Integral do produto de senos

no estudo da série d fui e nós temos visto vídeos para ficar familiarizados com algumas propriedades das integrais descendo e com os amo e vimos várias delas aqui tem um resumo acho que a gente já viu nós vimos que a integral de 02 pi do ce no dia inteiro vezes tdt é igual a zero vimos que a integral de zero do espírito com o centro de mt dt para m pertencente antigos em 10 é igual a zero nós vimos que a integral de 0 até 2 p descendo gmt vejo com o cnt dt é igual a zero para m e n pertencente aos inteiros nesse vídeo vamos ver quanto é a integral de zero do isp descendo no dmt vezes os e no de nt tt nós vamos provar que ele é igual a zero quando m é diferente dn ou m é diferente de - n e é igual ap quando m é igual a n daqui a gente já pode colocar que esse m for igual a eni significa que você tenha integral de 0 a 2 pi do ce no dm vezes te vezes o selo dm vezes esteja aqui e me é igual a ele então você tem o sendo ao quadrado dm vezes te de t isso daqui é igual ap caso contrário quando m foi diferente de higiene ou diferente - m isto vai dar zero é isso que nós vamos provar agora então pela propriedade trigonométrica nós podemos tirar que seno vezes sendo podemos escrever como a integral de 0 a 2 pi de um meio de consenso e no dm - n vezes te - o cos endo dm mas n vezes te isso tudo dt hora vamos pensar um pouco aqui nós temos uma soma de integrais e se o meio tá multiplicando tanto esse cosseno quanto isso nós podemos abrir essa integral botar um meio para fora ou seja fica um meio da integral de 0 até 2 pi do cocó c no dm - n vezes te dt - um meio da integral de 0 até 2 pi do cosseno dm mas n vezes te isso dt agora vamos examinar cm for diferente de n isso aqui vai ser um inteiro e obviamente se ele é um inteiro a gente já viu que o cosseno de um inteiro ver existir dt é zero então se ele for diferente n vai dar zero e aqui é diferente de n isso aqui também dá um inteiro e isso aqui também dá zero ou seja está de acordo com que nós já vimos então vamos voltar aqui agora e ver agora para m igual a ele então se m for igual a n o que acontece aqui vai ser um inteiro aqui vai dar zero mas aqui não vai da 02 m é igual a n então nós vamos ter o cosseno de zero então vamos ficar com um meio integral de 0 a 2 e do co sendo de zero que é um dt hora enquanto equivale a 60 graus vamos fazer da levada de um dt é o próprio t então temos um meio de t no intervalo de 0 até 2 p ou seja isso aqui vai ser um meio vezes 2 pe - 02 primeiro zero é do esp / 2 vai ser igual ap portanto verificamos que é integral de 02 pi da multiplicação de senos onde você tem um inteiro vezes o t e tem outro inteiro vezes o t ele vai ser zero quando m for diferente de n ou quando m foi diferente de - n e ele vai ser igual ap quando m for igual a n ou seja a integral de zero do espírito cena ao quadrado gmt de t é igual a um bis