Prova: Campo de uma placa infinita (parte 2)

RKA2G - Ao final do vídeo anterior, tínhamos este plano infinito carregado com densidade de carga sigma (σ), tomamos um ponto a uma altura "h" da superfície deste plano e nós queríamos calcular o campo elétrico neste ponto, gerado por um anel de raio "r" cujo centro está na projeção ortogonal deste ponto para o qual olhamos sobre o plano. Verificamos que o campo elétrico foi calculado aqui e nós, pela simetria analisada no vídeo anterior, verificamos que nos interessa apenas a componente "y", a componente vertical, ou, melhor dizendo, a componente perpendicular ao plano infinito do campo elétrico. Isso porque o campo elétrico gerado por qualquer ponto do plano tem a sua componente paralela ao plano cancelada pela componente horizontal do campo elétrico gerado por um outro ponto diametralmente oposto àquele ponto tomado inicialmente, tendo como centro a projeção ortogonal do ponto onde se encontra a carga de prova sobre o plano. Se você tomar um ponto aqui, a componente paralela ao plano vai apontar, por exemplo, para a direita, enquanto o outro ponto, diametralmente oposto, vai gerar um campo elétrico cuja componente horizontal tem a mesa intensidade do anterior, porém, apontando para a esquerda. Eles vão se cancelar. E com essas ideias, ao final do vídeo, nós calculamos cuidadosamente ual é a componente "y", ou seja, perpendicular ao plano infinito do campo elétrico gerado pelo anel a uma altura "h" sobre o plano infinito. O que vamos fazer agora é somar todos os campos elétricos, gerados por todos os anéis, com raio infinito, até raio zero, e olhar para componente "y" total do que vamos obter. Vou desenhar novamente o plano infinito, lembrando que ele é infinito em todas as direções. Temos aqui o ponto sobre o plano a uma altura de "h" unidades, sobre o qual queremos descobrir o campo elétrico. Na verdade, estamos interessados em calcular a componente vertical do campo elétrico, já que as componentes horizontais, ou seja, paralelas ao plano, se cancelam. Nós já calculamos o campo elétrico e a componente vertical desse campo elétrico devido a um anel de raio "r", que estou representando rapidamente aqui. E esta expressão é o que dá a componente "y" do campo elétrico naquele ponto, devido a este anel. O que vamos fazer aqui é usar uma integral para calcular o campo elétrico total devido a todos os possíveis anéis sobre o plano infinito. O campo elétrico total vai ser igual à integral de um raio indo de zero até o raio infinito. Esta integral vai nos dar a soma de todos os campos elétricos, de todos os anéis possíveis. E eu sei que o campo elétrico gerado por um anel de raio "r" é este que já calculamos aqui. Ficamos com a integral da expressão: kh2πσrdr, sobre (h² + r²), tudo elevado a 3/2. Agora precisamos trabalhar com o cálculo desta integral e vamos simplificar um pouquinho retirando da expressão algumas constantes. As constantes "k", "h", π, σ fora da integral, multiplicando a integral de zero ao infinito, de 2rdr sobre (h² + r²) elevado a 3/2. Agora é a parte matemática para calcular a integral. Vamos usar o método da substituição, que é o caminho contrário da regra da cadeia. E, para fazer a substituição, vamos dizer que u = h² + r² e, portanto, du (em relação ao dr, não se esqueça disso) é igual a 2r, porque h² é constante em relação a "r". Então, a derivada aquele termo é zero e a derivada de r² em relação a "r" é 2r, ou seja, du/dr = 2r, portanto, du = 2rdr. Agora vamos focar na antiderivada de 2rdr sobre (h² + r²) elevado a 3/2, mas fazendo a substituição de (h² + r²) por "u" e du ficando no lugar do 2rdr, vamos ter a integral de du sobre "u" elevado a 3/2, que é equivalente à integral de "u" elevado a -3/2 vezes du. E agora temos a integral da potência. Esta é uma regra extremamente simples e vai nos dar -2u elevado a -1/2, o que nos dá -2 sobre a raiz quadrada de (h² + r²). Já estou fazendo a volta para a variável "r". Ainda deveríamos colocar aqui o +c, daquela constante, mas, como vamos calcular a integral definida, os "c" iriam se cancelar, então, não vou precisar escrevê-los aqui. Voltando à integral definida, esta expressão toda vai ficar: khπσ, vezes -2 (este -2 é constante e, multiplicando, pode sair da integral), tudo isso multiplicando e agora, entre parênteses, vamos aplicar os limites da integração, que seria 1 sobre a raiz quadrada de (h² + r²), calculado entre zero e infinito. Agora vamos ver o que é esta expressão. O que é 1 sobre raiz quadrada de (h² + infinito)? Ou seja, quando "r" tende ao infinito? Bem, a raiz quadrada de infinito continua sendo infinito e 1 sobre infinito tende a zero. Então, esta expressão, quando "r" tende a infinito, é zero. Menos a mesma expressão, aplicando zero no lugar do "r". Quando "r" é zero, ficamos com 1 sobre a raiz quadrada de h², apenas isso. Então, temos aqui: -2khπσ, vezes zero, menos 1 sobre a raiz quadrada de h². E isso tudo nos dá -2khπσ, vezes -1 sobre "h", porque h² com raiz quadrada cancelou, já que "h" é positivo. Aqui, menos vezes menos vai nos dar um resultado positivo e o "h" do denominador cancela com o "h" desta outra parte da expressão. Finalmente, a simplificação de tudo isso nos dá, simplesmente, 2khπσ. E o que obtivemos aqui? O que é este resultado? Este resultado é o campo elétrico resultante em um ponto situado a uma altura "h" de um plano infinito carregado. E o que nos chama a atenção é que este é o campo elétrico naquele ponto, mas não aparece "h" nesta expressão. Isso significa que a magnitude do campo elétrico não depende da altura na qual estamos tomando um ponto sobre o plano infinito. E isso significa que temos um campo elétrico constante. Ou seja, em qualquer ponto flutuando sobre o plano carregado infinito vai estar sujeito ao mesmo campo elétrico. O campo elétrico só vai depender da densidade de carga daquele plano infinito carregado, que é indicado nesta expressão por σ. O importante aqui é que conseguimos demonstrar que, se temos um plano infinito uniformemente carregado e se eu estou a uma certa altura "h"desse plano infinito, não importa qual é o valor dessa altura "h" em relação ao plano infinito. Em qualquer um desses pontos, a qualquer altura a partir do plano infinito, o campo elétrico vai ter exatamente a mesma intensidade. Com isso, agora você tem a demonstração daquelas informações que você tinha como verdadeiras para planos infinitos carregados, muito utilizados quando temos dois planos paralelos e falamos de capacitores. Até o próximo vídeo!