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Prova: Campo de uma placa infinita (parte 2)

Transcrição de vídeo

ao final do vídeo anterior tínhamos aqui este plano infinito carregado com densidade de carga sigma e tomamos aqui um ponto a uma altura h da superfície desse plano e nós queríamos calcular o campo elétrico nesse ponto gerado por um anel de raio r cujo centro está na projeção ortogonal deste ponto para o qual olhamos sobre o plano verificamos que o campo elétrico foi calculado aqui e nós pela simetria analisada no vídeo anterior verificamos que nos interessa apenas à componente y a componente vertical ou melhor dizendo a componente perpendicular ao plano infinito do campo elétrico isso porque o campo elétrico gerado por qualquer ponto do plano tem a sua componente paralela o plano cancelada pela componente horizontal do campo elétrico gerado por um outro ponto diametralmente oposto àquele ponto tomado inicialmente tendo como centro a projeção ortogonal do ponto onde se encontra nossa carga de prova sobre o plano se você tomar um ponto aqui a componente paralelo o plano vai apontar por exemplo para a direita para nossa direita enquanto o outro ponto diametralmente oposto vai gerar um campo elétrico cuja componente horizontal tem a mesma intensidade do anterior porém apontando para a esquerda eles vão se cancelar e com essas idéias ao final do vídeo nós calculamos cuidadosamente qual é a componente y ou seja perpendicular ao plano infinito do campo elétrico gerado pelo anel a uma altura h sobre o nosso plano infinito então o que vamos fazer agora é somar todos os campos elétricos gerados por todos os anéis com raio infinito a terra e 10 e olhar para a componente y no total do que vamos obter vou desenhar novamente aqui o plano infinito lembrando que é infinito em todas as direções temos aqui o ponto sobre o plano a uma altura de h unidades sobre o qual queremos descobrir o campo elétrico na verdade estamos interessados em calcular a componente vertical do campo elétrico já que as componentes horizontais ou seja paralelas ao plano se cancelam nós já calculamos o campo elétrico ea componente vertical desse campo elétrico devido a um anel de raio r que estou representando rapidamente aqui e esta expressão é o que dá à componente y do campo elétrico naquele ponto devido a este anel eo que vamos fazer aqui é usar uma integral para calcular o campo elétrico total devido a todos os possíveis anéis sobre o nosso plano infinito então o campo elétrico total vai ser igual a integral de um raio indo de 0 até o raio infinito então esta integral vai nos dar a soma de todos os campos elétricos de todos os anéis possíveis e eu sei que o campo elétrico gerado por um anel de raio r é este que já calculamos aqui então ficamos com integral da expressão k/h 2pi sigma r de r sobre a gal quadrado mas erra quadrado tudo é levado a três meios agora precisamos trabalhar com o cálculo desta integral e vamos simplificar um pouquinho retirando da expressão algumas constantes as constantes aqui cá a gap sigma fora da integral multiplicando integral de zero ao infinito de 2 rdr sobre h ao quadrado mas é quadrado elevado a três meios agora é a parte matemática para calcular a integral aqui vamos usar o método da substituição que é o caminho contrário da regra da cadeia e para fazer a substituição vamos dizer que o igual a h1 quadrado mais r quadrado e portanto odeo em relação ao dr não se esqueça disso é igual a 2 r porque ao quadrado é constante em relação à r então derivada aquele termo a 0 ea derivada de r quadrado em relação à r 2 r ou seja de o dr é igual a 2 r portanto de u é igual a 2 rbr então agora vamos focar na antes derivada de 2 rdr sobre a gal quadrado mais é cuadrado elevada três meios mas fazendo a substituição de pagar ao quadrado mas é enquadrado por ruim e deo ficando no lugar do 2 rdr vamos ter a integral de deus sobre o elevado a três meios que é equivalente à integral de um elevado - três meios de hu e agora temos a integral da potência essa regra é uma regra extremamente simples e vai nos dar menos 2 o o elevado - um meio o que nos dá menos 2 sobre a raiz quadrada dh ao quadrado mas é o quadrado já estou fazendo a volta para a variável r ainda deveríamos colocar aqui o mais cedo aquela constante mas como vamos calcular a integral definida os ses iriam se cancelar então não vou precisar escrever o saque faltando então a nossa integral definida esta expressão toda vai ficar cá a gap sigma vezes o - 2 - 2 a constante multiplicando pode sair da integral tudo isso multiplicando agora entre parênteses vamos aplicar os limites da integração que seria um sobre a raiz quadrada dh ao quadrado mais r quadrado calculado entre zero e infinito agora vamos ver o que esta expressão o que é um sobre raiz quadrada dh o quadrado mais infinito ou seja quando rt infinito bem a raiz quadrada de infinito continua sendo infinito e um sobre infinito tende a zero então esta expressão quando é item de infinito é zero - a mesma expressão aplicando 0 no lugar do r quando erra 0 ficamos com um sobre a raiz quadrada do h ao quadrado apenas isso então temos aqui - 2 cagar pi sigma vezes 0 - 1 sobre a raiz quadrada dh ao quadrado e isso tudo nos dá menos 2 k h ii sigma vezes - um sobre h porque ao quadrado raiz quadrada cancelou já que é hiv positivo e aqui ou menos vezes - vai nos dar um resultado positivo eo h aqui do denominador cancela com h desta outra parte da expressão finalmente a simplificação de tudo isso nos dá simplesmente 2 cap sigma e o que obtivemos aqui o que é esse resultado esse resultado é o campo elétrico resultante em um ponto situado a uma altura hd um plano infinito carregado e o que nos chama a atenção é que este é o campo elétrico naquele ponto mas não aparece h nesta expressão e isso significa que a magnitude do campo elétrico não depende da altura na qual estamos tomando um ponto sobre o plano é infinito e isso significa que temos um campo elétrico constante ou seja em qualquer ponto flutuando sobre o plano carregado infinito vai estar sujeito ao mesmo campo elétrico o campo elétrico só vai depender da densidade de carga daquele plano infinito carregado que é indicado aqui nesta expressão por sigma então o importante aqui é que conseguimos demonstrar que se temos um plano infinito uniformemente carregado e se eu estou a uma certa altura h desse plano infinito não importa qual é o valor dessa altura h com a medida dessa altura já em relação ao plano infinito em qualquer um desses pontos a qualquer altura a partir do plano infinito o campo elétrico vai ter a mesma intensidade exatamente a mesma intensidade com isso agora você tem a demonstração daquelas informações que você tinha como verdadeiras para planos infinitos carregados muito utilizados quando temos dois planos paralelos e falamos de capacitores até o próximo vídeo