Demonstração: U=(3/2)PV ou U=(3/2)nRT

RKA7GM Eu já disse diversas vezes que o "U" maiúsculo é a energia interna de um sistema. E realmente tudo é colocado ali. É a energia cinética das moléculas, possui a energia potencial, se as moléculas estiverem vibrando, possui a energia química das ligações, possui a energia potencial dos elétrons que querem um pouco de espaço. Mas, por nossa causa, e, especialmente, se estivermos em uma aula introdutória de um curso de química, física ou termodinâmica, vamos apenas supor que estamos falando de um sistema que é um gás ideal. E ainda melhor, é uma espécie de um gás monoatômico. Então, tudo em meu sistema são apenas átomos individuais. Portanto, neste caso, a única energia em todo o sistema será a energia cinética de cada uma destas partículas. Por isso, o que quero fazer neste vídeo, vamos ter um pouco de matemática, mas acho que deixará satisfatório quem se atém a ela, é relacionar a quantidade de energia interna que realmente há em um sistema de uma determinada pressão, volume e temperatura. Então, gostaríamos de relacionar pressão, volume ou temperatura com a energia interna. Observe que em todos os vídeos que fizemos até agora, disse que era uma variação na energia interna, e relacionamos isso ao calor adicionado ou retirado de um sistema ou trabalho realizado, ou realizado para, ou realizado pelo sistema. Mas, agora, vamos dizer, antes de realizar qualquer trabalho ou qualquer calor, como sabemos a quantidade de energia interna que temos em um sistema? E para tal, vamos fazer um pouco de experiência de ideias. Vou fazer algumas simplificações, mas acredito que isso não vá ser problema, vai ser razoavelmente satisfatório. Vou desenhar aqui... temos um cubo e algo me diz que, talvez, já possa ter feito esta pseudodemonstração na lista de reprodução de física. Embora não ache que eu tenha exatamente relacionado com energia interna. Então, farei isto. Digamos que meu sistema é este cubo, e digamos que as dimensões do cubo são "x" em todas as direções. É "x" de altura, "x" de largura e "x" de profundidade. Seu volume é, logicamente, x³. E digamos que eu tenha "N" partículas em meu sistema, "N" maiúsculo. Poderia ter utilizado "n" minúsculo mols, mas vamos deixar bem direto. Tenho "N" partículas. Elas todas fazem o que querem. Agora, aqui é onde farei uma grande simplificação. Mas acredito que é razoável. Em um sistema normal, toda partícula, já fizemos isso antes, está saltando de forma, em todas as direções possíveis e aleatórias. E quando elas batem em cada um dos lados, causam pressão. E elas estão sempre trombando umas nas outras, em todas as direções possíveis e aleatórias. Agora, por uma questão de simplicidade de nossa matemática, e apenas para ter a possibilidade de realizar isso em uma quantidade razoável de tempo, vou fazer uma suposição. Vamos supor que 1/3 das partículas esteja indo bem, 1/3 das partículas está paralelo em relação a cada um dos eixos. Então, 1/3 das partículas está indo nesta direção, acho que poderia dizer da esquerda para a direita. 1/3 das partículas está indo para cima e para baixo. 1/3 das partículas está indo para frente para trás. Agora, sabemos que isso não é o que está acontecendo na realidade, mas torna as nossas contas bem mais simples. E se realmente for necessário fazer a mecânica estatística por trás de todas as partículas que estão em todas as direções, acabaríamos obtendo o mesmo resultado. Agora, com isto, estou dizendo que é uma grande simplificação. Há uma chance infinitesimalmente pequena de cairmos em um sistema em que... este já é o caso. Vamos falar um pouco mais adiante sobre entropia e por que há uma probabilidade tão pequena. Isto poderia ser realmente nosso sistema, e este sistema geraria pressão, o que torna nossos cálculos matemáticos muito mais simples. Com isso dito, vamos estudar esse sistema. Vamos pegar uma visão lateral, vamos pegar a visão lateral bem aqui. Vamos estudar uma partícula. Deveria, talvez, ter feito em verde. Mas digamos que tenha uma partícula. Ela possui certa massa "m" e velocidade "v". E essa é uma das partículas "N" maiúsculo em meu sistema. Mas o que estou curioso em saber é quanta pressão essa partícula exerce nesta parede. Sabemos qual é a área dessa parede, certo? A área dessa parede é "x" vezes "x". Então, a área é x². Qual a quantidade de força que está sendo exercida por essa partícula? Vamos pensar desta maneira. Está indo para a frente, ou da esquerda para a direita, desta forma. E a força será exercida quando ela mudar o momento linear. Farei uma pequena revisão de cinética aqui. Sabemos que a força é igual à massa vezes a aceleração. Sabemos que a aceleração pode ser escrita como... pega a massa vezes a variação da velocidade sobre a variação do tempo. Logicamente, sabemos que isso poderia ser reescrito como... isso é igual a... a massa é uma constante e não pode variar para a física com a qual estamos lidando. Então, é delta (Δ). Poderíamos incluir isso dentro da variação. Então, é Δmv sobre a variação de tempo (Δt). E Isso é apenas a variação no momento linear, certo? Portanto, isso é igual à variação no momento linear sobre a variação no tempo. Essa é outra forma de escrever a força. Portanto, qual será a variação no momento linear para esta partícula? Ela irá bater neste muro, nesta direção, exatamente agora, tem algum momento linear. Seu momento é igual a "mv", e vai trombar nessa parede. Então, vai ricochetear diretamente para trás. E qual o seu momento linear? Terá a mesma massa e a mesma velocidade. Vamos supor que é uma colisão completamente elástica, nada é perdido para calor ou qualquer outra coisa. Mas a velocidade está na outra direção. Portanto, o novo momento linear vai ser "mv" negativo, porque a velocidade mudou de direção. Agora, chego com o momento linear de "mv" e ricocheteio de volta com o momento linear de "mv" negativo. Qual será a minha variação de momento linear? Minha variação de momento linear na volta da batida na parede é igual... bem, é a diferença entre estes dois, que é 2mv. Agora, isso não me fornece a força. Preciso saber a variação do momento linear por unidade de tempo. Qual a frequência que isso ocorre? Vai acontecer toda vez que chegamos aqui. Vamos bater nessa parede. A partícula irá viajar por aqui, trombar naquela parede, e voltar para cá e trombar de novo. Portanto, esta é a frequência em que isso vai ocorrer. Qual é o intervalo de tempo que temos que esperar entre as colisões? A partícula tem que percorrer "x" para trás, vai colidir, terá que percorrer "x" para a esquerda, esta distância é "x". Deixe-me fazer em uma cor diferente. Esta distância aqui é "x". Terá que percorrer "x" de volta. Portanto, terá que percorrer a distância de 2x. E quanto tempo levará para percorrer essa distância de 2x? O tempo, Δt, é igual a... sabemos disso... distância é igual à taxa vezes tempo. Ou se fizermos a distância dividida pela taxa, vamos obter a quantidade de tempo que levamos. Isso é apenas nossa fórmula básica de movimento. Nosso Δt, a distância que temos de percorrer de um lado a outro. Então, é 2x dividido por... qual é a nossa taxa? Nossa taxa é a nossa velocidade. Dividido por "v". Muito bem. Então, este aqui é o nosso Δt. Então, nossa variação no momento linear por tempo é igual a 2 vezes o nosso momento incidente, porque trombamos de volta com a mesma magnitude, mas com o momento negativo. Esta é a nossa variação no momento. A variação no tempo é este valor, é a distância total que temos que percorrer entre as colisões com essa parede dividida pela nossa velocidade. Então, é 2x dividido por "v", que é igual a 2mv vezes o valor recíproco disto. Este é apenas um cálculo de fração, "v" sobre 2x. E qual é o resultado? Cancelo os dois números 2, então, isso é igual a mv² sobre "x". Interessante, já estamos chegando a um lugar interessante. Se isso não parece interessante, continue comigo por um instante. Agora, esta é a força sendo aplicada por uma partícula. É isso! Força de uma partícula nesta parede. Agora, o que era a área? Queremos saber a pressão. Escrevemos-a aqui em cima: a pressão é igual à força por área. Esta é a força daquela partícula, mv² sobre "x" dividido pela área da parede. E qual é a área da parede? A área da parede aqui de cada lado é "x". E se desenharmos a parede ali é "x" vezes "x", é x². Então, dividido pela área da parede, é x². E qual é o resultado disso? É igual a mv² sobre x³. Podemos dizer apenas que isso é vezes 1 sobre x², quando tudo se torna x³. Isso é apenas matemática de fração. Então temos algo interessante. A pressão ocasionada por essa única partícula, vamos chamá-la "dessa única partícula", é igual a mv² sobre x³. Agora, o que é x³? É o volume do nosso recipiente sobre o volume. Vou fazê-lo com um "V" maiúsculo. Vejamos se eu posso relacionar isso a alguma outra coisa que seja interessante. Portanto, isso significa que a pressão exercida por essa única partícula... bem, na verdade, deixe-me fazer diferente. Essa é uma partícula nessa parede, certo? Isto é de uma partícula nesta parede. Agora, de todas as partículas, temos "N" partículas ao cubo. Qual a proporção delas que vai bater na parede? Que estarão fazendo exatamente a mesma coisa que essa partícula? Acabei de dizer, 1/3 estará indo nesta direção, 1/3 estará indo para cima e para baixo e 1/3 estará indo e voltando. Portanto, se possuo um total de "N" partículas, "N" sobre 3 vão estar fazendo exatamente o que essa partícula está fazendo. Essa é a pressão desta partícula. Se quisesse a pressão de todas as partículas daquela parede, a pressão total na parede seria de "N" sobre 3 das partículas. As outras partículas não estão batendo naquela parede, então não temos que nos preocupar com elas. Portanto, se quisermos a pressão total naquela parede, vou escrever "parede sob pressão"... a pressão total na parede será a pressão de uma partícula, mv², sobre o volume, vezes o total de número de partículas que batem na parede. O número total de partículas é "N" dividido por 3. Porque apenas 3 estarão indo naquela direção. Portanto, a pressão total naquela parede é igual a mv² sobre o volume de nosso recipiente, vezes o total de partículas, dividido por 3. Vejamos se é possível manipular um pouco isso. Se multiplicarmos ambos os lados por... vejamos o que podemos fazer. Se multiplicássemos ambos os lados por 3V, teríamos "PV" vezes 3. É igual a mv² vezes "N", em que "N" é o número de partículas. Vamos dividir ambos os lados por "N". Temos 3PV sobre... na verdade, não vou deixar o "N" ali. Vamos dividir ambos os lados desta equação por 2. O que vamos ter? 3/2PV é igual a "N", o número de partículas que temos, vezes mv² sobre 2. Lembrem-se: apenas dividi esta equação por 2 para obter isto, e o fiz por um motivo muito particular. O que é mv² sobre 2? mv² sobre 2 é a energia cinética daquela pequena partícula que vimos no começo. É a fórmula para a energia cinética. A energia cinética é igual a mv² sobre 2. Então, esta é a energia cinética de uma partícula. Agora, estamos multiplicando isso vezes o número total de partículas que temos, vezes "N". Então "N" vezes a energia cinética de uma partícula vai ser a energia cinética de todas as partículas. Logicamente, aqui também fizemos outra suposição. Devo afirmar que supus que todas as partículas estão se movimentando com a mesma velocidade e possuem a mesma massa. Em uma situação real, as partículas podem ter velocidades diferentes. Mas essa foi uma das nossas suposições para simplificação. Fizemos a suposição que todas elas são assim. Portanto, se multiplicar "N" por esta declaração aqui, é a energia cinética do sistema. Agora estamos quase lá, na verdade, estamos lá. Acabamos de estabelecer que a energia cinética do sistema é igual a 3 sobre 2 vezes a pressão, vezes o volume do sistema. Qual é a energia cinética do sistema? É a energia interna. Porque dissemos que toda a energia do sistema, por se tratar de um gás monoatômico ideal simples, está em forma de energia cinética. Poderíamos dizer que a energia interna do sistema é igual a... aqui é apenas a energia cinética total do sistema. É igual a 3 sobre 2 vezes a nossa pressão total vezes o nosso volume total. Você pode estar dizendo que você apenas descobriu a pressão neste lado. E a pressão naquele lado? E naquele lado? E naquele outro lado? E em todos os lados do cubo? A pressão em todos os lados do cubo é o mesmo valor. Portanto, tudo o que temos a fazer é encontrar a pressão de um lado e esta será, basicamente, a pressão do sistema. O que mais podemos fazer com isso? Bem, sabemos que o "PV" é igual a "nRT", a nossa fórmula de gás ideal. "PV" é igual a "nRT", em que isto é o número de mols de gás, e isto é a constante de gás ideal e esta é a nossa temperatura em kelvin. Portanto, se substituíssemos, diríamos que a energia interna também pode ser escrita como 3/2 vezes o número de mols que temos vezes a constante do gás ideal vezes a nossa temperatura. Agora, fiz um monte de coisas e temos que utilizar um pouco de matemática. Mas esses resultados são interessantes porque agora temos uma relação direta. Se soubermos a pressão e o volume, vamos saber qual é a energia interna real, ou a energia cinética total do sistema. Ou se soubermos qual é a temperatura e o número de moléculas que temos, será possível, também, saber qual é a energia interna do sistema. E há algumas formas prontas principais que gostaria de passar. Se a nossa temperatura não variar em nossa situação ideal, se Δt for igual a zero, se isso não variar, o número de partículas não vai variar. Então, a nossa energia interna também não vai variar. Portanto, se dissermos que há alguma variação na energia interna e utilizarmos isto em futuras demonstrações, poderíamos dizer que é igual a 3/2 vezes "nR"... bem, a única coisa que pode variar, não o número de moléculas, não a constante do gás ideal, vezes Δt. Ou poderia ter escrito também como 3/2 vezes ΔPV. Não sabemos estas duas constantes, por isso, temos que dizer a variação do produto. De qualquer forma, envolveu um tanto razoável de matemática. Peço desculpas por isso! Mas eu espero ter dado um pouco mais de sentido de que isto, na verdade, é somente a soma de todas as energias cinéticas. Conseguimos relacioná-la a algumas dessas variáveis de macroestado, como pressão, volume e tempo. Agora que já fiz um vídeo sobre isso, podemos, realmente, utilizar este resultado em outras demonstrações. Ou, pelo menos, vocês não reclamariam muito se eu fizesse isso. De qualquer forma, vejo vocês no próximo vídeo!