Ângulo de um Projétil

RKA12 Olá, pessoal! Neste vídeo, nós resolveremos esta questão de lançamento de projétil com ângulo em relação à horizontal. Então, nesta questão, eu tenho um projétil sendo lançado... que pode ser um canhão ou um foguete... está lançando um projétil a uma velocidade inicial de 10 metros por segundo, com uma inclinação de 30 graus com a horizontal. E o que eu quero saber neste vídeo... eu quero descobrir qual que foi... (deixe-me desenhar aqui o mais reto possível)... qual que foi a distância percorrida pelo projétil (distância percorrida ou deslocamento do projétil). E para descobrir isto da maneira mais fácil, nós vamos ter que começar dividindo este vetor 10 m/s nos seus componentes horizontal e vertical. Todo lançamento oblíquo vai resultar em um componente horizontal e um vertical, que, então, pode ser, no caso, composto para um único vetor como este aqui que é 10 m/s com 30 graus de inclinação, ou decomposto para um vetor vertical e um horizontal. Então, vamos começar. Vai ter um vetor vertical que eu vou chamar de "vᵧ", e eu vou ter um vetor na horizontal que vai ser o meu "vₓ". E, agora, só para deixar este desenho um pouco mais limpo, eu vou refazer isto aqui. Então, eu tenho primeiro este meu vetor aqui, que é o vetor... (deixe-me fazer reto)... que é 10 m/s. Então, aqui, eu tenho este vetor que é 10... o módulo dele é 10 m/s. Então, eu tenho também o meu vetor "x" (eu tenho aqui o vetor "x"), o vetor "vₓ"... ou melhor "vᵧ" (desculpem, "vᵧ")... "vᵧ" ... (eu estou com problemas para pegar a cor certa aqui).... "vᵧ"... e também tenho um vetor que é o "vₓ". Então, um vetor "vₓ" aqui. Pronto. E eu também sei que este ângulo, entre estes dois vetores, é um ângulo de 30 graus. Então, para começar a resolver isto, a gente tem que saber uma coisa: a principal coisa que nós temos que saber aqui para determinar a distância percorrida é quanto tempo este projétil fica no ar. E isto só vai depender de "vᵧ". Não importa o quão rápido na direção "x" eu lance o objeto, porque depende se vai ficar um tempo suficiente no ar ou não. E quem determina se o projétil vai ficar um tempo suficiente no ar, ou não, é esta velocidade "y". Então, é como se eu jogasse, por exemplo, uma pedra para cima, e outra eu lançasse para frente ao mesmo tempo em que jogasse para cima. Se as duas tivessem a mesma velocidade em "y" e eu jogasse ao mesmo tempo, as duas cairiam no chão ao mesmo tempo (mesmo que uma caísse muito mais distante do que a outra). Então, para começar, nós vamos ter que descobrir "vᵧ". E, para isto, a gente pode utilizar trigonometria no triângulo retângulo. Então, aqui nós temos "vᵧ". Então, o módulo de "vᵧ" (o módulo do vetor "vᵧ") vai ser igual... (ou melhor, deixe-me escrever de outra maneira)... aqui nós temos um seno de 30 graus. Então, nós sabemos por aquela regrinha do SOH CAH TOA que seno é o oposto pela hipotenusa. Então, aqui, nós temos o oposto e aqui nós temos a hipotenusa. Então, o nosso seno de 30 graus vai ser igual ao cateto oposto, que é "vᵧ" (mas aqui vai ser módulo do vetor "vᵧ". Não se esqueçam disso) dividido pela hipotenusa, que é 10 m/s. Ok, agora, multiplicando os dois lados por 10 para a gente tirar esse 10 m/s aqui de baixo, nós vamos ficar aqui com 10 m/s vezes o seno de 30 (vezes o seno de 30 graus). E isto daqui vai ter que ser igual ao módulo do vetor "vᵧ". E, agora, se vocês lembram do seno de 30 graus, ele é 1/2. Se vocês não lembram, podem usar uma calculadora para pegar esse valor. Então, 1/2. Isto aqui é 1/2, vezes 10 vai dar 5. Então, o meu módulo do vetor "vᵧ" vai ser 5 m/s (5 metros por segundo). Ok. E agora que a gente tem essa velocidade nós temos que descobrir quanto tempo este meu projétil vai ficar no ar. Então, agora, nós vamos analisar esta situação aqui primeiro na vertical. Ok, aqui. Então, qual que vai ser... nós temos uma velocidade inicial, que é de 5 m/s. Então vamos botar aqui nossa velocidade inicial que é de 5 m/s. E nós vamos ter uma velocidade final que é quando o objeto cai no chão, que vai ser de... alguém se arrisca? Vai ser de -5 m/s. Porque eu tenho uma aceleração... eu vou fazer uma convenção aqui. A convenção é que: para cima é positivo, e para baixo é negativo. Então, eu começo com uma velocidade de valor positivo, que está levando o projétil para cima. Então, depois de um momento, vamos supor aqui, ele vai ficar estacionário, (ou seja, ele não vai ter nem velocidade para cima, nem velocidade para baixo). E depois, então, ele começa a desacelerar no sentido "y", e começa a ficar com a velocidade cada vez mais negativa. Então, a velocidade no final... no final, a velocidade ficaria... (calma aí, um vetor velocidade ficaria mais ou menos assim)... -5 m/s. Ok, então, tendo isto em vista, a gente consegue calcular a variação na velocidade, que vai ser igual à velocidade inicial, que é 5... ou melhor, a velocidade final, que é -5, menos a velocidade... (deixe-me botar "m/s" aqui)... menos a velocidade inicial que é 5. Só que, então, como tem o "menos" na frente, vai ficar mais -5 ou menos +5... vai ficar -5 m/s. Então, a nossa variação na velocidade em "y" (não posso esquecer disto, em "y") é igual a -10 m/s. Ok. Agora, a gente tem a nossa variação na velocidade e a gente pode utilizar uma fórmula para calcular o tanto de tempo que este projétil vai ficar no ar. E a fórmula é a seguinte: a minha variação de velocidade em "y" vai ser igual à multiplicação da aceleração experienciada pelo corpo em "y", vezes... agora aqui... vezes a variação do período de tempo que este projétil ficou no ar. Esta aceleração vai ser, no caso, a aceleração da gravidade, porque nós estamos na Terra. Então, nós vamos utilizar este "aᵧ" como sendo igual a "g". Então, "aᵧ" é igual a "g", que é igual ... (não posso esquecer o vetor, só que ainda assim é um módulo)... que vai ser igual a 9,8 m/s². Ok. Então, nosso delta "vᵧ" ("Δvᵧ") vai ser... (deixe-me pegar aqui, eu estou com problema para pegar as coisas aqui)... nosso "Δvᵧ" vai ser -10 m/s, que vai ser igual a 9,8 m/s² vezes o intervalo de tempo ("Δt"), que é o que a gente quer encontrar. Então, agora, multiplicando os dois lados por 1/9,8 (ou dividindo os dois lados por 9,8), nós vamos isolar "Δt". Então, "Δt" vai ser igual a -10 m/s, e esta aceleração a gente não pode esquecer (quase que eu ia esquecendo aqui) que ela é negativa, pessoal, porque ela vai estar fazendo uma aceleração contrária à velocidade inicial, porque a gravidade vai estar apontando para o centro da Terra. Então, quase que eu me esqueço disto. Então, por causa desta notação aqui, "g" vai ser negativo. Então, isto aqui vai ser -10 dividido por -9,8 m/s². E, agora, eu vou utilizar uma calculadora para calcular isto. O resultado vai ser positivo como a gente esperava: um tempo positivo. Então, vamos lá! 10 dividido por 9,8. Isto é igual a 1,02. Então, isto é igual a 1,02 segundo. Então, agora, a gente sabe quanto tempo este projétil ficou no ar. E, agora, a gente pode calcular o deslocamento em "x". Então, agora, a gente pode calcular o deslocamento. Ok. E, para calcular o deslocamento... então, eu vou botar aqui um deslocamento "S" em "x"... isto vai ser igual à multiplicação da minha velocidade inicial em "x" (assumindo que a velocidade permaneça constante ao longo do percurso) vezes o meu intervalo de tempo. Então, agora, a gente tem que achar "vₓ". E "vₓ" é adjacente a este ângulo. Então, quando nós temos um lado adjacente e aqui é um triângulo retângulo, nós podemos usar cosseno (que é adjacente pela hipotenusa) para descobrir este valor. Então, aqui vai ficar seno de 30... ou melhor cosseno... (desculpem, quase que eu ia errando isto)... cosseno de 30 graus vai ser igual ao adjacente que é "vₓ" (então, o módulo do vetor "vₓ") sobre 10, que é a minha hipotenusa... sobre 10 m/s. Então, agora, dividindo... ou melhor, multiplicando os dois lados por 10, nós vamos ficar com o vetor "vₓ".... o vetor "vₓ" vai ser igual a 10 vezes o cosseno de 30. E, se você não se lembra do cosseno de 30, você pode utilizar a calculadora, mas eu me lembro. Então, o cosseno de 30 é √3/2. Então, "vₓ" vai ficar 10 vezes √3/2 ou 5√3 (deixe-me botar uma outra cor: 5√3) Então, agora, para a gente descobrir o nosso deslocamento em "x", é só a gente utilizar esta fórmula, que é bem parecida com a função horária do primeiro grau, que é "S = vt". Na verdade, é esta fórmula. Então, o nosso "vₓ", que vai ser 5√3 multiplicado pelo Δt, que nós temos aqui que é 1,02 (então, vezes 1,02). E eu vou usar uma calculadora para resolver isto. Então, como é calculadora do Windows, primeiro eu tenho que fazer a √3. Então, a √3. Agora eu posso multiplicar por 5 e depois multiplicar por 1,02. E isto vai ser 8,83 metros. Então, o meu deslocamento total é de 8,83 metros. E nós acabamos!