétrica agindo sobre a carga que então nós vamos tomar a área desse anel multiplicar pela densidade de carga e obter então a carga total presente nesse anel então posso usar a lei de colombi para calcular a força elétrica e também o campo elétrico naquele ponto onde está a carga que podemos usar esta fórmula que já temos aqui e obter a componente y dessa força o mesmo do campo elétrico então vamos lá primeiro vamos obter a carga que do anel vou identificar como qr e para isso é preciso da área do anel ea área do anel é o cumprimento da circunferência vezes a largura desse anel o comprimento da circunferência já sabemos que é 2 pierre e digamos que isso é um anel bastante estreito ele é infinitamente estreito e o que seria largura dele vamos indicar por dr então aqui temos dois pierre que o comprimento da circunferência do neo vezes de r - da área do anel e isso que a área do anel multiplicar pela densidade de carga e vou obter então a carga do anel portanto dois pr dr vezes sigma vai nos dar qr a carga do anel e qual é o campo elétrico gerado pelo anel neste ponto onde se encontra a nossa carga de prova que a lei de clube disse que a força eletrostática provocada pelo anel sobre a nossa carga de prova é igual à constante de kubica vezes a carga do anel que r vezes a carga que da carga de prova dividido pelo quadrado da distância entre o anel ea carga de prova agora qual é a distância entre qualquer ponto do anel ea carga de prova observa que este poderia ser um ponto no anel este outro ponto no anel então esta distância que eu seja a distância de qualquer ponto do anel até a nossa carga de prova esta distância pelo teorema de pitágoras é a raiz quadrada de é o quadrado mais h ao quadrado pela teorema de pitágoras que é o que já tínhamos escrito ali atrás então aqui temos cá vezes a carga do anel vezes a carga da nossa carga de prova isso dividido pela distância entre o anel ea carga de prova elevada ao quadrado então vai ser legal quadrado mas é enquadrado cancelamos a raiz quadrada então agora se eu quiser saber a magnitude do campo elétrico naquele ponto onde está a nossa carga de prova basta dividir a força pela carga vou identificar por r o campo elétrico devido ao anel e por ser a força eletrostática / que que a carga da nossa carga de prova vamos ter simplesmente k constante de coulomb vezes qr que a carga do neo / h ao quadrado mais r quadrado agora qual é a carga que r a carga do anel é tudo isso que temos aqui dois pierre de r vezes sigma lembre se de que o que nós obtivemos até aqui é a magnitude deste vetor que é o campo elétrico naquele ponto onde está a nossa carga de prova agora nós vamos tomar essa expressão e multiplicar pelo cosseno do ângulo teta que é isto que temos aqui e vamos chegar na componente y do campo elétrico naquele ponto como o cosseno detecta já vimos que é h sobre a raiz quadrada dh ao quadrado mas é quadrado basta multiplicar aqui e agora vamos simplificar essa expressão um pouco o denominador vai ficar ao quadrado mas é enquadrado tudo isso é levado a três meios e o numerador vai ficar cá h ea carga do anel que é 2 pr-df vezes sigma que temos aqui em cima só escrevendo aqui em outra ordem 2pi sigma r dr então com isso nós calculamos a componente vertical componente y do campo elétrico a uma altura h do plano infinito mas observa que esse campo elétrico é só relativo ao anel de raio r concentro na projeção ortogonal da carga de prova sobre o plano infinito como o vídeo está ficando extenso vamos parar aqui e continuar no próximo mas você já pode imaginar o que vamos fazer como até agora nós olhamos para o campo elétrico gerados somente por um anel sobre o plano infinito nós vamos poder integrar essa ideia em todo o plano ou seja poderemos olhar para o campo elétrico gerado por todos os anéis com todos os raios possíveis a partir do zero preenchendo o plano infinito obtendo assim todo o campo elétrico gerado pelo plano infinito a uma altura h dele até o próximo vídeo