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Engenharia elétrica
Curso: Engenharia elétrica > Unidade 5
Lição 2: Campos, potencial e tensãoProva: Campo de uma placa infinita (parte 2)
Vemos que a placa, infinita e uniformemente carregada gera um campo elétrico constante (independentemente da altura acima da placa). Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2G - Ao final do vídeo anterior, tínhamos este plano infinito carregado com densidade de carga sigma (σ), tomamos um ponto a uma altura "h"
da superfície deste plano e nós queríamos calcular
o campo elétrico neste ponto, gerado por um anel de raio "r" cujo centro está na projeção ortogonal
deste ponto para o qual olhamos sobre o plano. Verificamos que o campo elétrico
foi calculado aqui e nós, pela simetria analisada
no vídeo anterior, verificamos que nos interessa apenas a componente "y", a componente vertical, ou, melhor dizendo, a componente perpendicular
ao plano infinito do campo elétrico. Isso porque o campo elétrico gerado
por qualquer ponto do plano tem a sua componente paralela
ao plano cancelada pela componente horizontal do campo
elétrico gerado por um outro ponto diametralmente oposto àquele
ponto tomado inicialmente, tendo como centro a projeção ortogonal do ponto onde se encontra
a carga de prova sobre o plano. Se você tomar um ponto aqui, a componente paralela ao plano
vai apontar, por exemplo, para a direita, enquanto o outro ponto,
diametralmente oposto, vai gerar um campo elétrico
cuja componente horizontal tem a mesa intensidade do anterior, porém, apontando para a esquerda.
Eles vão se cancelar. E com essas ideias, ao final do vídeo, nós calculamos cuidadosamente
ual é a componente "y", ou seja, perpendicular ao plano infinito do campo elétrico gerado pelo anel a uma altura "h" sobre o plano infinito. O que vamos fazer agora é somar
todos os campos elétricos, gerados por todos os anéis,
com raio infinito, até raio zero, e olhar para componente "y"
total do que vamos obter. Vou desenhar novamente o plano infinito, lembrando que ele é infinito
em todas as direções. Temos aqui o ponto sobre o plano
a uma altura de "h" unidades, sobre o qual queremos descobrir
o campo elétrico. Na verdade, estamos interessados em calcular a componente vertical do campo elétrico, já que as componentes horizontais,
ou seja, paralelas ao plano, se cancelam. Nós já calculamos o campo elétrico e a componente vertical desse campo elétrico devido a um anel de raio "r", que estou representando rapidamente aqui. E esta expressão é o que dá a componente "y" do campo elétrico naquele ponto,
devido a este anel. O que vamos fazer aqui é usar uma integral para calcular
o campo elétrico total devido a todos os possíveis anéis
sobre o plano infinito. O campo elétrico total vai ser igual
à integral de um raio indo de zero até o raio infinito. Esta integral vai nos dar a soma de todos os campos elétricos,
de todos os anéis possíveis. E eu sei que o campo elétrico
gerado por um anel de raio "r" é este que já calculamos aqui. Ficamos com a integral da expressão: kh2πσrdr, sobre (h² + r²), tudo elevado a 3/2. Agora precisamos trabalhar
com o cálculo desta integral e vamos simplificar um pouquinho
retirando da expressão algumas constantes. As constantes "k", "h", π, σ fora da integral, multiplicando a integral de zero ao infinito, de 2rdr sobre (h² + r²) elevado a 3/2. Agora é a parte matemática
para calcular a integral. Vamos usar o método da substituição,
que é o caminho contrário da regra da cadeia. E, para fazer a substituição, vamos
dizer que u = h² + r² e, portanto, du (em relação ao dr,
não se esqueça disso) é igual a 2r, porque h² é constante
em relação a "r". Então, a derivada aquele termo é zero e a derivada de r² em relação a "r" é 2r, ou seja, du/dr = 2r, portanto, du = 2rdr. Agora vamos focar na antiderivada de 2rdr sobre (h² + r²) elevado a 3/2, mas fazendo a substituição de (h² + r²) por "u" e du ficando no lugar do 2rdr, vamos ter a integral de du sobre
"u" elevado a 3/2, que é equivalente à integral de "u"
elevado a -3/2 vezes du. E agora temos a integral da potência. Esta é uma regra extremamente simples e vai nos dar -2u elevado a -1/2, o que nos dá -2 sobre a raiz quadrada de (h² + r²). Já estou fazendo a volta para a variável "r". Ainda deveríamos colocar aqui o +c,
daquela constante, mas, como vamos calcular a integral definida, os "c" iriam se cancelar, então,
não vou precisar escrevê-los aqui. Voltando à integral definida, esta expressão toda vai ficar: khπσ, vezes -2 (este -2 é constante e, multiplicando,
pode sair da integral), tudo isso multiplicando e agora, entre parênteses, vamos aplicar os limites da integração, que seria 1 sobre a raiz quadrada de (h² + r²), calculado entre zero e infinito. Agora vamos ver o que é esta expressão. O que é 1 sobre raiz quadrada de (h² + infinito)? Ou seja, quando "r" tende ao infinito? Bem, a raiz quadrada de infinito
continua sendo infinito e 1 sobre infinito tende a zero. Então, esta expressão, quando "r"
tende a infinito, é zero. Menos a mesma expressão,
aplicando zero no lugar do "r". Quando "r" é zero, ficamos com 1 sobre
a raiz quadrada de h², apenas isso. Então, temos aqui: -2khπσ, vezes zero, menos 1 sobre
a raiz quadrada de h². E isso tudo nos dá -2khπσ, vezes -1 sobre "h", porque h² com raiz quadrada cancelou,
já que "h" é positivo. Aqui, menos vezes menos vai
nos dar um resultado positivo e o "h" do denominador cancela com o "h"
desta outra parte da expressão. Finalmente, a simplificação de tudo
isso nos dá, simplesmente, 2khπσ. E o que obtivemos aqui?
O que é este resultado? Este resultado é o campo elétrico resultante em um ponto situado a uma altura "h"
de um plano infinito carregado. E o que nos chama a atenção é que
este é o campo elétrico naquele ponto, mas não aparece "h" nesta expressão. Isso significa que a magnitude do campo elétrico não depende da altura na qual
estamos tomando um ponto sobre o plano infinito. E isso significa que temos
um campo elétrico constante. Ou seja, em qualquer ponto flutuando sobre o plano carregado infinito vai estar sujeito ao mesmo campo elétrico. O campo elétrico só vai depender da densidade
de carga daquele plano infinito carregado, que é indicado nesta expressão por σ. O importante aqui é que conseguimos
demonstrar que, se temos um plano infinito
uniformemente carregado e se eu estou a uma certa altura "h"desse plano infinito, não importa qual é o valor dessa altura "h"
em relação ao plano infinito. Em qualquer um desses pontos,
a qualquer altura a partir do plano infinito, o campo elétrico vai ter exatamente
a mesma intensidade. Com isso, agora você tem a demonstração
daquelas informações que você tinha como verdadeiras para planos infinitos carregados, muito utilizados quando temos
dois planos paralelos e falamos de capacitores. Até o próximo vídeo!