Ondas estacionárias em tubos fechados

RKA4JL - No último vídeo, estudamos ondas estacionárias em um tubo aberto-aberto, ou seja, as duas extremidades abertas. E vimos que graficamente, sendo aqui o deslocamento das partículas das moléculas de ar, temos aqui um anti-nó, aqui um outro anti-nó e podemos enxergar várias ondas estacionárias. Esta em rosa seria a primeira harmônica, a frequência fundamental. Em verde, a segunda harmônica em que eu tenho dois nós, em amarelo a terceira harmônica em que eu tenho três nós, e cada uma tem um comprimento de onda. O comprimento de onda de cada uma, λₙ, é igual a 2L, sendo L o comprimento do tubo dividido por n, sendo n igual a 1 para a primeira harmônica, 2 para a segunda, 3 para a terceira, e assim por diante. A questão é: podemos analisar se tivermos um tubo com uma extremidade aberta e a outra fechada? Vamos lá: temos aqui, então, um tubo com uma extremidade fechada. Esta situação é um pouco mais parecida com uma lata de refrigerante, por exemplo. Podemos começar analisando aqui. Esta molécula aqui é um nó porque, assoprando o ar aqui na extremidade aberta, ela não vai conseguir se mover para a direita e para a esquerda, então é um nó. Já vamos marcar aqui que temos um nó. Estas moléculas na extremidade aberta conseguem se mover loucamente, então aqui nós teremos um anti-nó. Elas têm o maior deslocamento possível. Então, aqui nós temos, sabendo que, no sentido indo para dentro da lata, o movimento das moléculas é cada vez menor, então aqui nós temos, do anti-nó até o nó, algo parecido com esta curva. Vamos lembrar que o comprimento do tubo é L. O que podemos afirmar, então, da relação entre o comprimento de onda e o comprimento do tubo? A pergunta que nós estamos fazendo é justamente: Quanto de onda nós temos desenhado aqui? Lembre-se do comprimento de onda desenhado aqui: um ponto que está aqui deve completar o ciclo todo, então aqui eu tenho um comprimento de onda. Qual é, então, a fração do comprimento de onda que nós temos aqui? Basta você observar que nós temos ali algo parecido com esta parte aqui. E isto aqui, que fração do comprimento de onda é? Um quarto. Você poderia analisar que temos aqui um quarto, um quarto, um quarto do comprimento de onda, um quarto, um quarto, um quarto, a onda inteira. Conclusão: L é igual a λ sobre 4, um quarto do comprimento de onda. Concluímos também que λ é igual a 4L. Então, para a frequência fundamental, o comprimento da onda é quatro vezes o tamanho do tubo aberto-fechado. Lembra que para o aberto-aberto era 2L? Aqui é 4L, o dobro. Bem, se temos aqui um anti-nó, poderemos ter um nó no meio aqui, o que nos daria uma curva como esta. Neste caso, teremos aqui um nó, um outro nó (lembre-se de que aqui tenho sempre um nó). Que fração da onda temos aqui nesta situação representada em verde? O L vai ser igual a... Observe: Fomos do ponto mais alto até o mais baixo, voltamos até aqui ao meio e temos exatamente aqui este pedaço da onda, ou seja, três quartos da onda. L é igual a 3λ sobre 4. Três quartos de λ. Conclusão: λ é 4L sobre 3. Então, o próximo λ possível é 4L sobre 3. O que teremos a seguir? Qual é a próxima a possibilidade, então? Temos aqui um anti-nó. Vamos ter então um nó, dois nós, e de volta ao nó aqui. Três nós. Vamos ver, então. Nesse caso, o L representa que fração do comprimento de onda? Vamos ver: saímos daqui do topo, descemos até chegarmos ao vale, voltamos, subimos tudo. Então, veja só: saímos daqui, descemos, subimos até aqui e descemos novamente. Mais um quarto da onda, do comprimento de onda. Então, nesse caso, o L é: até aqui temos um comprimento de onda inteiro mais um quarto do comprimento de onda. Isso significa cinco quartos do comprimento de onda, 5λ sobre 4. Em outras palavras, o λ é 4L sobre 5. Então, o próximo λ que teremos aqui é 4L sobre 5. Podemos, então, escrever todos os comprimentos de onda possíveis que você deve observar: aqui temos 4L, 4L sobre 3, 4L sobre 5, 4L sobre 7 seria o próximo, então teremos 4L sobre um certo “n”, sendo que esse n, agora, deve ser apenas números ímpares: 1, veja que aqui é 4L sobre 1 aqui 4L sobre 3, aqui 4L sobre 5, o próximo é 4L sobre 7, e assim por diante. Então, para um tubo aberto-fechado, o comprimento de onda é 4L sobre n, sendo que n é um número ímpar. Essa relação é parecida com aquela que encontramos no tubo aberto-aberto, mas aqui nós temos 4L e o denominador só pode ser número ímpar. E por esse motivo é comum que aqui chamemos... Claro, a primeira é a frequência fundamental, mas esta aqui não é a segunda, e sim chamada de terceira harmônica. Esta aqui não é a quarta, ela vai ser chamada de quinta harmônica, seguindo a sequência dos números ímpares. Observe que aqui temos λ em função de L, o que pode ser interpretado assim: se nós temos um L muito grande, isso significa que o λ também vai ser grande. E a frequência? Lembre-se: velocidade da onda é igual a λ vezes a frequência. Ora, já que a velocidade é constante porque ela depende do meio, se o λ aumentar, se o λ for grande, então a frequência será pequena, a frequência diminuirá, e vice-versa. E quanto menor a frequência, mais grave é o som. Você pode experimentar isso. Vamos supor que você esteja tomando alguma bebida. Vamos supor que o nível da sua bebida seja este, esteja até aqui cheio de bebida. Se você assoprar aqui, vai ter um tubo aberto-fechado com um certo comprimento L. E o L aqui é, digamos, pequeno. Se o L é pequeno, o λ é pequeno, então a frequência é maior. Por outro lado, conforme o nível da sua bebida vai diminuindo, conforme você vai bebendo, o comprimento do tubo formado vai ficando maior. E enquanto isso vai acontecendo, a cada vez que você assoprar aqui, você vai ter... Como você vai tendo comprimentos maiores, então a frequência do som vai ficando menor. Frequência do som menor, notas mais baixas. Portanto, som mais grave. Até o próximo vídeo!