(UEL) Um carro percorreu a metade de uma estrada viajando a 30km/h e a outra metade da estrada a 60km/h. Sua velocidade média no percurso total foi, em km/h, de a) 60 b) 54 c) 48 d) 40 e) 30 Alguém é capaz de me ajudar com esse exercício?

d total = 2x; t1 = x/30; t2 = x/60; t total = x/30 + x/60 = (2x+x)/60 = 3x/60 = x/20 v média = d total / t total = 2x/ (x/20) = 2x/1 . 20/x = 2 . 20 = 40 km/h D de dado!

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Curso: Física - Ensino Médio > Unidade 2

Lição 3: Velocidades instantânea e média a partir de gráficos

O que são gráficos de posição versus tempo?

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Veja o que podemos aprender com gráficos que relacionam posição e tempo.

Como os gráficos de posição versus tempo são úteis?

Muitas pessoas, quando se deparam com um gráfico, se sentem como em uma consulta ao dentista: um pouco de ansiedade e um forte desejo de que a experiência termine o mais rápido possível. Mas os gráficos de posição, além de interessantes, são uma forma eficiente de representar visualmente uma grande quantidade de informações sobre o movimento de um objeto.

O que o eixo vertical representa em um gráfico da posição?

O eixo vertical representa a posição do objeto. Por exemplo, se você ler o valor do gráfico abaixo em um determinado instante, você terá a posição do objeto em metros.

Tente deslizar o ponto horizontalmente no gráfico abaixo para escolher diferentes instantes e ver como a posição muda.

Teste de conceito: qual é a posição do objeto no instante $t = 5$ ‍ segundos de acordo com o gráfico acima?

O que a inclinação representa em um gráfico da posição?

A inclinação em um gráfico de posição representa a velocidade vetorial do objeto. Então, o valor da inclinação em um determinado instante representa a velocidade vetorial do objeto naquele instante.

Para entender, considere a inclinação do gráfico de posição versus tempo mostrado abaixo.

Nas aulas de matemática, o eixo vertical, a variável dependente, é geralmente chamada

y

e o eixo horizontal, a variável independente, é geralmente chamada de

x

Entretanto, nas aulas de física quase sempre colocamos o tempo

t

no eixo horizontal, como a variável independente. Isso significa que qualquer outra variável precisa ficar no eixo vertical, incluindo

x

que normalmente representa a posição horizontal.

Reconhecemos que é um pouco confuso representar o deslocamento horizontal

x

no eixo vertical. Mas essa é a convenção na maioria dos artigos, cursos e aulas sobre física. Isso também faz sentido porque é melhor ver o tempo como uma variável independente, já que não temos controle sobre ele... a menos que você seja um senhor do tempo que domina a arte de viajar no tempo, mas nesse caso você provavelmente já tem um conhecimento do espaço e do tempo que faz nossas teorias parecerem bobas e ingênuas.

A inclinação deste gráfico de posição é

inclinação = \frac{Delta-x}{Delta-t} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}}

Observe que a expressão para Inclinação é a mesma da definição da velocidade vetorial

v = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}}

. Então, a inclinação de um gráfico de posição também representa a velocidade vetorial do objeto.

Isto também é verdadeiro para um gráfico de posição onde a inclinação está mudando. No gráfico de posição versus tempo abaixo, a linha vermelha mostra a inclinação em um determinado momento. Tente deslizar o ponto abaixo horizontalmente para ver como é a inclinação do gráfico para momentos particulares no tempo.

A inclinação da curva entre os tempos

t = 0 s

t = 3 s

é positiva, porque a inclinação está direcionada para cima. Isso significa que a velocidade vetorial é positiva e que o objeto está se movendo na direção positiva.

A inclinação da curva é negativa entre

t = 3 s

t = 9 s

, já que a inclinação é direcionada para baixo. Isso significa que a velocidade vetorial é negativa e que o objeto está se movendo na direção negativa.

Quando

t = 3 s

a inclinação é zero, já que a reta que mostra a inclinação está horizontal. Isso significa que naquele instante a velocidade vetorial é zero e o objeto está momentaneamente em repouso.

Teste de conceito: qual é a velocidade vetorial do objeto em $t = 9 s$ ‍ de acordo com o gráfico acima?

Um outro ponto a ter em mente é que a inclinação num gráfico de posição em um determinado instante dá a velocidade vetorial instantânea naquele momento. A inclinação média entre dois instantes dará a velocidade vetorial média nesse período. A velocidade vetorial instantânea não tem de ser igual à velocidade vetorial média. No entanto, se a inclinação é constante para um determinado período de tempo (ou seja, o gráfico é um segmento de reta), então a velocidade vetorial instantânea será igual à velocidade vetorial média entre dois pontos no segmento de reta.

O que significa a curvatura em um gráfico de posição?

Observe o gráfico abaixo. A linha tem formato curvo já que não é composta de segmentos retos. Quando a linha em um gráfico de posição é curva, a inclinação varia com o tempo, isto significa que a velocidade vetorial está variando. Velocidade vetorial variando significa aceleração. Portanto, curvatura em um gráfico de posição indica que o objeto está acelerando, isto é, aumentando ou diminuindo sua velocidade vetorial/inclinação.

No gráfico abaixo, tente deslizar o ponto na horizontal para assistir a inclinação mudar. A primeira curva, entre

1 s

5 s

, representa aceleração negativa, uma vez que a inclinação passa de positiva para negativa. Para a segunda curva, entre

7 s

11 s

, a aceleração é positiva, pois a inclinação passa de negativa para positiva.

Teste de conceito: qual é a aceleração do objeto em $t = 6 s$ ‍ de acordo com o gráfico acima?

Observe que como em torno do instante

6 s

a inclinação da curva é praticamente constante —não varia— a aceleração naquele instante é zero.

Para ver isto, mova o ponto entre cerca de

5, 5 s

até cerca de

6, 5 s

para ver que o declive da linha tangente permanece constante e, portanto, a velocidade vetorial permanece constante. Se a velocidade vetorial é sempre constante, a aceleração é zero.

Em resumo, se a curvatura de um gráfico de posição tiver o formato de uma tigela invertida, a aceleração será negativa. Se, ao contrário, a curvatura tiver o formato do interior de uma tigela, a aceleração será positiva naquele trecho. Uma forma de memorizar seria: se a tigela está invertida a comida cai e isto é negativo. Se a tigela está na posição normal a comida não cai e isso é positivo.

Não, infelizmente. Uma curvatura em forma de tigela de cabeça para baixo significa que a aceleração deve ser negativa, mas isso não significa necessariamente que o objeto está diminuindo sua velocidade.

Na primeira curva do gráfico acima, a velocidade vetorial começa positiva em

1 s

e a inclinação chega a zero no instante

3 s

. Isto significa que o objeto desacelera entre

1 s

3 s

. Ao continuar a análise da primeira curva, vemos que a inclinação é zero em

3 s

e se torna negativa em

5 s

. Isto significa que o objeto acelerou, indo de zero a uma velocidade vetorial negativa.

Ambos os lados da tigela de cabeça para baixo representam aceleração negativa, mas o lado esquerdo vai representar a diminuição da velocidade, e o lado direito vai representar o aumento da velocidade.

Outra forma de pensar é que, se o gráfico está ficando menos íngreme, o objeto está diminuindo sua velocidade. Se o gráfico está ficando mais íngreme, o objeto está aumentando sua velocidade.

Como são os exemplos resolvidos envolvendo gráficos de posição versus tempo?

Exemplo 1: O tubarão faminto

O movimento de um tubarão faminto andando para frente e para trás horizontalmente à procura de comida é dado pelo gráfico abaixo, que mostra a posição horizontal

x

em função do tempo

t

Qual era a velocidade vetorial instantânea do tubarão nos seguintes instantes de tempo: $2 s$ ‍, $5 s$ ‍ e $8 s$ ‍?

Encontrando a velocidade vetorial em $2 s$ ‍:

Podemos determinar a velocidade vetorial do tubarão em

t = 2 s

pela inclinação da curva em

t = 2 s

inclinação = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} (use a fórmula da inclinação)

Agora vamos escolher dois pontos quaisquer sobre a curva, de preferência coincidindo com as marcas da grade, de modo que possamos determinar o valor da posição e do tempo naqueles pontos. Escolhemos os pontos

(0 s, 1 m)

(4 s, 3 m)

, mas poderíamos ter escolhido quaisquer dois pontos entre

0 s

4 s

. Denominamos o último como ponto 2, e o primeiro como ponto 1.

inclinação = \frac{3 m - 1 m}{4 s - 0 s} (Escolha dois pontos e coloque os valores de x no numerador e os valores de t no denominador.)

inclinação = \frac{2 m}{4 s} = \frac{1}{2} m/s (calcule e comemore)

Então, a velocidade vetorial do tubarão em $2 s$ ‍ era de $0, 5 m/s$ ‍.

Encontrando a velocidade vetorial em $5 s$ ‍:

Para encontrar a velocidade vetorial em

5 s

só precisamos observar que o gráfico é horizontal nesse ponto. Como o gráfico é horizontal, a inclinação é igual a zero, o que significa que a velocidade vetorial do tubarão em $5 s$ ‍ era de $0 m/s$ ‍.

Encontrando a velocidade vetorial em $8 s$ ‍:

inclinação = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} (use a fórmula da inclinação)

Vamos escolher os pontos do começo e do final do segmento de reta, que seriam

(6 s, 3 m)

(9 s, 0 m)

inclinação = \frac{0 m - 3 m}{9 s - 6 s} (Escolha dois pontos e coloque os valores de x no numerador e os valores de t no denominador.)

inclinação = \frac{- 3 m}{3 s} = - 1 m/s (calcule e comemore)

Então, a velocidade vetorial do tubarão em $8 s$ ‍ era de $- 1 m/s$ ‍.

Exemplo 2: O pássaro feliz

O movimento de um pássaro voando para cima e para baixo é representado no gráfico abaixo, o qual mostra a posição vertical no eixo

y

como uma função do tempo

t

. Responda às seguintes perguntas sobre o movimento do pássaro.

Qual foi a velocidade vetorial média do pássaro entre $t = 0 s$ ‍ e $t = 10 s$ ‍?
Qual foi a velocidade escalar média do pássaro entre $t = 0 s$ ‍ e $t = 10 s$ ‍?

Encontrando a velocidade vetorial média do pássaro entre $t = 0 s$ ‍ e $t = 10 s$ ‍:

Para encontrar a velocidade vetorial média entre

t = 0 s

t = 10 s

, consideramos somente as posições inicial e final em

t = 0 s

t = 10 s

. Visualmente, isso corresponderia a encontrar a inclinação da reta que conecta os pontos inicial e final do gráfico.

inclinação = \frac{y_{2} - y_{1}}{t_{2} - t_{1}} (Use a fórmula da inclinação)

O ponto inicial é indicado pelo par ordenado

(0 s, 7 m)

e o ponto final por

(10 s, 6 m)

inclinação = \frac{6 m - 7 m}{10 s - 0 s} (insira os valores dos pontos final e inicial do intervalo)

inclinação = \frac{- 1 m}{10 s} = - 0, 1 m/s (calcule e comemore)

Então, a velocidade vetorial média do pássaro entre $t = 0 s$ ‍ e $t = 10 s$ ‍ foi de $- 0, 1 m/s$ ‍.

Sim, isso é essencialmente o que fizemos ao encontrar a inclinação média. Como a definição de velocidade vetorial média é deslocamento por tempo, poderíamos encontrar o deslocamento primeiro.

Δ y = y_{2} - y_{1} = 6 m - 7 m = - 1 m (insira as alturas final e inicial)

E então, nós teríamos dividido pelo tempo para obter a velocidade vetorial média:

v_{m é d i a} = \frac{Δ y}{Δ t} = \frac{- 1 m}{10 s}

v_{m é d i a} = - 0, 1 m/s

Encontramos o mesmo valor para a velocidade vetorial média por ambos os métodos.

Encontrando a velocidade escalar média do pássaro entre $t = 0 s$ ‍ e $t = 10 s$ ‍:

A definição da velocidade escalar média é a distância percorrida dividida pelo intervalo de tempo. Então, para encontrar a distância percorrida, precisamos somar os comprimentos percorridos em cada trecho do voo. Entre

t = 0 s

t = 2, 5 s

, o pássaro se moveu

5 m

para baixo. Entre

t = 2, 5 s

t = 5 s

, o pássaro não se moveu. Por fim, entre

t = 5 s

t = 10 s

, o pássaro voou

4 m

para cima. Somando todos os trechos, temos uma distância total percorrida de

distância = 9 m

Agora podemos dividir pelo tempo para obter a velocidade escalar média

v_{m é d i a}

v_{m é d i a} = \frac{distância}{Δ t} (use a fórmula da velocidade escalar média)

v_{m é d i a} = \frac{9 m}{10 s} = 0, 9 m/s (insira os valores, calcule e comemore)

Então, a velocidade escalar média do pássaro entre $t = 0 s$ ‍ e $t = 10 s$ ‍ foi de $0, 9 m/s$ ‍.

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Gabrel Barbosa
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “(UEL) Um carro percorreu ...” de Gabrel Barbosa
(UEL) Um carro percorreu a metade de uma estrada viajando a 30km/h e a outra metade da estrada a 60km/h. Sua velocidade média no percurso total foi, em km/h, de
a) 60
b) 54
c) 48
d) 40
e) 30

Alguém é capaz de me ajudar com esse exercício?
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- Luiz Portella
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “d total = 2x; t1 = x/30; ...” de Luiz Portella
  d total = 2x;
  t1 = x/30; t2 = x/60;
  t total = x/30 + x/60 = (2x+x)/60 = 3x/60 = x/20
  v média = d total / t total = 2x/ (x/20) = 2x/1 . 20/x = 2 . 20 = 40 km/h
  D de dado!
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  (8 votos)
Sofia mazin
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “nunca entendi o "calcule ...” de Sofia mazin
nunca entendi o "calcule e comemore", só comemoro quando acerto, hahahaha.
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Rafaela A.
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Estou começando a entende...” de Rafaela A.
Estou começando a entender melhor. E eu aqui com medo de gráficos, na verdade, eles ajudam muito.
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Henri
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “poxa podia traduzir a aul...” de Henri
poxa podia traduzir a aula que eu entenderia melhor a aula eu só to no oitavo ano e ainda ano aprendo física e estou estudando física agora.
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- Daniel Bacelar
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “clique no botão direito d...” de Daniel Bacelar
  clique no botão direito do mouse e e depois aperte traduzir esta pagina
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  (1 voto)
Fabricio Gegenheimer
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “os gráficos de posição, a...” de Fabricio Gegenheimer
os gráficos de posição, além de interessantes, são uma forma eficiente de representar visualmente uma grande quantidade de informações sobre o movimento de um objeto.
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emilemelrian
Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Outra forma de memorizar ...” de emilemelrian
Outra forma de memorizar a aceleração é: a curvatura pra baixo, coloca dois olhinhos, vira uma carinha triste, tristeza gera pensamentos negativos, logo, a aceleração é negativa. A mesma coisa quando a curvatura é pra cima, só que ao contrário, agora é uma carinha feliz, felicidade gera pensamentos positivos logo, a aceleração é positiva.
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Resposta
Arthur Rocha
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “No exemplo 01: O Tubarão ...” de Arthur Rocha
No exemplo 01: O Tubarão Faminto, os dados a seguir estão corretos?

Deslocamento
d = 0m - 1m = -1m

Distância Percorrida
2m + 0m + 3m = 5m

Velocidade
-1m/9s = -0,11m/s

Velocidade Média
5m/9s = 0,55m/s

Fiz os cálculos conforme o vídeo "Gráfico de posição versus tempo", mas fiquei meio na dúvida se a forma como os realizei foi correta.
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wellington gonçalves
Publicado há há 9 anos. Link direto para a postagem “Como os gráficos de posiç...” de wellington gonçalves
Como os gráficos de posição versus tempo são úteis?
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- Brenda Lee
  Publicado há há 9 anos. Link direto para a postagem “"Muitas pessoas se sentem...” de Brenda Lee
  "Muitas pessoas se sentem, quando se deparam com um gráfico, da mesma forma quando vão a um dentista: um pouco de ansiedade e um forte desejo de que a experiência termine o mais rápido o possível. Mas os gráficos de posições podem ser belos, e eles são uma forma eficiente de representar visualmente uma grande quantidade de informação sobre o movimento de um objeto em um espaço convenientemente pequeno."
  Resumindo: te auxiliam na percepção das inúmeras informações sobre o objeto em movimento estudado!
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rebeccadamascen
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Agradeço a Deus e a vocês...” de rebeccadamascen
Agradeço a Deus e a vocês! Nem acredito que estou conseguindo entender! Estou acertando os exercícios! Uhullllllll!
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fatima mendonça
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “gente onde esta a versão ...” de fatima mendonça
gente onde esta a versão deste tema em português ?
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